數(shù)字信號處理（西電版） 第五章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法 復(fù)習(xí)ppt課件

1、第5章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法 5.1 根本概念 5.2 IIR濾波器設(shè)計的特點 5.3 常用模擬低通濾波器的設(shè)計方法 5.4 用脈沖呼應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器 5.5 用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器 5.6 設(shè)計IIR濾波器的頻率變換法 5.7 Z平面變換法 5.1 根本概念 數(shù)字濾波器是對數(shù)字信號實現(xiàn)濾波的LTI系統(tǒng), 將輸入的數(shù)字序列經(jīng)過特定運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列。 設(shè)計數(shù)字濾波器就是根據(jù)義務(wù)要求，確定濾波器的性能參數(shù)，用一個因果穩(wěn)定的LTI離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近性能要求5.1 根本概念 1 數(shù)字濾波器的分類 經(jīng)典濾波器與現(xiàn)代濾波器 經(jīng)典：輸入信號中有用頻率成分與希望

2、濾除的頻率各占有不同的頻帶 現(xiàn)代： 維納濾波器、卡爾曼濾波器、自順應(yīng)濾波器等 IIR濾波器與FIR濾波器 低通、高通、帶通與帶阻等濾波器 數(shù)字濾波器的理想幅頻特性 p s理想濾波器是非因果的，需求設(shè)計一個因果可實現(xiàn)的濾波器實現(xiàn)2 濾波器的技術(shù)目的 濾波器的性能要求通常以頻率呼應(yīng)幅度特性的允許誤差來表征 以右圖低通為例, 頻率呼應(yīng)包括 通帶、過渡帶與阻帶 1(2)為通(阻)帶的容限, p(s)為通(阻)帶截止頻率p s 通帶允許的最大衰減波紋Ap和阻帶應(yīng)到達(dá)的最小衰減As式中 |H(ej0)|=1 (歸一化) IIR濾波器普通采用遞歸型的實現(xiàn)構(gòu)造3 FIR型濾波器和IIR型濾波器 IIR濾波器的

3、系統(tǒng)函數(shù)H(z)在Z平面上不僅有零點，而且有極點 FIR濾波器普通采用非遞歸型，系統(tǒng)函數(shù)極點只能在Z平面原點 按照實踐義務(wù)要求， 確定濾波器的性能目的 用因果穩(wěn)定的離散LTI系統(tǒng)的(FIR、IIR)系統(tǒng)函數(shù)逼近性能要求 利用有限精度算法實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)。包括選擇運(yùn)算構(gòu)造，適宜的字長以及有效數(shù)字的處置方法等 4 濾波器的設(shè)計步驟5.2 IIR濾波器設(shè)計的特點 將IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)用極、零點表示： 對系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計就是確定各系數(shù)ak, bk或零極點ck，dk和A，使濾波器滿足給定的性能要求MN 設(shè)計方法 最優(yōu)化設(shè)計法(計算機(jī)輔助設(shè)計法)從統(tǒng)計的概念出發(fā)，對要提取的有用信號估計，在統(tǒng)計目的最優(yōu)的意義

4、下，使估計值最優(yōu)逼近有用信號，減弱或消除噪聲 最優(yōu)化設(shè)計法的設(shè)計步驟1選擇一種最優(yōu)準(zhǔn)那么，如最小均方誤差準(zhǔn)那么 2求在此最正確準(zhǔn)那么下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)ak, bk。經(jīng)過迭代運(yùn)算，找到使為最小時的一組系數(shù)ak, bk 設(shè)計方法 利用模擬濾波器的實際來設(shè)計數(shù)字濾波器根據(jù)性能參數(shù)，先設(shè)計一個模擬濾波器，再按一定算法(脈沖呼應(yīng)不變法和雙線性變換法)轉(zhuǎn)換為滿足預(yù)定目的的數(shù)字濾波器 本質(zhì)：一個由S平面到Z平面的復(fù)變函數(shù)的映射變換該映射變換須滿足的條件下面先討論模擬濾波器的設(shè)計方法，再引見由模擬變換為IIR數(shù)字的兩種算法：脈沖呼應(yīng)不變法和雙線性變換法 S平面虛軸 j必需映射到Z平面的單位圓ej上 S平面

