2021-2022學(xué)年長沙市南雅高三第三次測評數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知雙曲線的左、右焦點分別為，P是雙曲線E上的一點，且.若直線與雙曲線E的漸近線交于點M，且M為的中點，則雙曲線E的漸近線方程為( )ABCD2在三棱錐中，則三棱錐外接球的表面積是（ ）ABCD3復(fù)數(shù)的模為（ ）AB1C2D4的展開式中

2、的系數(shù)為（ ）ABCD5已知命題：任意，都有；命題：，則有則下列命題為真命題的是（）ABCD6 “紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機投擲200個點，己知恰有80個點落在陰影部分據(jù)此可估計陰影部分的面積是（ ）ABC10D7如圖所示，三國時代數(shù)學(xué)家趙爽在周髀算經(jīng)中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲500顆米粒（米粒大小忽略不計，?。瑒t落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（ ）A

3、134B67C182D1088的展開式中的系數(shù)是-10，則實數(shù)( )A2B1C-1D-29若復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，則（ ）A1B0CD10若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（ ）ABCD11若圓錐軸截面面積為，母線與底面所成角為60，則體積為( )ABCD12已知角的終邊經(jīng)過點,則ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13如圖，在菱形ABCD中，AB=3，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點，若線段EF上存在一點M，使得，則_，_（本題第1空2分，第2空3分）14已知拋物線的焦點為，其準線與坐標軸交于點，過的直線與拋物線交于兩點，若，則直線的斜率_.15已知函數(shù) 函數(shù) ，其中，若函數(shù) 恰

4、有4個零點，則的取值范圍是_16函數(shù)的定義域是_（寫成區(qū)間的形式）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當時，證明：對；（2）若函數(shù)在上存在極值，求實數(shù)的取值范圍。18（12分）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求的值；（2）當，且時，求的面積.19（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）若過點的直線與交于，兩點，與交于，兩點，求的取值范圍.20（12分）已知函數(shù)，（1）當時

5、，求不等式的解集；（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍21（12分）已知點和橢圓.直線與橢圓交于不同的兩點，.（1）當時，求的面積；（2）設(shè)直線與橢圓的另一個交點為，當為中點時，求的值.22（10分）已知函數(shù).（）解不等式；（）設(shè)其中為常數(shù).若方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】由雙曲線定義得，OM是的中位線，可得，在中，利用余弦定理即可建立關(guān)系，從而得到漸近線的斜率.【詳解】根據(jù)題意，點P一定在左支上.由及，得，再結(jié)合M為的中點，得，又因為OM是的中位

6、線，又，且，從而直線與雙曲線的左支只有一個交點.在中.由，得. 由，解得，即，則漸近線方程為.故選：C.【點睛】本題考查求雙曲線漸近線方程，涉及到雙曲線的定義、焦點三角形等知識，是一道中檔題.2B【解析】取的中點，連接、，推導(dǎo)出，設(shè)設(shè)球心為，和的中心分別為、，可得出平面，平面，利用勾股定理計算出球的半徑，再利用球體的表面積公式可得出結(jié)果.【詳解】取的中點，連接、，由和都是正三角形，得，則，則，由勾股定理的逆定理，得.設(shè)球心為，和的中心分別為、.由球的性質(zhì)可知：平面，平面，又，由勾股定理得.所以外接球半徑為.所以外接球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計算，解題時要分析幾

7、何體的結(jié)構(gòu)，找出球心的位置，并以此計算出球的半徑長，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.3D【解析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計算公式求解【詳解】解：，復(fù)數(shù)的模為故選：D【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題4C【解析】由題意，根據(jù)二項式定理展開式的通項公式，得展開式的通項為，則展開式的通項為，由，得，所以所求的系數(shù)為.故選C.點睛：此題主要考查二項式定理的通項公式的應(yīng)用，以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運算等有關(guān)方面的知識與技能，屬于中低檔題，也是?？贾R點.在二項式定理的應(yīng)用中，注意區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù)，先求出通項公式，再根據(jù)所求問題，通過確定未知的

8、次數(shù)，求出，將的值代入通項公式進行計算，從而問題可得解.5B【解析】先分別判斷命題真假，再由復(fù)合命題的真假性，即可得出結(jié)論.【詳解】為真命題；命題是假命題，比如當,或時，則 不成立.則，均為假.故選:B【點睛】本題考查復(fù)合命題的真假性，判斷簡單命題的真假是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6D【解析】直接根據(jù)幾何概型公式計算得到答案.【詳解】根據(jù)幾何概型：，故.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)幾何概型求面積，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.7B【解析】根據(jù)幾何概型的概率公式求出對應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【詳解】解：設(shè)大正方形的邊長為1，則小直角三角形的邊長為，則小正方形的邊長為，小正方形的面積，則落在小

9、正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為，故選：B.【點睛】本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用，求出對應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.8C【解析】利用通項公式找到的系數(shù)，令其等于-10即可.【詳解】二項式展開式的通項為，令，得，則，所以，解得.故選：C【點睛】本題考查求二項展開式中特定項的系數(shù)，考查學(xué)生的運算求解能力，是一道容易題.9C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可【詳解】解：，則，故選：C【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題10B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計算，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出.【詳解】,故選：B【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除

