理論力學(xué)6沈陽建筑第17章

1、第十七章 虛位移原理沈陽建筑大學(xué) 侯祥林第十七章引言第十七章 虛位移原理17-1 約束 虛位移 虛功 17-2 虛位移原理 17-3 自由度和廣義坐標(biāo) 17-4 以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件 虛位移原理例題達(dá)朗貝爾原理: 是用靜力學(xué)的解法求解動(dòng)力學(xué)問題。虛位移原理: 是應(yīng)用功的概念分析系統(tǒng)的平衡問題， 即研究靜力學(xué)平衡問題的另一途徑。 處理的問題是理想約束的系統(tǒng)，理想約束系統(tǒng)約束反力不做功. 第十七章 虛位移原理1.約束工程中大多數(shù)物體的運(yùn)動(dòng)都受到周圍物體的限制，不能任意運(yùn)動(dòng)，這種質(zhì)點(diǎn)系稱為非自由質(zhì)點(diǎn)系。限制非自由質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的條件稱為約束。17-1 約束 虛位移 虛功圖示曲柄OA受到鉸鏈O的

2、約束，只能繞O轉(zhuǎn)動(dòng)；滑動(dòng)B受到滑道的約束只能沿滑道運(yùn)動(dòng)；連桿AB又使曲柄和滑塊間的AB距離保持不變。從受力分析的角度看：約束對(duì)被約束的物體施加約束反力；從運(yùn)動(dòng)的角度看：約束對(duì)被約束的質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)強(qiáng)加了某種限制條件；非自由質(zhì)點(diǎn)系最常見的約束是限制其中各質(zhì)點(diǎn)的位移關(guān)系，這種約束稱為幾何約束。限制質(zhì)點(diǎn)系位移的幾何約束可用相應(yīng)的約束方程描述；細(xì)桿連接的質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)：約束方程x2+y2=l2直線上滑塊的運(yùn)動(dòng)：約束方程x=0運(yùn)動(dòng)約束如果與時(shí)間無關(guān)稱為：穩(wěn)定約束運(yùn)動(dòng)約束如果與時(shí)間有關(guān)稱為：不穩(wěn)定約束質(zhì)點(diǎn)在固定曲面上的運(yùn)動(dòng)：約束方程F(x,y,z)=02.虛位移 在平衡物體中，質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)是靜止不動(dòng)的

3、，設(shè)在約束允許的條件下，給質(zhì)點(diǎn)一個(gè)極小的位移。例如如圖：A點(diǎn)的rA，B點(diǎn)的rB及x 、s ，都是在約束允許條件下的假想的微小運(yùn)動(dòng)。 某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系在約束所允許條件的條件下，可能實(shí)現(xiàn)的任何無限小的位移稱為虛位移，又稱可能位移。 為同真實(shí)位移區(qū)別，在dt時(shí)間內(nèi)的真實(shí)位移用：dx,dy,dr,虛位移用x, y, r表示，是變分符號(hào)。3. 虛功 質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受的力在虛位移上所作的功稱為虛功.力偶的虛功為： M ;力F的虛功為： Fr。 虛位移是假想而不是真實(shí)的位移，實(shí)際物體是平衡物體，力不作功。 很多約束反力與虛位移相互垂直時(shí)，此時(shí)約束反力作功為零。這種約束稱為理想約束。 如光滑鉸鏈、光滑表面、剛性

4、桿、不可伸長的繩等，這些約束的約束反力不作功或作功之和等于零。 即：FNiri=0取質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)mi，作用在該質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力的合力為Fi，約束反力的合力Fni. 17-2 虛位移原理質(zhì)點(diǎn)平衡則有：設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系處于靜止平衡狀態(tài)。質(zhì)點(diǎn)的虛位移為ri給質(zhì)點(diǎn)mi虛位移ri，則：質(zhì)點(diǎn)系每個(gè)等式相加，得：結(jié)論：對(duì)于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力在任何虛位移中所作虛功的和等于零。這就是虛位移原理。質(zhì)點(diǎn)系具有理想約束，約束反力在虛位移中所作虛功的和為零將：則虛位移原理可以表達(dá)為：當(dāng)約束不是理想約束時(shí)，把約束反力應(yīng)當(dāng)看成主動(dòng)力代入。充分性證明這里從略應(yīng)用虛位移原理的步驟1）取研究對(duì)

