量子力學(xué)課件：第二章 量子力學(xué)原理(Ⅰ)波函數(shù)和 Schr??dinger 方程

1、第二章 量子力學(xué)原理()波函數(shù)和 Schrdinger 方程2.1 波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋 2.2 態(tài)疊加原理 2.3 Schrdinger方程2.4 定態(tài)2.5 一維定態(tài)問題假設(shè)一 微觀體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由相應(yīng)的 歸一化波函數(shù)描述 假設(shè)二 微觀體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)波函數(shù)隨時(shí)間 的變化規(guī)律遵從薛定諤方程假設(shè)三 力學(xué)量由相應(yīng)的線性厄密算符表示假設(shè)四 力學(xué)量算符之間有確定的對易關(guān) 系,稱為量子條件.基本量子條件假設(shè)五 全同的多粒子體系的波函數(shù)對于任 意一對粒子交換而言具有對稱性 玻色子；費(fèi)米子量子力學(xué)的五條假設(shè)2.1 波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋2.1-1 波函數(shù)2.1-2 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋2.1-3 波函數(shù)的歸一化2.

2、1-4 粒子動(dòng)量取值的幾率分布2.1-5 坐標(biāo)和動(dòng)量的期望值2.1-6 量子態(tài)；量子力學(xué)的第一條假設(shè)例：動(dòng)量為 ,能量 的自由粒子，此為自由粒子(單色平面波)的波函數(shù)2.1-1 波函數(shù)量子力學(xué)用坐標(biāo) 和時(shí)間 的復(fù)函數(shù) 來描述粒子的波動(dòng)狀態(tài),稱 為波函數(shù)其波矢為 ；角頻率為伴隨著單色平面波動(dòng). 描述單色平面波的函數(shù)為不再是常量,粒子的狀態(tài)用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：2.1-2 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋如果粒子處于一個(gè)力場中運(yùn)動(dòng)，粒子動(dòng)量和能量電子源感光屏PPOQQO電子一個(gè)一個(gè)的通過小孔，但只要時(shí)間足夠長，底片上增加呈現(xiàn)出衍射花紋。單個(gè)電子就具有波動(dòng)性。 長時(shí)間單個(gè)電子衍射實(shí)驗(yàn)衍射圖樣反映是波的強(qiáng)度電子

3、數(shù)目的分布波動(dòng)性看粒子性看波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 正比于該點(diǎn)附近感光點(diǎn)的數(shù)目， 正比于該點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子數(shù)目， 正比于電子出現(xiàn)在該點(diǎn)附近的幾率感光片上, 某一 點(diǎn)附近衍射圖樣的強(qiáng)度粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù) 來描述，時(shí)刻 時(shí)波在空間一點(diǎn) 的強(qiáng)度 正比于該時(shí)刻粒子在該點(diǎn) 出現(xiàn)的幾率 表示(正比于)在 點(diǎn)處，體積元 中找到粒子的幾率Born 1926年提出了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 (1)描寫粒子的波可以認(rèn)為是幾率波.粒子本身是 完整的,但運(yùn)動(dòng)沒有軌道,任一時(shí)刻粒子在空間各點(diǎn)都有出現(xiàn)的幾率;(2)波函數(shù)本身沒有物理意義,波的強(qiáng)度 有物理意義: 表示粒子在t時(shí)刻在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率分布.（1）歸一化條件在任意時(shí)刻在全

4、空間找到粒子的幾率應(yīng)為1，即要求波函數(shù)滿足歸一化條件：若波函數(shù)不滿足歸一化條件,則將波函數(shù)乘以歸一化常數(shù) ,波函數(shù)的歸一化解出2.1-3 波函數(shù)歸一化歸一化的波函數(shù)為:使得即 和 描述同一狀態(tài)歸一化的波函數(shù)為:則或若 波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)N后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，因?yàn)槲锢砩嫌幸饬x的是相對幾率分布?xì)w一化后，在 時(shí)刻， 點(diǎn)， 體積元內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率是（2）幾率和幾率密度在 時(shí)刻， 點(diǎn)附近單位體積元 內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率密度幾率密度歸一化波函數(shù)三維空間注意：這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，依然只是表示平面波所描寫的狀態(tài)在空間各點(diǎn)找到粒子的幾率相同。(3)平面波歸一化一維空間傅立葉變換2.