5、的左半平面必需映射到Z平面單位圓的內(nèi)部|z|15.3 模擬低通濾波器的設(shè)計方法 常用的模擬原型濾波器有巴特沃思Butterworth濾波器、切比雪夫Chebyshev濾波器、橢圓Ellipse濾波器、貝塞爾Bessel濾波器等 模擬原型濾波器的特點Butterworth具有單調(diào)下降的幅頻特性Chebyshev的幅頻特性在通(阻)帶有動搖, 可以提高選擇性Bessel通帶內(nèi)有較好的線性相位特性Ellipse的選擇性相對前三種是最好的, 但在通帶和阻帶內(nèi)均為等波紋幅頻特性5.3.1 幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)(模擬濾波器的設(shè)計方法)濾波器的技術(shù)目的給定后，需求設(shè)計一個傳輸函數(shù)Ha(s) ，希望其幅度

6、平方函數(shù)滿足給定的目的，典型濾波器的幅度平方函數(shù)都有本人的表達(dá)式，可以直接援用模擬濾波器幅度呼應(yīng)常用幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2表示 沖激呼應(yīng)ha(t)為實函數(shù)模擬濾波器的設(shè)計通常總是先設(shè)計出低通，再經(jīng)過頻率變換轉(zhuǎn)換成要求類型(高通,帶通等)，而低通是經(jīng)過幅度平方函數(shù)來設(shè)計的式中Ha(s)是系統(tǒng)函數(shù); Ha(j)是頻率呼應(yīng)特性； |Ha(j)|是幅度特性 根據(jù) |Ha(j)|2 求 Ha(s) Ha(s)Ha(-s)的極(零)點分布是成象限對稱的 Ha(s)必需穩(wěn)定，因此極點必定落在s左半平面 零點的分布只和濾波器的相位特征有關(guān)，如無特殊要求，可將對稱零點的任一半應(yīng)為共軛對取為Ha(s)的零點

7、 根據(jù)Ha(s)極(零)點可確定增益常數(shù)，最終得到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s) 巴特沃思低通濾波器幅度平方函數(shù)定義 式中，N為正整數(shù)，代表濾波器的階數(shù)。c為3dB截止頻率。當(dāng)=c時，衰減為 3 dB5.3.2 巴特沃思低通逼近 最平幅度逼近巴特沃思低通濾波器在通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，因此又稱為最平幅度特性濾波器|Ha(j)|2單調(diào)減小，N越大，通帶內(nèi)特性越平坦，過渡帶越窄 巴特沃思濾波器的極(零)點分布 (公式法求解低通Ha(s)零點全在s=處，有限S平面內(nèi)只需極點，屬“全極點型濾波器 Ha(s)Ha(-s)的2N個極點等間隔分布在半徑為c的圓巴特沃思圓上，極點間的角度間隔為/N rad 令=s/j

8、 k=1, 2, , 2N Ha(s)Ha(-s)的極點為 例N3及N4時，Ha(s)Ha(-s)的極點分布分別如以下圖示N為奇(偶)數(shù)時，實軸上有(無)極點。且極點不會落在虛軸上 取S左半平面的N個極點為Ha(s)的極點，即得到Ha(s)的表示式 k=1, 2, , N 低通巴特沃思濾波器的設(shè)計步驟階數(shù)N一樣的模擬低通經(jīng)歸一化后，其Ha(s)表示式都是一樣的，可以經(jīng)過查表獲得，因此設(shè)計巴特沃思濾波器的本質(zhì)就是求濾波器階次N和截止頻率c (歸一化) 階數(shù)N的計算 由目的p, Ap，s和As得到 巴特沃思低通濾波器技術(shù)目的關(guān)系式階數(shù)N的大小主要影響幅度特性下降速度知代入上式整理得到由上式可解出濾

9、波器階數(shù)N和截止頻率c或 根據(jù)階數(shù)N，查表得到歸一化系統(tǒng)函數(shù)HaN(s) 根據(jù)c將HaN(s)去歸一化，得到實踐要求的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s) 低通巴特沃思濾波器設(shè)計步驟總結(jié) 知p, Ap，s和As，計算濾波器階數(shù)N和截止頻率c或 根據(jù)N查表得到歸一化系統(tǒng)函數(shù)HaN(s) 根據(jù)c將HaN(s)去歸一化，得到實踐要求的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s) 例 導(dǎo)出三階巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)設(shè)c2 rad/s解1 由知得到幅度平方函數(shù)為Ha(s)的表示式為P157k=1, 2, , N 當(dāng)N=3可求得Ha(s)的極點skk=1, 2, 3，從而得到系統(tǒng)函數(shù) 例 導(dǎo)出三階巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)設(shè)c2 r