5、象2）受力分析3）確定虛位移虛位移關(guān)系的確定：（1）作圖的幾何關(guān)系；（2）選擇一個(gè)自變量，確定有關(guān)的坐標(biāo)，再變分；（3）應(yīng)用虛速度關(guān)系，確定虛位移4）虛位移原理5）求解未知力解：（1）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象（2）受力分析 約束為理想約束。 主動(dòng)力為FA和FB例1 圖示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)，連桿AB長為l ，桿重和滑道、鉸鏈上的摩擦力均忽略不計(jì)，求在圖示位置平衡時(shí)，主動(dòng)力 FA和FB之間的關(guān)系。（3）給虛位移求關(guān)系rA，rB得到構(gòu)件AB作平面運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)為速度瞬心。得到：（4）虛位移原理：選題例2 圖示機(jī)構(gòu)，由一個(gè)剛桿以球鉸鏈聯(lián)結(jié)A、B兩個(gè)滑塊，兩個(gè)滑塊上分別作用F1和F2 ，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。 a=0.4m

6、，b=0.8m，c=0.2m。剛桿、滑塊質(zhì)量不計(jì)，求 F1和F2 的關(guān)系。解：（1）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象（2）受力分析 約束為理想約束。 主動(dòng)力為F1和F2（3）給虛位移求關(guān)系rA，rB（4）虛位移原理：選題例3 桿OA可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，通過滑塊B可帶動(dòng)水平桿BC，如圖所示，忽略摩擦及各構(gòu)件重量，求平衡時(shí)力偶矩M與水平拉力F之間的關(guān)系。解：（1）取系統(tǒng)為研究對(duì)象（2）受力分析，約束為理想約束。由B點(diǎn)虛位移關(guān)系：（3）給桿OA轉(zhuǎn)角虛位移，點(diǎn)C有相應(yīng)的虛位移rC（4）虛位移原理選題例4 已知如圖結(jié)構(gòu)，各桿都以光滑鉸鏈連接且AC=BC=CD=GE=l, 在點(diǎn)G作用一鉛直方向的力F，求支座B的水平約束反力。

7、解：（1）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象（2）將B點(diǎn)約束轉(zhuǎn)化為活動(dòng)支座和一個(gè)水平力FB （3）采用虛位移的坐標(biāo)表示： 此時(shí)系統(tǒng)的主動(dòng)力為F，F(xiàn)B，系統(tǒng)約束為理想約束。變分計(jì)算：變分的結(jié)果的方向?yàn)椋?假設(shè)同坐標(biāo)方向相同(4)虛位移原理：將CG兩點(diǎn)增加一彈簧，剛度系數(shù)為k，圖示位置彈簧已經(jīng)伸長0，求FB解：（1）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象（2）將B點(diǎn)約束轉(zhuǎn)化為活動(dòng)支座和一個(gè)水平力FB, B彈簧用力代替 （3）采用虛位移的坐標(biāo)表示：（4）位移原理：變分計(jì)算：選題解： （1）取系統(tǒng)為研究對(duì)象（2）將A點(diǎn)約束用力代替例5 求圖中組合梁支座A的約束反力（3）給A點(diǎn)虛位移sA則：（4）虛位移原理：選題 確定一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在空