5、1-4 粒子動(dòng)量取值的幾率分布逆變換一一對應(yīng),同一量子態(tài)的不同描述方式若 已歸一化，則 也是歸一化的和t時(shí)刻粒子出現(xiàn)在 附近 體積元內(nèi)的幾率t時(shí)刻粒子出現(xiàn)在 附近 體積元內(nèi)的幾率物理意義:動(dòng)量取值的幾率分布2.1-5 坐標(biāo)和動(dòng)量的期望值（1）坐標(biāo)期望值設(shè) 是歸一化波函數(shù)， 是粒子出現(xiàn)在x處dx線段元內(nèi)的幾率，則坐標(biāo)的期望值為：三維情況一維情況 是粒子動(dòng)量在 點(diǎn)取值的幾率，動(dòng)量 的期望值為：這里一維情況（2）動(dòng)量期望值1.2.這里三維情況：（3）坐標(biāo)算符動(dòng)量算符的x分量一維情況三維情況（4）力學(xué)量算符 勢能，動(dòng)能，哈密頓函數(shù)的算符表示例： 動(dòng)能的期望值(一維情況)式中把該力學(xué)量對應(yīng)的算符夾在 和

6、 之間,對全空間積分，即（5）任一力學(xué)量的期望值哈密頓函數(shù)（6）角動(dòng)量算符三個(gè)分量期望值2.1-6 量子態(tài)；量子力學(xué)的第一條假設(shè)量子態(tài)：微觀體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。用波函數(shù)描述。量子力學(xué)的第一條假設(shè)微觀體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由相應(yīng)的波函數(shù)完全地描述。波函數(shù)歸一化后，給出粒子在這個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，在任一時(shí)刻坐標(biāo)、動(dòng)量以及其它所有力學(xué)量取值的幾率分布，用它們來統(tǒng)計(jì)性地完全確定這個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。S2開：狀態(tài) 強(qiáng)度分布|2|22.2 態(tài)疊加原理電子雙縫干涉示意圖S1開：狀態(tài)強(qiáng)度分布|1|21,2同時(shí)開：狀態(tài), 強(qiáng)度分布|2PS1S2電子源感光屏一個(gè)電子有 和 兩種可能的狀態(tài),則處于這兩種狀態(tài)的疊加而成的態(tài)實(shí)驗(yàn)表明而是若 是微

7、觀體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加 也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。 處于 態(tài)的微觀體系，處于 態(tài)， 態(tài).， . 等諸狀態(tài)各有一定的可能性。量子力學(xué)的態(tài)疊加原理2.3 Schrdinger 方程2.3-1 方程的引出； 量子力學(xué)的第二條假設(shè)2.3-2 幾率守恒和幾率流密度2.3-3 波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件2.3-1 方程的引出； 量子力學(xué)的第二條假設(shè)類比經(jīng)典情況量子情況1t=t0 時(shí)刻，已知初態(tài)是 ，所以波函數(shù) 所滿足的方程是 對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。2 滿足態(tài)疊加原理，故 若 和 是方程的解，那末, 也應(yīng)是 該方程的解。這就要求方程應(yīng)是線性的。3方程含普朗克常數(shù)4對時(shí)間一階微商的波動(dòng)方程含虛數(shù)i5方程

8、不能包含狀態(tài)參量，如 , 等 故所以方程合理地寫成:能量量綱線性算符；能量量綱(1)自由粒子滿足的方程自由粒子波函數(shù):將對坐標(biāo)二次微商，有：上式對時(shí)間微商，得：同理有：？ No對自由粒子有 ，則上式右邊為零(1)-(2)式相加，有故和前面公式比較得如果能量關(guān)系式 寫成如下方程形式:作算符替換（見4式）即給出(3)式啟發(fā)：給出Schrdinger方程若粒子處于勢場 中運(yùn)動(dòng)，(2) 勢場 中的運(yùn)動(dòng)粒子作用波函數(shù)上其能量-動(dòng)量關(guān)系為然后作算符替換 對于任一個(gè)非相對論性微觀體系，不論它是單粒子 體系還是多粒子體系，也不論它有無對應(yīng)的經(jīng)典體系，設(shè)它的哈密頓量為 ，則該體系的任一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù) 都滿足如