10、ad/s解2 由P158表5可知歸一化的三階巴特沃思模擬低通為 知 c2 rad/s，那么闡明：巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)表有多種方式例設(shè)計一個滿足下面要求的模擬低通巴特沃思濾波器： (1) 通帶截止頻率：p=0.2；通帶最大衰減：Ap=7 dB。 (2) 阻帶截止頻率：s=0.3；阻帶最小衰減：As=16dB。 知p, Ap，s和As，計算濾波器階數(shù)N和截止頻率c 根據(jù)N查表得到歸一化系統(tǒng)函數(shù)HaN(s) 根據(jù)c，將HaN(s)去歸一化取 N = 3或 知p, Ap，s和As，計算濾波器階數(shù)N和截止頻率c 根據(jù)c，將HaN(s)去歸一化，得到實踐要求的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s) 根據(jù)N查表得到歸一

11、化系統(tǒng)函數(shù)HaN(s)或代入上式將 該映射變換須滿足以下要求： S平面虛軸 j必需映射到Z平面的單位圓ej上 S平面的左半平面必需映射到Z平面單位圓的內(nèi)部|z|1 利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器 常用的變換方法有：脈沖呼應(yīng)不變法和雙線性變換法使穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)映射為具有一樣幅頻特性的穩(wěn)定的數(shù)字系統(tǒng)5.4 用脈沖呼應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器使數(shù)字濾波器的單位脈沖呼應(yīng)序列h(n)與相應(yīng)的模擬濾波器的沖激呼應(yīng)ha(t)，在采樣點處的量值相等，即h(n)=ha(nT) 5.4.1 變換原理第1章中采樣序列的Z變換與模擬信號拉氏變換的關(guān)系P48脈沖呼應(yīng)不變法將模擬濾波器的S平面變換成數(shù)字濾波器的Z平面

12、脈沖呼應(yīng)不變法的映射關(guān)系 數(shù)字濾波器與模擬濾波器的頻率呼應(yīng)間的關(guān)系為 (P49) 數(shù)字濾波器的頻率呼應(yīng)是模擬濾波器頻率呼應(yīng)的周期延拓 只需當(dāng)模擬濾波器的頻率呼應(yīng)是限帶的，且滿足采樣定理時，數(shù)字濾波器的頻率呼應(yīng)才不產(chǎn)生混疊失真 提高采樣頻率為fs，可減小頻率呼應(yīng)的混疊效應(yīng) 5.4.2 混疊失真脈沖呼應(yīng)不變法中的頻響混疊景象 脈沖呼應(yīng)不變法設(shè)計中，由一個較為復(fù)雜的模擬系統(tǒng)函數(shù)求出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)是一個很費(fèi)事的變換過程 由于乘積的z變換并不等于各部分變換的乘積，所以不宜采用級聯(lián)分解 但各項和的z變換是線性關(guān)系，因此用部分分式表達(dá)系統(tǒng)函數(shù)，特別適宜于對復(fù)雜模擬系統(tǒng)函數(shù)的變換5.4.3 模擬濾波器的數(shù)

13、字化方法設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)只需單階極點，且分母的階次大于分子的階次，將Ha(s)用部分分式表示 數(shù)字濾波器的單位脈沖呼應(yīng)等于對ha(t)的采樣，因此 將Ha(s) 拉氏反變換u(t)是單位階躍函數(shù) 模擬濾波器與數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系對h(n)求Z變換，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) S平面的單極點s=sk對應(yīng)于Z平面上z=eskT處的單極點 Ha(s)與H(z)的部分分式的系數(shù)一樣，都是Ak 模擬濾波器因果穩(wěn)定，那么數(shù)字濾波器也因果穩(wěn)定 脈沖呼應(yīng)不變法只能保證極點有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系與模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s) 相比 Ha(s)與H(z)間的變換關(guān)系為 脈沖呼應(yīng)不變法的設(shè)計步驟，可直

