第13章-投資分析(4)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型ppt課件

1、投資學(xué) 第13章投資分析4：Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)模型.概 述Black、Scholes和Merton發(fā)現(xiàn)了看漲期權(quán)定價(jià)公式，Scholes和Merton也因此獲得1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)模型根本假設(shè)8個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)利率知，且為一個(gè)常數(shù)，不隨時(shí)間變化。標(biāo)的股票不支付紅利期權(quán)為歐式期權(quán).無買賣費(fèi)用：股票市場(chǎng)、期權(quán)市場(chǎng)、資金借貸市場(chǎng)投資者可以自在借貸資金，且二者利率相等，均為無風(fēng)險(xiǎn)利率股票買賣無限細(xì)分，投資者可以購買恣意數(shù)量的標(biāo)的股票對(duì)賣空沒有任何限制標(biāo)的資產(chǎn)為股票，其價(jià)錢S的變化為幾何布朗運(yùn)動(dòng).B-S模型證明思緒ITO引理ITO過程B-S微分方程B-S買權(quán)定價(jià)公式.13.1 維納過程根

2、據(jù)有效市場(chǎng)實(shí)際，股價(jià)、利率和匯率具有隨機(jī)游走性，這種特性可以采用Wiener process，它是Markov stochastic process的一種。對(duì)于隨機(jī)變量w是Wiener process，必需具有兩個(gè)條件：在某一小段時(shí)間t內(nèi)，它的變動(dòng)w與時(shí)段滿足t.13.12. 在兩個(gè)不重疊的時(shí)段t和s, wt和ws是獨(dú)立的，這個(gè)條件也是Markov過程的條件，即增量獨(dú)立！13.2有效市場(chǎng).滿足上述兩個(gè)條件的隨機(jī)過程，稱為維納過程，其性質(zhì)有當(dāng)時(shí)段的長度放大到T時(shí)從如今的0時(shí)辰到未來的T時(shí)辰隨機(jī)變量wt的滿足.證明：.在延續(xù)時(shí)間下，由13.1和13.2得到13.313.4所以， 概率分布的性質(zhì)以上

3、得到的隨機(jī)過程，稱為維納過程。.13.2 ITO定理普通維納過程(Generalized Wiener process)可表示為13.5顯然，普通維納過程的性質(zhì)為.普通維納過程仍缺乏以代表隨機(jī)變量復(fù)雜的變動(dòng)特征。漂移率和方差率為常數(shù)不恰當(dāng)假設(shè)把變量xt的漂移率a和方差率b當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，擴(kuò)展后得到的即為ITO過程.B-S 期權(quán)定價(jià)模型是根據(jù)ITO過程的特例幾何布朗運(yùn)動(dòng)來代表股價(jià)的動(dòng)搖省略下標(biāo)t，變換后得到幾何布朗運(yùn)動(dòng)方程13.6證券的預(yù)期報(bào)答與其價(jià)錢無關(guān)。.ITO定理：假設(shè)某隨機(jī)變量x的變動(dòng)過程可由ITO過程表示為省略下標(biāo)t令f(x,t)為隨機(jī)變量x以及時(shí)間t的函數(shù)，即f(x,t)可

4、以代表以標(biāo)的資產(chǎn)x的衍生證券的價(jià)錢，那么f(x,t)的價(jià)錢變動(dòng)過程可以表示為13.7.證明：將13.7離散化由13.1知利用泰勒展開，忽略高階段項(xiàng)，f(x,t)可以展開為13.8.在延續(xù)時(shí)間下，即因此，13.8可以改寫為13.9從而.即x2不呈現(xiàn)隨機(jī)動(dòng)搖！13.10.由13.10可得13.11由13.11得到13.12. 由于x2不呈現(xiàn)隨機(jī)動(dòng)搖，所以，其期望值就收斂為真實(shí)值，即當(dāng)t0時(shí)，由13.9可得.13.3 B-S微分方程假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢變動(dòng)過程滿足這里S為標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前的價(jià)錢，令f(s,t)代表衍生證券的價(jià)錢，那么f(x,t)的價(jià)錢變動(dòng)過程可由ITO引理近似為.假設(shè)某投資者以份的標(biāo)的資產(chǎn)多

5、頭和1個(gè)單位的衍生證券空頭來構(gòu)造一個(gè)組合，且滿足那么該組合的收益為.下面將證明該組合為無風(fēng)險(xiǎn)組合，在t時(shí)間區(qū)間內(nèi)收益為.留意到此時(shí)不含有隨機(jī)項(xiàng)w，這意味著該組合是無風(fēng)險(xiǎn)的，設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)收益率為r，且由于t較小不采用延續(xù)復(fù)利，那么整理得到.B-S微分方程的意義衍生證券的價(jià)錢f，只與當(dāng)前的市價(jià)S，時(shí)間t，證券價(jià)錢動(dòng)搖率和無風(fēng)險(xiǎn)利率r有關(guān)，它們?nèi)际强陀^變量。因此，無論投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好如何，都不會(huì)對(duì)f的值產(chǎn)生影響。在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，可以采用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)，即一切證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險(xiǎn)利率r。只需標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，都可以采用B-S微分方程求出價(jià)錢f。.假設(shè)股票價(jià)錢服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)設(shè)當(dāng)前時(shí)辰為

