高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專項(xiàng)練習(xí)12講

1、第1講：導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性一知識(shí)梳理二典例分析1. 利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性(不含參數(shù))求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（1） （2） （3） （4） 練習(xí)1.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（1） （2）（3） （4）2.利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性(含參數(shù))例2.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）討論函數(shù)的單調(diào)性.練習(xí)2.討論下列函數(shù)的單調(diào)性.（1）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性3.已知單調(diào)性求參數(shù)的值.例3.已知函數(shù), 若函數(shù)在上是單調(diào)遞增的，求的取值范圍練習(xí)3.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若

2、函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系例4已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么函數(shù)的圖象最有可能的是ABCD5.利用單調(diào)性證明不等式(一)例5.證明下列不等式（1）證明：當(dāng)，；（2）若，證明：當(dāng)，.練習(xí)4.（1）證明：當(dāng)，；（2）證明：當(dāng)，.6.利用單調(diào)性求解不等式例6.（1）定義在R上的函數(shù)滿足，且對(duì)任意xR都有，求不等式的解集；（2）已知函數(shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)滿足，則求解不等式的解集.三課后練習(xí)1函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為( )ABCD2若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（ ）ABCD3若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD4已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的

3、底數(shù)），則不等式的解集為（ ）ABCD5設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖像可能為( )ABCD6函數(shù)的圖象大致為（ ）ABCD7函數(shù)的定義域是，對(duì)任意的，都有成立，則不等式的解集為( )ABCD8已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?duì)任意，則的解集為（ ）ABCD9已知實(shí)數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是ABCD11已知函數(shù)（）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間12已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；第2講.抽象不等式問題典例分析.若是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，恒成立，則不等式的解集是（ ）A B C D練習(xí)1定義在R上

4、的奇函數(shù)f(x)滿足f(1)0，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)xf(x)，則下列關(guān)系式中成立的是()ABCD練習(xí)2已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)于任意的，都有，則（ ）ABCD練習(xí)3設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）BCD練習(xí)4是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，對(duì)任意實(shí)數(shù)，若，則必有（ ）BCD練習(xí)5對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足則必有（ ）ABCD練習(xí)6定義在上的函數(shù)滿足：，則不等式 的解集為（ ）A(0,+)B(,0)(3,+ )C(,0)(0,+)D(3,+ )參考答案11解：（），在處切線方程為.（），令，即，解得或當(dāng)時(shí)（即時(shí)），由得或，由得，的增區(qū)間為， ，減區(qū)間為，當(dāng)

5、（即時(shí)），由得或，由得，增區(qū)間為， ，減區(qū)間為當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，的增區(qū)間為無減區(qū)間綜上， 時(shí)， 增區(qū)間為， ，減區(qū)間為，時(shí)， 增區(qū)間為， ，減區(qū)間為，時(shí)， 增區(qū)間為，無減區(qū)間（8分）12：（1）當(dāng)時(shí)，所以所求的切線方程為，即（2），當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)榛驎r(shí)，；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)榛驎r(shí)，；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減第3講.雙極值點(diǎn)問題探究一典例分析例1. 已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：二自主練習(xí)1.已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.2. 已知函數(shù).若函數(shù)在是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若函數(shù)

6、在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.已知上的函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)為，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.5已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，.（1）求的取值范圍；（2）證明：.6已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)、.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求證：，且.4.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則.當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，方程有兩根，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，.的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，不妨設(shè)，則.由于，且，所以，則.5.解：（1），有兩個(gè)不等正根，解得.（2）由

7、已知得，令，則，是增函數(shù)，即.6.解：（1），定義域?yàn)椋?由題意可知，方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根、，則，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）由題意可知，、為方程的兩個(gè)實(shí)根，由于，則，當(dāng)時(shí)，由（1）可知，令，設(shè)，.，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，因此，.練習(xí)9【詳解】計(jì)算導(dǎo)數(shù)得到，結(jié)合構(gòu)造新函數(shù)得到要使得存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則要求有兩個(gè)不同的根，且，則，解得，而，構(gòu)造新函數(shù)，計(jì)算導(dǎo)數(shù)得到，結(jié)合前面提到的a的范圍可知在單調(diào)遞增，故，因而，表示為區(qū)間則是，故選A。第4講：導(dǎo)數(shù)與最值基礎(chǔ)知識(shí)：典例分析一求函數(shù)的最值例1.求函數(shù)在區(qū)間最大值與最小值.例2.已知函數(shù)，其中設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的