14、接將 Ha(s)寫成單極點的部分分式和的方式，然后將各部分分式用上式關(guān)系替代，即得到H(z) 由于數(shù)字濾波器頻率呼應(yīng)幅度與采樣間隔T成反比(p49) | 為使數(shù)字濾波器增益不隨采樣頻率變化，通常令 h(n)=Tha(nT)此時: 將上式代入到例 設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 試?yán)妹}沖呼應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) 解 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 設(shè)T=1，那么有 模擬濾波器的頻響Ha(j)以及數(shù)字濾波器的頻響H(ej)分別為: 由于Ha(j)不是限帶的，所以H(ej)產(chǎn)生了頻譜混疊失真 T取不同值時的幅頻特性圖數(shù)字濾波器的單位脈沖呼應(yīng)完全模擬模擬濾波器的單位沖激呼應(yīng)，

15、因此時域特性逼近好 頻率坐標(biāo)變換是線性的，即=T。因此該數(shù)字濾波器可以很好重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率特性 會產(chǎn)生頻率混疊景象從S平面到平面為多值映射關(guān)系，適宜低通、帶通濾波器的設(shè)計，而不適宜高通、帶阻的設(shè)計 5.4.4 優(yōu)缺陷5.5 用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器 5.5.1 變換原理為抑制頻率混疊景象，可采用非線性頻率緊縮方法，將整個頻率軸的頻率范圍緊縮到-/T/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上使S平面與Z平面建立起一一對應(yīng)的單值關(guān)系將此關(guān)系解析延拓到整個S平面和S1平面，令j=s，j1=s1，得 再將S1平面經(jīng)過規(guī)范變換z=es1T映射到Z平面 實現(xiàn)步驟得到兩平面的單值映射關(guān)系 利用正

16、切變換實現(xiàn)頻率緊縮，將S平面的虛軸緊縮至S1平面的-/T到/T段雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點要求：5.5.2 逼近的情況 S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓 S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)穩(wěn)定模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的 闡明：所謂“雙線性變換，僅僅是指變換公式中s與z的關(guān)系無論是分子部分，還是分母部分都是“線性的 由于S平面與Z平面的單值對應(yīng)關(guān)系，防止了頻率混疊景象5.5.3 優(yōu)缺陷 S平面與Z平面的嚴(yán)重非線性關(guān)系影響DF頻響對模擬頻響的模擬 該方法適于分段常數(shù)型的濾波器設(shè)計，普通設(shè)計濾波器通帶與阻帶均要求是分段常數(shù)(非線性的正切關(guān)系) 雙線性變換法幅度和相

17、位特性的非線性映射 分段常數(shù)的濾波器，在雙線性變換后各個分段邊緣的臨界頻率點將會產(chǎn)生畸變，這種畸變可以預(yù)處置加以校正 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可經(jīng)過s到z之間的簡單代數(shù)關(guān)系得到 頻率呼應(yīng)也可用直接代換的方法得到 5.5.4 模擬濾波器的數(shù)字化方法 階數(shù)較高時，H(z)的方式可經(jīng)過查表得到設(shè)模擬系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式為 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)雙線性變換法中a(s)的系數(shù)與H(z)的系數(shù)間關(guān)系 雙線性變換時頻率的預(yù)畸變 總結(jié)：雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的步驟假設(shè)設(shè)計帶通濾波器(右圖) 頻率預(yù)畸變 知帶通的數(shù)字域頻率與采樣頻率時利用下式計算相應(yīng)的模擬域頻率雙線性變換時頻率的預(yù)畸變 總結(jié)：雙線性變換法設(shè)計I

18、IR數(shù)字濾波器的步驟 頻率預(yù)畸變 知帶通的模擬域頻率與采樣頻率時先將模擬頻率轉(zhuǎn)為數(shù)字域頻率=2fT 12再按先前步驟處置 總結(jié)：雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的步驟 按模擬頻率目的設(shè)計模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s) 將 代入Ha(s)，得H(z) 與頻率呼應(yīng) 闡明 雙線性變換法后，模擬濾波器與數(shù)字濾波器仍為同種類型低通、高通、帶通等的濾波器當(dāng)強(qiáng)調(diào)模擬濾波器的瞬態(tài)呼應(yīng)時，通常采用脈沖呼應(yīng)不變法; 其他那么采用雙線性變換法 例 設(shè)計一階數(shù)字低通濾波器，3 dB截止頻率為c=0.25，將雙線性變換運(yùn)用于模擬巴特沃思濾波器 頻率預(yù)畸變 模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計 知 數(shù)字低通c=0.25，那么巴特沃思