10、法計算，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于容易題.11D【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，由軸截面面積為可得半徑，再利用圓錐體積公式計算即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，由已知，解得，所以圓錐的體積.故選：D【點睛】本題考查圓錐的體積的計算，涉及到圓錐的定義，是一道容易題.12D【解析】因為角的終邊經(jīng)過點,所以,則,即.故選D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13 【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則，所以，解得，所以，從而有 .14【解析】求出拋物線焦點坐標，由，結(jié)合向量的坐標運算得，直線方程為，代入拋物線方程后應(yīng)用韋達定理得，從而可求得，得斜率【詳解】由得，即聯(lián)立得解得或，故答案為：【點睛】本題考查直線

11、與拋物線相交，考查向量的線性運算的坐標表示直線方程與拋物線方程聯(lián)立后消元，應(yīng)用韋達定理是解決直線與拋物線相交問題的常用方法15【解析】， ，函數(shù)y=f(x)g(x)恰好有四個零點，方程f(x)g(x)=0有四個解，即f(x)+f(2x)b=0有四個解，即函數(shù)y=f(x)+f(2x)與y=b的圖象有四個交點， ，作函數(shù)y=f(x)+f(2x)與y=b的圖象如下， ，結(jié)合圖象可知， b2，故答案為.點睛： (1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a)的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值(2)當給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)

12、定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍16【解析】要使函數(shù)有意義，需滿足，即，解得，故函數(shù)的定義域是三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 (1)見證明；(2) 【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，進而求得函數(shù)的最小值，得到要證明的結(jié)論；（2）問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解，法一：對a分類討論，分別研究a的不同取值下，導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及值域，從而得到結(jié)論.法二：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域，再利用零點存在定理說明函數(shù)存在極值【詳解】(1)當時，于是，.又因為，當時，且.故當

13、時，即. 所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，于是，.因此，對，；(2) 方法一：由題意在上存在極值，則在上存在零點，當時，為上的增函數(shù)，注意到，所以，存在唯一實數(shù)，使得成立. 于是，當時，為上的減函數(shù)；當時，為上的增函數(shù)；所以為函數(shù)的極小值點； 當時，在上成立，所以在上單調(diào)遞增，所以在上沒有極值；當時，在上成立，所以在上單調(diào)遞減，所以在上沒有極值， 綜上所述，使在上存在極值的的取值范圍是.方法二：由題意，函數(shù)在上存在極值，則在上存在零點.即在上存在零點. 設(shè)，則由單調(diào)性的性質(zhì)可得為上的減函數(shù).即的值域為，所以，當實數(shù)時，在上存在零點.下面證明，當時，函數(shù)在上存在極值.事實上，當時，為上的增函數(shù)，注意到，

14、所以，存在唯一實數(shù)，使得成立.于是，當時，為上的減函數(shù)；當時，為上的增函數(shù)；即為函數(shù)的極小值點.綜上所述，當時，函數(shù)在上存在極值.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，涉及函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查構(gòu)造法的應(yīng)用，是一道綜合題18（1）；（2）【解析】（1）利用二倍角公式求解即可，注意隱含條件. （2）利用（1）中的結(jié)論，結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)的關(guān)系易得的值，又由求出的值，最后由正弦定理求出的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計算得出.【詳解】（1）由已知可得，所以，因為在銳角中，所以 （2）因為，所以，因為是銳角三角形，所以，所以.由正弦定理可得：，所以，所以【點睛】此類

15、問題是高考的?？碱}型，主要考查了正弦定理、三角函數(shù)以及三角恒等變換等知識，同時考查了學(xué)生的基本運算能力和利用三角公式進行恒等變換的技能，屬于中檔題.19 (1)見解析;(2).【解析】試題分析：（1）利用平方法消去參數(shù)，即可得到的普通方程，兩邊同乘以利用 即可得的直角坐標方程；（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，利用韋達定理、直線參數(shù)方程的幾何意義以及三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.試題解析：（1）曲線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為 ； （2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）又直線與曲線：存在兩個交點，因此. 聯(lián)立直線與曲線：可得則聯(lián)立直線與曲線：可得，則即20 (1) (2) 【解析】（1）

16、當時，當或時，所以可轉(zhuǎn)化為，解得，所以不等式的解集為（2）因為，所以，所以，即，即當時，因為，所以，不符合題意當時，解可得，因為當時，不等式恒成立，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為21（1）；（2）或【解析】（1）聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得交點的橫坐標，由此求得三角形的面積.（2）法一：根據(jù)的坐標求得的坐標，將的坐標都代入橢圓方程，化簡后求得的坐標，進而求得的值.法二：設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡后寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合求得點的坐標，進而求得的值.【詳解】（1）設(shè)，若，則直線的方程為，由，得，解得，設(shè)直線與軸交于點，則且.（2）法一：設(shè)點因為，所以又點，都在橢圓上，所以解得或所以或.法二：設(shè)顯然直線有斜率，設(shè)直線的方程為由，得所以又解得或所以或所以或.【點睛】本小題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中三角形面積的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.22（）；（）.【解析】（I）零點分段法，