6、t，那么T時(shí)辰股票價(jià)錢滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即13.4 幾何布朗運(yùn)動(dòng)與對(duì)數(shù)正態(tài)分布.令那么這樣由伊藤引理得到即.由13.1.那么稱ST服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其期望值為所以.13.5 B-S買權(quán)定價(jià)公式 對(duì)于歐式不支付紅利的股票期權(quán)，其看漲期權(quán)買權(quán)的在定價(jià)日t的定價(jià)公式為.1設(shè)當(dāng)前時(shí)辰為t，到期時(shí)辰T，假設(shè)股票價(jià)錢服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，假設(shè)曾經(jīng)當(dāng)前時(shí)辰t的股票價(jià)錢為St,那么T時(shí)辰的股票價(jià)錢的期望值為B-S買權(quán)定價(jià)公式推導(dǎo)13.13.13.14由13.13和13.14得到13.15根據(jù)B-S微分方程可知，定價(jià)是在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，那么資產(chǎn)的期望報(bào)答為無風(fēng)險(xiǎn)報(bào)答，那么這闡明：在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中，任何可買賣的金融

7、資產(chǎn)的報(bào)答率均為無風(fēng)險(xiǎn)利率。.2在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，任何資產(chǎn)的貼現(xiàn)率為無風(fēng)險(xiǎn)利率r，故買權(quán)期望值的現(xiàn)值為13.16.由于ST服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其pdf為13.17第1項(xiàng)第2項(xiàng)將由(13.16)得到.3化簡13.17中的第1、2項(xiàng)，先化簡第1項(xiàng)13.18當(dāng)前時(shí)辰價(jià)錢，不是變量.13.19. 將13.19與13.18內(nèi)的第2個(gè)指數(shù)項(xiàng)合并，即13.20.將13.20代入13.18下面，將利用變量代換來簡化13.21，無妨令13.21.y的積分下限為y的積分上限為.將dy與y代入13.21，即有這樣就完成了第1項(xiàng)的證明。13.22.下面證明B-S公式中的第2項(xiàng)，首先進(jìn)展變量代換，令.那么z的積分下限z

8、的積分上限.將z和dz代入13.23.那么由13.22和13.23得到其中.pr0dN(d)例如:當(dāng)d1.96時(shí),N(d)913.5%.B-S買權(quán)公式的意義N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中ST大于X的概率，或者說式歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率。 e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 .其次， 是復(fù)制買賣戰(zhàn)略中股票的數(shù)量，SNd1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)那么是復(fù)制買賣戰(zhàn)略中負(fù)債的價(jià)值。假設(shè)兩個(gè)N(d)均為1，看漲期權(quán)價(jià)值為St-Xe-rT，那么沒有不確定性。假設(shè)確實(shí)執(zhí)行了，我們就

9、獲得了以St為現(xiàn)價(jià)的股票的一切權(quán)，而承當(dāng)了現(xiàn)值Xe-rT的債務(wù)。期權(quán)的價(jià)值關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)錢及其方差，以及到期時(shí)間等5個(gè)變量的非線性函數(shù)Ct=f(St,X,r)的函數(shù)，具有如下性質(zhì).FactorEffect on valueStock price increasesExercise price decreasesVolatility of stock price increasesTime to expirationincreasesInterest rate increasesDividend RatedecreasesFactors Influencing Option Values: C

10、allsSo = 100X = 95r = 0.10T = 0.25 (quarter)= 0.50d1 = ln(100/95) + (0.10+(05 2/2) / (050.251/2) = 0.43 d2 = 0.43 + (050.251/2) =0.18N (0.43) = 0.6664， N (0.18) =0 .5714Call Option Example.Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)Co = 100 X .6664 - 95 e- .10 X .25 X .5714 Co = 13.70P = Xe-rT 1-N(d2) - S0 1-N(d1)Cal

11、l Option Value.13.6 看跌期權(quán)的定價(jià)利用金融工程的原理來對(duì)待期權(quán)平價(jià)關(guān)系思索如下兩個(gè)組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金組合B：一份有效期和協(xié)議價(jià)錢與看漲期權(quán)一樣的歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn).組合A到期時(shí)辰T的收益組合B到期時(shí)辰T的收益兩個(gè)組合具有一樣的價(jià)錢，且由于歐式期權(quán)不能提早執(zhí)行，那么在t時(shí)辰兩個(gè)組合價(jià)值相等，否那么就有套利，即此為看漲看跌期權(quán)平價(jià)公式。.從幾何圖性上看，二者對(duì)影響期權(quán)的關(guān)鍵目的都進(jìn)展了負(fù)向變換，是關(guān)于縱向?qū)ΨQ的。.標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢期權(quán)價(jià)值.13.7 有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價(jià)當(dāng)標(biāo)的證券知收益的現(xiàn)值為I時(shí)，我們只需用StI替代B-S公式中的St當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按延續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率q單位為年時(shí)，我們只需將.對(duì)于歐式期貨期權(quán)，其定價(jià)公式為其中：F為到期日期貨的價(jià)錢，即付出X，得到一個(gè)價(jià)值為F的期貨.根據(jù)泰勒公式對(duì)期權(quán)價(jià)錢進(jìn)展二階展開，忽略高階項(xiàng)DeltaThetaVegaRhoG