第9講MATLAB符號(hào)計(jì)算

1、第9章 MATLAB符號(hào)計(jì)算9.1 符號(hào)對(duì)象9.2 符號(hào)微積分9.3 級(jí) 數(shù)9.4 符號(hào)方程求解19.1 符號(hào)對(duì)象9.1.1 建立符號(hào)對(duì)象1建立符號(hào)變量和符號(hào)常量 MATLAB提供了兩個(gè)建立符號(hào)對(duì)象的函數(shù)：sym和syms，兩個(gè)函數(shù)的用法不同。(1) sym函數(shù) sym函數(shù)用來(lái)建立單個(gè)符號(hào)量，一般調(diào)用格式為：符號(hào)量名=sym(符號(hào)字符串) 該函數(shù)可以建立一個(gè)符號(hào)量，符號(hào)字符串可以是常量、變量、函數(shù)或表達(dá)式。 例如， a=sym(a),用戶可以使用變量a進(jìn)行各種運(yùn)算.2 應(yīng)用sym函數(shù)還可以定義符號(hào)常量，使用符號(hào)常量進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算時(shí)和數(shù)值常量進(jìn)行的運(yùn)算不同。下面的命令用于比較符號(hào)常量與數(shù)值常量在代

2、數(shù)運(yùn)算時(shí)的差別。 pi1=sym(pi);k1=sym(8); pi2=pi;k2=8; sin(pi1/3) ans = 1/2*3(1/2) sin(pi2/3) ans = sqrt(k1) sqrt(k2) 0.8660 ( 2*2(1/2) 2.8284 )3(2) syms函數(shù) 函數(shù)sym一次只能定義一個(gè)符號(hào)變量，使用不方便。MATLAB提供了另一個(gè)函數(shù) syms，一次可以定義多個(gè)符號(hào)變量。syms函數(shù)的一般調(diào)用格式為： syms 符號(hào)變量名1 符號(hào)變量名2 符號(hào)變量名n 用這種格式定義符號(hào)變量時(shí)不要在變量名上加字符串分界符()，變量間用空格而不要用逗號(hào)分隔。42建立符號(hào)表達(dá)式 含

3、有符號(hào)對(duì)象的表達(dá)式稱為符號(hào)表達(dá)式。建立符號(hào)表達(dá)式有以下3種方法：(1)利用單引號(hào)來(lái)生成符號(hào)表達(dá)式。如：y=1/sqrt(2*x) (2)用sym函數(shù)建立符號(hào)表達(dá)式。如：U=sym(3*x2-5*y+2*x*y+6 )(3) 使用已經(jīng)定義的符號(hào)變量組成符號(hào)表達(dá)式。如：syms x y; V=3*x2-5*y+2*x*y+659.1.2 符號(hào)表達(dá)式運(yùn)算1符號(hào)表達(dá)式的四則運(yùn)算 符號(hào)表達(dá)式的加、減、乘、除運(yùn)算可分別由函數(shù)symadd、symsub、symmul和symdiv來(lái)實(shí)現(xiàn)，冪運(yùn)算可以由sympow來(lái)實(shí)現(xiàn)。如， f=2*x2+3*x-5 ; g=x2-x+7 ; symadd(f,g) ans=

4、 3*x2+2*x+2 symmul(f,g) ans= (2*x2+3*x-5) *(x2-x+7)62符號(hào)表達(dá)式的提取分子和分母運(yùn)算 如果符號(hào)表達(dá)式是一個(gè)有理分式或可以展開(kāi)為有理分式，可利用numden函數(shù)來(lái)提取符號(hào)表達(dá)式中的分子或分母。其一般調(diào)用格式為：n,d=numden(s) 該函數(shù)提取符號(hào)表達(dá)式s的分子和分母，分別將它們存放在n與d中。 (numerator, denominator)73符號(hào)表達(dá)式的因式分解與展開(kāi) MATLAB提供了符號(hào)表達(dá)式的因式分解與展開(kāi)的函數(shù)，函數(shù)的調(diào)用格式為：factor(s)：對(duì)符號(hào)表達(dá)式s分解因式。expand(s)：對(duì)符號(hào)表達(dá)式s進(jìn)行展開(kāi)。colle

5、ct(s)：對(duì)符號(hào)表達(dá)式s合并同類(lèi)項(xiàng)。collect(s,v)：對(duì)符號(hào)表達(dá)式s按變量v合并同類(lèi)項(xiàng)。84符號(hào)表達(dá)式的化簡(jiǎn) MATLAB提供的對(duì)符號(hào)表達(dá)式化簡(jiǎn)的函數(shù)有：simplify(s)：應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對(duì)s進(jìn)行化簡(jiǎn)。simple(s)：調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對(duì)表達(dá) 式進(jìn)行綜合化簡(jiǎn)，并顯示化簡(jiǎn)過(guò)程。95符號(hào)表達(dá)式與數(shù)值表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換 利用函數(shù)sym可以將數(shù)值表達(dá)式變換成它的符號(hào)表達(dá)式。如， sym(3.14) ans= 157/50 函數(shù)numeric或eval可以將符號(hào)表達(dá)式變換成數(shù)值表達(dá)式。如， numeric(1+sqrt(5)/2) ans= 1.6180109.1.3 符號(hào)表達(dá)式中