8、最小值練習(xí)1. 已知函數(shù)求在區(qū)間上的最大值和最小值；二已知函數(shù)的最值求參數(shù)例3. 設(shè)，函數(shù)的最大值為1，最小值為，求常數(shù).練習(xí)2.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.練習(xí)3. 已知函數(shù)若，求的值.練習(xí)4. 已知函數(shù)，且（1）求；（2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且 QUOTE 三恒成立問題1.不含參恒成立例4. 證明常用不等式（1） （2） 2.含參恒成立之分離參數(shù)例5.已知函數(shù)在與處都取得極值（1）求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)，不等式恒成立，求的取值范圍例6已知函數(shù)，若，且對(duì)任意的恒成立，則的最大值為_

9、練習(xí)5已知函數(shù). 若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3.已知參數(shù)范圍放縮參數(shù)消參例7.已知函數(shù).設(shè)是的極值點(diǎn)，求，并討論的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，證明練習(xí)6已知函數(shù)（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求的值；（2）證明；當(dāng)時(shí)，4.值域法例8.設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意的都有成立，則實(shí)數(shù)的值為_練習(xí)7. 已知函數(shù).（1）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大值.（e為自然對(duì)數(shù)的底）第5講 端點(diǎn)效應(yīng)及應(yīng)用例9（2020成都二診）已知函數(shù)，其中.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè).若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.練習(xí)8（2016四川卷）設(shè)函數(shù).討論的單調(diào)性；確定的值，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立.第六講 函數(shù)同構(gòu)及應(yīng)用

10、若能夠變形成，然后利用的單調(diào)性，如遞增，轉(zhuǎn)化為，即為同構(gòu)變換.例如：.例題：對(duì)下列不等式或等式進(jìn)行同構(gòu)變換 （2） （4） （6）（7） （8）練習(xí)題1.若對(duì),恒有，則實(shí)數(shù)的最小值為_.2.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_.3.若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_.練習(xí).已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_.4.已知函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，.已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則_.6.若函數(shù)，證明：.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的最小值為_.7.已知函數(shù)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.8.已知，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.已知，求證：時(shí)，.10.（1）函數(shù)的最大值為_.（2）函數(shù)的最小值為_.（3）函數(shù)

11、的最大值為_.（4）函數(shù)的最小值為_.總練習(xí)題1已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ）.ABCD2已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象恒在軸的上方，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD3若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )ABCD4已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值.5已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值和最小值.6已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得極值，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍7已知函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.8已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

12、；（2）當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立.第7講：恒成立問題7法最值分析法.已知函數(shù)，證明：.例2.已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.方法二：分離參數(shù)例3.（2020全國一卷）已知函數(shù).當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.例4.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若f（x）1，求a的取值范圍方法三：端點(diǎn)效應(yīng)例5（2020成都二診）已知函數(shù)，其中.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè).若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.練習(xí)1（2016四川卷）設(shè)函數(shù).討論的單調(diào)性；確定的值，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立.練習(xí)2.（2019成都三診）設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí)，判斷是否為

13、函數(shù)的極值點(diǎn)，并說明理由；當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的最小值.方法四：放縮1.不等式放縮例6.已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.（1）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.練習(xí)1. 已知函數(shù).當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；若，求的取值范圍.練習(xí)2.已知函數(shù). 若，求的取值范圍.練習(xí)3已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值;（2）當(dāng)時(shí),若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.練習(xí)4. 已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：;（2）若對(duì)于定義域內(nèi)任意，恒成立，求的范圍.已知參數(shù)范圍進(jìn)行局部放縮（加必要性探路）例6：已知函數(shù).設(shè)是的極值點(diǎn)，求，并討論的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，證明練習(xí)已知函數(shù)（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，

14、求的值；（2）證明；當(dāng)時(shí)，方法五：凸凹反轉(zhuǎn)例7.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.練習(xí).（2020成都三診理）已知函數(shù).當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)時(shí)，證明：.練習(xí)：設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線為（1）求；（2）證明：第8講導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)一導(dǎo)言導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)專題是高考考察的重點(diǎn)內(nèi)容，下表列舉了從16年起全國卷對(duì)這個(gè)點(diǎn)的考察：2020年2019年2018年2017年2016年全國一卷 20題：證明零點(diǎn)個(gè)數(shù)21題：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)21題：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，零點(diǎn)偏移全國二卷20題：證明零點(diǎn)個(gè)數(shù)，公切線.21題：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)全國三卷21題：零點(diǎn)分布如上表所示，導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)是高考導(dǎo)數(shù)大題部分的