8、間的位置需要三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，即三個(gè)坐標(biāo)，這就是說自由質(zhì)點(diǎn)在空間有三個(gè)自由度。 確定一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平面上的位置需要兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)，即二個(gè)坐標(biāo)，即質(zhì)點(diǎn)有兩個(gè)自由度。 當(dāng)受到運(yùn)動(dòng)約束作用時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的自由度數(shù)將減少。 質(zhì)點(diǎn)系總的自由度引用廣義坐標(biāo)表示，具有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系，如果質(zhì)點(diǎn)mi的坐標(biāo)以xi、yi、zi表示，則對(duì)此質(zhì)點(diǎn)系一般形式的約束方程為：即此質(zhì)點(diǎn)系有s個(gè)約束方程，約束限制質(zhì)點(diǎn)的位置和運(yùn)動(dòng)速度，約束條件隨時(shí)間而變化，含有時(shí)間t。 17-3 自由度和廣義坐標(biāo)其中表示坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)1.當(dāng)約束方程中不含有坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)約束方程：2. 當(dāng)約束方程中不顯含時(shí)間t，則約束為穩(wěn)定約束（定常約束）； 完整約束條件下，質(zhì)

9、點(diǎn)系位置的獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)自由度數(shù)；這種約束為完整約束；質(zhì)點(diǎn)系為完整系統(tǒng)； 如圖平面擺長為l，是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的平面質(zhì)點(diǎn)系，自由度為2， 有一個(gè)約束方程：該質(zhì)點(diǎn)系自由度數(shù)為：2-1=1,可以用一個(gè)獨(dú)立參數(shù)表示。 一個(gè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間有3個(gè)坐標(biāo)，n個(gè)質(zhì)點(diǎn)共有3n個(gè)坐標(biāo)。 若有s個(gè)完整約束加在該質(zhì)點(diǎn)系上，則確定質(zhì)點(diǎn)系位置只要有3n-s個(gè)獨(dú)立參數(shù)。 質(zhì)點(diǎn)系有：N=3n-s個(gè)獨(dú)立自由度，也有N個(gè)廣義坐標(biāo)。 q1、q2、qn表示質(zhì)點(diǎn)系廣義坐標(biāo)，則各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示廣義坐標(biāo)的函數(shù)。 對(duì)于穩(wěn)定的完整約束，各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可以寫成下面廣義坐標(biāo)的函數(shù)形式：對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行變分計(jì)算：為廣義虛位移。虛位

10、移用廣義坐標(biāo)表示。在虛位移原理中，是以質(zhì)點(diǎn)直角坐標(biāo)的變分表示虛位移的。 但這些虛位移不一定是獨(dú)立的虛位移，所以在解題時(shí)，還要建立虛位移之間的關(guān)系，然后才能將問題解決。 如果直接用廣義坐標(biāo)的變分來表示虛位移，則這種廣義虛位移之間是相互獨(dú)立的，這時(shí)虛位移原理可以表示為更簡潔的形式。 17-4 以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件設(shè)：則：它的量綱由對(duì)應(yīng)的廣義虛位移而定。為廣義虛位移稱為廣義力k為線位移， Qk 量綱是力的量綱；k為角位移， Qk 量綱是力矩的量綱。由于廣義坐標(biāo)都是獨(dú)立的，廣義虛位移是任意的。上式成立必須滿足：質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是所有的廣義力都等于零 質(zhì)點(diǎn)系具有N個(gè)自由度，由N個(gè)廣義力，則有N

11、個(gè)平衡方程是互相獨(dú)立的，可聯(lián)立求解質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題 。 大多數(shù)工程機(jī)構(gòu)只有一個(gè)自由度，這只需要列出一個(gè)廣義力等于零的平衡問題。廣義力求解方法有兩種：1. 給質(zhì)點(diǎn)系一個(gè)廣義虛位移不等于零，而其它（N-1）個(gè)廣義虛位移等于零。此時(shí):2.質(zhì)點(diǎn)系在勢力場中，質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力都為有勢力，則勢能應(yīng)為各質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，總勢能為V表示為：虛功為：虛位移原理表達(dá)為：在勢力場中，具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件為質(zhì)點(diǎn)系的勢能在平衡位置處的一階變分為零。用廣義坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)系位置。用在勢力場中，質(zhì)點(diǎn)系勢能可以表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)，總勢能為V表示為：廣義力表示為：在勢力場中，具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是勢能對(duì)于每個(gè)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。廣義坐標(biāo)表示的平衡條件為：例6 復(fù)合擺機(jī)構(gòu)， A、B點(diǎn)位置作