6、變量的確定 MATLAB中的符號(hào)可以表示符號(hào)變量和符號(hào)常量。findsym可以幫助用戶查找一個(gè)符號(hào)表達(dá)式中的的符號(hào)變量。該函數(shù)的調(diào)用格式為：findsym(s,n) 函數(shù)返回符號(hào)表達(dá)式s中的n個(gè)符號(hào)變量，若沒(méi)有指定n，則返回s中的全部符號(hào)變量。119.1.4 符號(hào)矩陣 符號(hào)矩陣也是一種符號(hào)表達(dá)式，所以前面介紹的符號(hào)表達(dá)式運(yùn)算都可以在矩陣意義下進(jìn)行。但應(yīng)注意這些函數(shù)作用于符號(hào)矩陣時(shí)，是分別作用于矩陣的每一個(gè)元素。 由于符號(hào)矩陣是一個(gè)矩陣，所以符號(hào)矩陣還能進(jìn)行有關(guān)矩陣的運(yùn)算。MATLAB還有一些專(zhuān)用于符號(hào)矩陣的函數(shù)，這些函數(shù)作用于單個(gè)的數(shù)據(jù)無(wú)意義。例如transpose(s)： 返回s矩陣的轉(zhuǎn)置矩

7、陣。determ(s)：返回s矩陣的行列式值。其實(shí)，曾介紹過(guò)的許多應(yīng)用于數(shù)值矩陣的函數(shù)，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接應(yīng)用于符號(hào)矩陣。129.2 符號(hào)微積分9.2.1 符號(hào)極限limit函數(shù)的調(diào)用格式為：(1) limit(f,x,a)：求符號(hào)函數(shù)f(x)的極限值。即計(jì)算當(dāng)變量x趨近于常數(shù)a時(shí)，f(x)函數(shù)的極限值。(2) limit(f,a)：求符號(hào)函數(shù)f(x)的極限值。由于沒(méi)有指定符號(hào)函數(shù)f(x)的自變量，使用該格式時(shí)，符號(hào)函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f) 確定的默認(rèn)自變量，即變量x趨近于a。13(3) limit(f)：求符號(hào)函數(shù)

8、f(x)的極限值。符號(hào)函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認(rèn)變量；沒(méi)有指定變量的目標(biāo)值時(shí)，系統(tǒng)默認(rèn)變量趨近于0，即a=0的情況。(4) limit(f,x,a,right)：求符號(hào)函數(shù)f的極限值。right表示變量x從右邊趨近于a。(5) limit(f,x,a,left)：求符號(hào)函數(shù)f的極限值。left表示變量x從左邊趨近于a。14例9-1 求下列極限：(1) (2)(1) syms a m x; f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a); limit(f,x,a) ans = (1/2*a*exp(sin(a)+1/2*a-exp

9、(tan(a)+1)/a(2) syms x t; limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf) ans = exp(6*t)15(3) (4)(3) syms x; f=x*(sqrt(x2+1)-x); limit(f,x,inf,left) ans = 1/2(4) syms x; f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2)/sqrt(x*x-4); limit(f,x,2,right) ans = -1/2169.2.2 符號(hào)導(dǎo)數(shù) diff函數(shù)用于對(duì)符號(hào)表達(dá)式求導(dǎo)數(shù)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為：diff(s)：沒(méi)有指定變量和導(dǎo)數(shù)階數(shù)，則系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默

10、認(rèn)變量對(duì)符號(hào)表達(dá)式s求一階導(dǎo)數(shù)。diff(s,v)：以v為自變量，對(duì)符號(hào)表達(dá)式s求一階導(dǎo)數(shù)。diff(s,n)：按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對(duì)符號(hào)表達(dá)式s求n階導(dǎo)數(shù)，n為正整數(shù)。diff(s,v,n)：以v為自變量，對(duì)符號(hào)表達(dá)式s求n階導(dǎo)數(shù)。17例9-2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(1) y= ，求y (2) y= ，求y ，y (3) ,求y ,y (4) z= ，求zx ，zy syms a b t x y z; f1=sqrt(1+exp(x);diff(f1) %求(1) f2=x*cos(x);diff(f2,x,2) %求(2)中y diff(f2,x,3) %求(2)中y g1=a

11、*cos(t); g2=b*sin(t); diff(g1)/ diff(g2) %求(3)中y , 下行求y (diff(g1)*diff(g2,2)- diff(g1,2)*diff(g2)/ (diff(g1)3 f4=x*exp(y)/y2; diff(f4,x) %求(4)diff(f4,y) %求(4)189.2.3 符號(hào)積分符號(hào)積分由函數(shù)int來(lái)實(shí)現(xiàn)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為：int(s)：沒(méi)有指定積分變量和積分階數(shù)時(shí)，系統(tǒng)按 findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對(duì)被積函數(shù)或符 號(hào)表達(dá)式s求不定積分。int(s,v)：以v為自變量，對(duì)被積函數(shù)或符號(hào)表達(dá)式s求 不定積分。int(s,v,