15、重要命題方向之一，結(jié)合近五年全國主要地方的模擬考試題來看，該專題大致可以分為四個(gè)具體的命題方向：1.判斷或證明零點(diǎn)個(gè)數(shù). 此題型以2019年全國一卷20題為典型例子，是一類較新的題型. 重點(diǎn)考察學(xué)生利用函數(shù)單調(diào)性與值域，零點(diǎn)存在性定理準(zhǔn)確的找到零點(diǎn)的存在性，突出考察學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，具有較高的綜合性. 2.已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍. 此題型在16-18年連續(xù)三年均有考察，處理此類問題有兩種常見的方法：含參數(shù)討論及分離參數(shù)，重點(diǎn)考察學(xué)生利用函數(shù)單調(diào)性分析值域，數(shù)形結(jié)合解決問題.此題型還可衍生到對(duì)過點(diǎn)求切線個(gè)數(shù)，公切線個(gè)數(shù)的考察上.3.討論或者證明零點(diǎn)所滿足的分布特征.此題型以2020年

16、全國三卷21題為典型例子，需要在找到零點(diǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析出零點(diǎn)所滿足的分布，對(duì)學(xué)生的邏輯推理，嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)均有較高的要求.4.零點(diǎn)偏移或者雙零點(diǎn)，極值點(diǎn)問題.主要考察變量替換與構(gòu)造函數(shù)解決問題的基本方法，此類問題處理方法較多，有偏移法處理，變量代換，對(duì)數(shù)均值不等式等均可完成，在各地的模擬題中屬于常見的類型.下面，將通過一些高考題目和典型的模擬題具體展開這四類題型的研究和討論，找到破解零點(diǎn)問題的常見思路與方法，提升邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象的核心素養(yǎng)，讓學(xué)生在研究問題的過程中獲得成就感.二題型1：判斷或證明零點(diǎn)個(gè)數(shù)1已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)2已

17、知函數(shù).討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明：曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線.3.已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）判斷當(dāng)時(shí)，與的圖象公切線的條數(shù)，并說明理由.4已知函數(shù),為的導(dǎo)函數(shù).(1)求證:在上存在唯一零點(diǎn);(2)求證:有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn).題型2：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍5已知函數(shù)（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值.6已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若 QUOTE 有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍:7已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).8已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)，若

18、函數(shù)恰好有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(取，)題型3：零點(diǎn)的分布特征9設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f()處的切線與y軸垂直（1）求b（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于110已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若分別為的最大零點(diǎn)和最小零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，證明：.11.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線為，求的最小值；（2）當(dāng)常數(shù)時(shí)，若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.12已知函數(shù)和函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)、，求的取值范圍.第9講 零點(diǎn)（極值點(diǎn)）偏移，雙零點(diǎn)（極值點(diǎn)）問題13.已知函數(shù)，若，證明：.14設(shè)函數(shù).（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）如果

19、且關(guān)于的方程有兩解，證明.15.已知有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：.16.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).求的取值范圍；設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.練習(xí)題1已知函數(shù)，若函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD2已知方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）BCD已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD4若二次函數(shù)的圖象與曲線存在公共切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A，B，C，D，5已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng) 時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).已知函數(shù).討論函數(shù)在上單調(diào)性；設(shè)，試證明在上有且僅有三個(gè)零點(diǎn).7.已知函數(shù).求實(shí)數(shù)

20、的值；若函數(shù)，求證：有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).（）8.設(shè)函數(shù)，.（1）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求的極小值；（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).9設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性：（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.10已知函數(shù)（1）求在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）在曲線上是否存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P可作三條直線與曲線相切？若存在，求出其橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由已知函數(shù).時(shí)，求處的切線方程；時(shí)，是否存在兩個(gè)極值點(diǎn)，若存在，求實(shí)數(shù)的最小整數(shù)解，若不存在，說明理由.12.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，證明：.13.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求

21、實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，為函數(shù)在上的零點(diǎn)，求證：.14.已知函數(shù).（1）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)有且只有三個(gè)不同的零點(diǎn)，分別記為，且的最大值為，求的最大值.15.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，證明：.16.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）方程有三個(gè)實(shí)根求證：17設(shè)函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在三個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍，并證明:.18已知函數(shù)，且.（1）求的值；（2）在函數(shù)的圖象上任意取定兩點(diǎn)，記直線的斜率為，求證：存在唯一，使得成立.第10講 泰勒公式在高考試題中的應(yīng)用泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的