19、模擬低通c為 轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)由上題可知，T不參與設(shè)計，即雙線性變換法中用 設(shè)計與用 設(shè)計得到的結(jié)果一致。 例 用雙線性變換法設(shè)計三階巴特沃思數(shù)字低通，采樣頻率為fs=4 kHz，其3dB截止頻率為fc=1 kHz。 三階模擬巴特沃思濾波器為 知截止頻率 fc=1 kHz解：1. 頻率預(yù)畸變2. 確定預(yù)畸變的模擬濾波器的截止頻率 先轉(zhuǎn)化成數(shù)字頻率c=2fcT=0.5將c代入三階模擬巴特沃思濾波器Ha(s)，得到 模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計 轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)濾波器Ha(s)不是截止頻率為fc=1 kHz的實踐濾波器，只是一個“樣本函數(shù) 用雙線性變換法設(shè)計得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾

20、波器的頻響 取 N = 25.6 設(shè)計IIR濾波器的頻率變換法 設(shè)計各種IIR數(shù)字濾被器，通常是先設(shè)計一個歸一化截止頻率的模擬低通原型濾波器，然后用如下兩種方法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器： 模擬頻帶變換法 數(shù)字頻帶變換法將歸一化的模擬低通原型濾波器經(jīng)模擬頻帶變換成所需類型的模擬濾波器，然后用沖激呼應(yīng)不變法或雙線性變換法轉(zhuǎn)換為所需類型的數(shù)字濾波器將歸一化的模擬低通原型濾波器經(jīng)過沖激呼應(yīng)不變法或雙線性變換法轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器，然后用數(shù)字頻帶變換法，轉(zhuǎn)換為所需類型數(shù)字濾波器5.6 設(shè)計IIR濾波器的頻率變換法 模擬頻帶變換法 兩種等效的設(shè)計方法 模擬域頻率變換關(guān)系可經(jīng)過查表得到截止頻率為c的模擬低通濾波器到

21、其它頻率選擇性濾波器的轉(zhuǎn)換公式 普通直接用歸一化原型轉(zhuǎn)換，取c=1, 可使設(shè)計過程簡化 數(shù)字化可采用脈沖呼應(yīng)不變法與雙線性變換法 把第一種方法中的兩步合成一步來實現(xiàn) 把數(shù)字濾波器的性能要求轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的模擬濾波器的性能要求 根據(jù)性能要求設(shè)計模擬濾波器 經(jīng)過脈沖呼應(yīng)不變法或雙線性變換法，轉(zhuǎn)化為數(shù)字濾波器5.6.1 模擬低通濾波器變換成數(shù)字低通濾波器 設(shè)計步驟由于采用脈沖呼應(yīng)不變法設(shè)計，因此模擬低通的 fc=1 kHz 例 用脈沖呼應(yīng)不變法設(shè)計三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，采樣頻率為fs=4 kHz，其3 dB截止頻率為fc=1 kHz 知所求數(shù)字巴特沃思低通濾波器 fs=4 kHz，fc=1 kHz

22、 設(shè)計模擬低通濾波器查表得歸一化三階模擬巴特沃思原型低通濾波器的傳送函數(shù) 去歸一化 ， s=s/c = s/(2fc )代入上式 經(jīng)過脈沖呼應(yīng)不變法轉(zhuǎn)化為數(shù)字濾波器將上式因式分解將部分分式系數(shù)代入下式 H(z)只與c有關(guān)，即只與截止頻率fc與采樣頻率fs的相對值有關(guān)，而與它們的絕對大小無關(guān)整理后得到 c=cT=2fcT=0.5 例如fs=4kHz，fc=1 kHz與fs=40 kHz，fc=10kHz的數(shù)字濾波器將具有同一個系統(tǒng)函數(shù)。將c=cT=2fcT=0.5代入得到 該系統(tǒng)函數(shù)可采用并聯(lián)型的運(yùn)算構(gòu)造來實現(xiàn) 以下圖為三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響幅度特性脈沖呼應(yīng)不變法存在微小的混淆景象由上