12、a,b)：求定積分運(yùn)算。a,b分別表示定積分的下限和上限。該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分。a和b可以是兩個(gè)具體的數(shù)，也可以是一個(gè)符號(hào)表達(dá)式，還可以是無(wú)窮(inf)。當(dāng)函數(shù)f關(guān)于變量x在閉區(qū)間a,b上可積時(shí)，函數(shù)返回一個(gè)定積分結(jié)果。當(dāng)a,b中有一個(gè)是inf時(shí)，函數(shù)返回一個(gè)廣義積分。當(dāng)a,b中有一個(gè)符號(hào)表達(dá)式時(shí)，函數(shù)返回一個(gè)符號(hào)函數(shù)。19例9-3 求下列積分。 (2) (4)命令如下： x=sym(x);t=sym(t); int(abs(1-x),1,2) %求(1) 1/2 f=1/(1+x2); int(f,-inf,inf) %求(2) pi f=x3/(x-1)10; I=int

13、(f,2,3) %求(3) 138535/129024 int(4*x/t,t,2,sin(x) %求(4) 4*log(sin(x)*x-4*log(2)*x209.2.4 積分變換 常見(jiàn)的積分變換有傅立葉變換、拉普拉斯變換和Z變換。1傅立葉(Fourier)變換傅立葉變換:逆變換： 在MATLAB中，進(jìn)行傅立葉變換的函數(shù)是：fourier(f,x,t)： 求函數(shù)f(x)的傅立葉像函數(shù)F(t)。ifourier(F,t,x)：求傅立葉像函數(shù)F(t)的原函數(shù) f(x)。212拉普拉斯(Laplace)變換拉普拉斯變換：逆變換：在MATLAB中，進(jìn)行拉普拉斯變換的函數(shù)是：laplace(fx,x

14、,t)： 求函數(shù)f(x)的拉普拉斯像函數(shù) F(t)。ilaplace(Fw,t,x)：求拉普拉斯像函數(shù)F(t)的原 函數(shù)f(x)。223Z變換當(dāng)函數(shù)f(x)呈現(xiàn)為一個(gè)離散的數(shù)列f(n)時(shí)，對(duì)數(shù)列f(n)進(jìn)行z變換：逆變換：對(duì)數(shù)列f(n)進(jìn)行z變換的MATLAB函數(shù)是：ztrans(fn,n,z)：求f(n)的Z變換像函數(shù)F(z)。iztrans(Fz,z,n)：求F(z)的z變換原函數(shù)f(n)。239.3 級(jí) 數(shù)9.3.1 級(jí)數(shù)符號(hào)求和求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和需要符號(hào)表達(dá)式求和函數(shù)symsum，其調(diào)用格式為：symsum(s,v,n,m)其中s表示一個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，是一個(gè)符號(hào)表達(dá)式。v是求和變量，v省略時(shí)

15、使用系統(tǒng)的默認(rèn)變量。n和m是求和的開(kāi)始項(xiàng)和末項(xiàng)。例9-4 求下列級(jí)數(shù)之和。(1) (2)249.3.2 函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù) MATLAB提供了taylor函數(shù)將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，其調(diào)用格式為：taylor(f,v,n,a) 該函數(shù)將函數(shù)f按變量v展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，展開(kāi)到第n項(xiàng)(即變量v的n-1次冪)為止，n的缺省值為6。v的缺省值與diff函數(shù)相同。參數(shù)a指定將函數(shù)f在自變量v=a處展開(kāi)，a的缺省值是0。259.4 符號(hào)方程求解9.4.1 符號(hào)代數(shù)方程求解 在MATLAB中，求解用符號(hào)表達(dá)式表示的代數(shù)方程可由函數(shù)solve實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為：solve(s)：求解符號(hào)表達(dá)式s的代數(shù)方程，求解 變量為

16、默認(rèn)變量。solve(s,v)：求解符號(hào)表達(dá)式s的代數(shù)方程，求 解變量為v。solve(s1,s2,sn,v1,v2,vn)： 求解符號(hào)表達(dá)式s1,s2,sn組成的代數(shù)方程組，求解變量分別v1,v2,vn。26例9-5 解下列方程和方程組。(1) (2)(3)命令如下： x=solve(2*sin(3*x-pi/4)=1) %解方程(1) x=solve(x+x*exp(x)-10, x) %解方程(2) x y=solve(x+y-8, x(1/3)+y(1/3)-2, x,y) %解方程組(3)279.4.2 符號(hào)常微分方程求解 在MATLAB中，用大寫(xiě)字母D表示導(dǎo)數(shù)。例如，Dy表示y，D2y表示y，Dy(0)=5表示y(0)=5。D3y+