9、下所示的Schrdinger方程（3）量子力學(xué)第二條假設(shè)其中 對一個(gè)粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應(yīng)不隨時(shí)間改變，即幾率密度分布2.3-2 幾率守恒與幾率流密度（1）幾率流密度矢量總幾率守恒將 式得：考慮 Schrdinger 方程及共軛方程：對幾率密度分布對時(shí)間取微分注意:(7)令幾率流密度矢量（2）幾率密度分布隨時(shí)間演化方程粒子在空間某處出現(xiàn)的幾率不會(huì)憑空地增加或減少，必定通過幾率流的方式與空間其它位置進(jìn)行幾率的相互傳遞。粒子幾率守恒的微分表達(dá)式(7)式可寫成粒子幾率守恒的積分表示式單位時(shí)間內(nèi)通過 V 的封閉表面S流入?yún)^(qū)域內(nèi)的幾率閉區(qū)域 V上找到粒子的總幾率在單位時(shí)間內(nèi)的增量SV（3）

10、幾率守恒的積分表達(dá)式在空間閉區(qū)域V中將上式積分，則有令 V 趨于，積分對全空間進(jìn)行?？紤]粒子在有限空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為零，則公式右邊面積分趨于零于是或說明:粒子在全空間出現(xiàn)的總幾率是守恒的。有限空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)為平方可積的滿足三個(gè)條件有限性、單值性、連續(xù)性波函數(shù)對空間坐標(biāo)的一階微商連續(xù)2.3-3 波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件束縛態(tài):粒子受勢場束縛，波函數(shù)在空間無窮遠(yuǎn)處值為零自由態(tài):2.4 定態(tài) Schrdinger 方程2.4-1 定態(tài)與定態(tài)薛定諤方程2.4-2 非定態(tài)由若干定態(tài)疊加而成若 與時(shí)間無關(guān),故 與時(shí)間無關(guān)令2.4-1 定態(tài)和定態(tài) Schrdinger 方程得分離變量法兩邊同除得上式

11、可化為兩個(gè)方程:于是E具有能量量綱，實(shí)數(shù)有此時(shí)體系能量有確定的值，這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數(shù) 和 稱為定態(tài)波函數(shù)。定態(tài)和定態(tài)波函數(shù)定態(tài)薛定諤方程空間波函數(shù) 和能量E可由該方程和邊界條件得出能量本征值方程哈密頓算符下一步工作：給出所有容許的定態(tài)對于束縛定態(tài): E不能任意取值,因?yàn)榉匠探庑铦M足有限、單值、連續(xù)三個(gè)條件每個(gè)能量(本征值)稱為能級，其解為對應(yīng)的定態(tài)波函數(shù)(本征函數(shù))能譜本征值譜；本征函數(shù)組若一個(gè)能級對應(yīng)多個(gè)定態(tài),則稱為該能級簡并定態(tài)的性質(zhì)1.粒子在空間幾率密度分布與時(shí)間無關(guān)簡并度：一個(gè)能量E對應(yīng)有d個(gè)獨(dú)立無關(guān)的波函數(shù)，稱為該能級d度簡并。2. 幾率流密度矢量與時(shí)間無關(guān)3.粒子動(dòng)量的幾率密度分布與時(shí)間無關(guān)4. 任何不顯含t的力學(xué)量期望值與t無關(guān)2.4-2 非定態(tài)由若干定態(tài)疊加而成當(dāng) 與時(shí)間無關(guān),可以處于兩類狀態(tài): 定態(tài),非定態(tài)非定態(tài)：由若干個(gè)不同能量的定態(tài)疊加而成滿足代入有利用因?yàn)椴煌?獨(dú)立無關(guān)，故體系的任意定態(tài)波函數(shù)線性疊加(疊加系數(shù)與時(shí)間無關(guān))，描述這個(gè)體系的一個(gè)非定態(tài)。求體系t0時(shí)刻的非定態(tài)波