23、表知，低通模擬原型到模擬高通的變換關(guān)系為 5.6.2 模擬低通濾波器變換成數(shù)字高通濾波器截止頻率為c的模擬低通濾波器到其它頻率選擇性濾波器的轉(zhuǎn)換公式 c為模擬低通截止頻率c為實踐高通截止頻率利用雙線性變換方法設(shè)計時，模擬高通與數(shù)字高通變換關(guān)系為 將兩式結(jié)合，得到直接從模擬低通原型變換成數(shù)字高通表達(dá)式c為模擬低通截止頻率c為實踐高通截止頻率式中 由此得到數(shù)字高通系統(tǒng)函數(shù)為 數(shù)字高通和模擬低通的極點數(shù)目或階次一樣根據(jù)雙線性變換，模擬高通與數(shù)字高通頻率間的關(guān)系為 于是 有又因 Ha(s)為模擬低通傳送函數(shù) 系數(shù)C的求解 模擬低通與數(shù)字高通間的關(guān)系或 其變換關(guān)系曲線如右圖示令s=j，z=ej， 代入

24、，得到 =0 映射到=, 即z= -1上;=映射到=0, 即z= 1上經(jīng)過上述頻率變換，即可將模擬低通直接變換為數(shù)字高通或 闡明：數(shù)字高通指從到經(jīng)過例 設(shè)計一個巴特沃思高通數(shù)字濾波器，其通帶截止頻率-3dB點處為fc=3kHz，阻帶上限截止頻率fst=2kHz，通帶衰減不大于3 dB， 阻帶衰減不小于 14dB，采樣頻率fs=10kHz 1 求對應(yīng)的各數(shù)字域頻率:2求常數(shù)C 3求低通原型st采用歸一化c=1原型低通作為變換的低通原型，那么低通到高通的變換中所需的C為4求階次N取N=3 按阻帶衰減求原型歸一化模擬低通濾波器的階次N5 求歸一化巴特沃思低通原型的Ha(s)。查表可得Ha(s)為 6

25、 求數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 有 由表5-3知，低通模擬原型到模擬帶通的變換關(guān)系為 5.6.3 模擬低通濾波器變換成數(shù)字帶通濾波器截止頻率為c的模擬低通濾波器到其它頻率選擇性濾波器的轉(zhuǎn)換公式 由雙線性變換，模擬帶通與數(shù)字帶通整理后得到 式中 將參數(shù)D、E進(jìn)一步整理后得到 式中:0、2和1分為數(shù)字帶通中心頻率與上、下邊帶截止頻率定義: 0為帶通濾波器通帶的中心頻率，B為帶通濾波器的通帶寬度0、2和1間的關(guān)系c的求解公式當(dāng)D和E經(jīng)過中心頻率和帶寬或者是中心頻率和邊帶頻率確定后，數(shù)字帶通系統(tǒng)函數(shù)那么也確定下來Ha(s)為模擬低通原型傳送函數(shù) 數(shù)字帶通的極點數(shù)或階數(shù)是模擬低通極點數(shù)的兩倍 模

26、擬低通與數(shù)字帶通頻率間的關(guān)系其映射關(guān)系為： 低通的通帶(=0 附近) 帶通的通帶(=0附近)低通的阻帶(=) 帶通的阻帶(=0, ) 令s=j，z=ej代入變換式中 得到 頻率間關(guān)系曲線=0=0=-=0 模擬低通變換到數(shù)字帶通 例 采樣頻率fs=100kHz, T=10s，設(shè)計三階巴特沃思數(shù)字帶通，其上、下邊帶的 3dB截止頻率分為f2=37.5 kHz，f1=12.5 kHz1=2f1T=212.51031010-6=0.252=2f2T=237.51031010-6=0.75 確定模擬低通到數(shù)字帶通的變換公式 確定待設(shè)計的數(shù)字目的再代入變換公式得 確定模擬低通原型 3 dB截止頻率為c=4/T 三階巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 由N=3，查表得到歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)為 轉(zhuǎn)換為數(shù)字帶通 闡明： 如采用歸一化低通原型(c=1) 設(shè)計數(shù)字帶通，結(jié)果是一樣的。由于 s/c中的c和D中的c相互抵消 設(shè)計時，只需用c=1 的歸一化原型HaN(s)設(shè)計 其他類型的濾波器，也可直接利用歸一化原型設(shè)計 模擬低通原型到模擬帶阻的變換關(guān)系為 5.6.4 模擬低通濾波器變換成數(shù)字帶阻濾波器由雙線性變換，模擬帶通與數(shù)字帶通整理后得