22、重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，它貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終。泰勒公式的重點(diǎn)就在于使用一個(gè)次多項(xiàng)式,去逼近一個(gè)已知的函數(shù)，而且這種逼近有很好的性質(zhì)：與在點(diǎn)具有相同的直到階的導(dǎo)數(shù).所以泰勒公式能很好的集中體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中的“逼近”這一思想精髓。泰勒公式的難點(diǎn)就在于它的理論性比較強(qiáng)，一般很難接受，更不用說應(yīng)用了。但泰勒公式無論在科研領(lǐng)域還是在證明、計(jì)算應(yīng)用等方面，它都起著很重要的作用.運(yùn)用泰勒公式，對(duì)不等式問題進(jìn)行分析、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、放縮是解決不等式證明問題的常用方法與基本思想.本文擬在前面文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上通過舉例歸納，總結(jié)泰勒公式在證明不等式中的應(yīng)用方法. 泰勒公式知識(shí)：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)該鄰域內(nèi)

23、異于的任意點(diǎn)，在與之間至少存在一點(diǎn)，使得：=+ +，其中稱為余項(xiàng)，上式稱為階泰勒公式；若0，則上述的泰勒公式稱為麥克勞林公式，即= +.利用泰勒公式證明不等式：若函數(shù)在含有的某區(qū)間有定義,并且有直到階的各階導(dǎo)數(shù),又在點(diǎn)處有階的導(dǎo)數(shù),則有公式在上述公式中若(或),則可得或證明: 證明 設(shè) 則在處有帶有拉格朗日余項(xiàng)三階泰勒公式 由以上證明可知,用泰勒公式證明不等式,首先構(gòu)造函數(shù),選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)在處展開,然后判斷余項(xiàng)的正負(fù),從而證明不等式.對(duì)于欲證不等式中含有初等函數(shù)、三角函數(shù)、超越函數(shù)與冪函數(shù)結(jié)合的證明問題，要充分利用泰勒公式在時(shí)的麥克勞林展開式，選取適當(dāng)?shù)幕竞瘮?shù)麥克勞林的的展開式，對(duì)題目進(jìn)行分析

24、、取材、構(gòu)造利用.證明不等式：.2、不等式左邊是三次二項(xiàng)式的初等函數(shù)，右邊是三角函數(shù)，兩邊無明顯的大小關(guān)系 。這時(shí)我們可用在的二階麥克勞林公式表示出來，然后進(jìn)行比較判斷兩者的大小關(guān)系。 證明 , 當(dāng)時(shí)，的泰勒展式為： 0 (0, ,01)所以0,，有 .在含有無理函數(shù)與冪函數(shù)結(jié)合的不等式證明問題中，它們之間沒有明顯的大小關(guān)系。如果用常規(guī)方法（放縮法、比較法，代換法等），我們很難比較它們之間的大小關(guān)系，但這時(shí)用泰勒公式卻能輕易解答.證明不等式：，（0）.對(duì)于此題，若我們對(duì)不等式兩邊同時(shí)平方，雖可以去掉根號(hào)，但的次數(shù)卻提高了次，這還是難以比較他們之間的大小關(guān)系，但若用泰勒公式卻可以輕易解答.證明

25、設(shè)，則,代入=0的二階泰勒公式，有=1+- + (01) 0, 0 所以 （x0）.在不等式的證明問題中，若題目中出現(xiàn)了一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、初等函數(shù)、三角函數(shù)或超越函數(shù)等與冪函數(shù)結(jié)合時(shí)，可優(yōu)先考慮泰勒公式在=0時(shí)的麥克勞林表達(dá)式。當(dāng)然能做好此類題的前提條件是要對(duì)一些基本函數(shù)的麥克勞林表達(dá)式熟悉.微分中值定理: 若滿足以下條件:(1) 在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù) (2) 在開區(qū)間上可導(dǎo)則 若分析 因?yàn)閯t原不等式等價(jià)于 .令,則我們?nèi)菀茁?lián)想到中值定理.證明 設(shè),顯然滿足中值定理的條件則 即5、已知函數(shù)， ；(2),因?yàn)樗?。故得證 （也可用中值定理來證）6、已知函數(shù)解： 評(píng)注：本題得到不等式與不等式構(gòu)成經(jīng)典不等式，即.7、已知解析： 由經(jīng)典不等式及因此故又綜上所述，得第11講 雙變量放縮.雙變量放縮主要指切割線放縮，此時(shí)題干所給函數(shù)具有明顯的凸凹性，我們可以借助切線不等式的原理將某些變量進(jìn)行合理的放縮得到結(jié)果.4.已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)求函數(shù)的零點(diǎn)，以及曲線在處的切線方程；(2)設(shè)