2022屆福建省廈門市思明區(qū)高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回2答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符4作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效5如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目

2、要求的。1數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,例如:四葉草曲線就是其中一種,其方程為.給出下列四個(gè)結(jié)論:曲線有四條對稱軸;曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為;曲線第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為;四葉草面積小于.其中,所有正確結(jié)論的序號是( )ABCD2已知是函數(shù)圖象上的一點(diǎn),過作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則的最小值為( )ABC0D3已知正四面體的內(nèi)切球體積為v,外接球的體積為V,則( )A4B8C9D274已知數(shù)列滿足:,則( )A16B25C28D335某三棱錐的三視圖如圖所示,那么該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為( )A1B2C3D06已知向量,且,則m

3、=( )A8B6C6D87 若數(shù)列滿足且,則使的的值為( )ABCD8四人并排坐在連號的四個(gè)座位上,其中與不相鄰的所有不同的坐法種數(shù)是( )A12B16C20D89已知橢圓的中心為原點(diǎn),為的左焦點(diǎn),為上一點(diǎn),滿足且,則橢圓的方程為( )ABCD10若復(fù)數(shù),則( )ABCD2011在平行四邊形中,若則( )ABCD12已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,記,N. 若,則 ( )ABCD二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13已知不等式的解集不是空集,則實(shí)數(shù)的取值范圍是;若不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_14如圖,在ABC中,E為邊AC上一點(diǎn),且,P為BE上一點(diǎn),且滿足,則的最小值為_15

4、在中,內(nèi)角所對的邊分別為,若 ,的面積為,則_ ,_16定義,已知,若恰好有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(12分)已知關(guān)于的不等式有解.(1)求實(shí)數(shù)的最大值;(2)若,均為正實(shí)數(shù),且滿足.證明:.18(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線交于兩點(diǎn).(1)求的長;(2)在以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,求點(diǎn)到線段中點(diǎn)的距離.19(12分)如圖,在三棱柱中,平面平面,側(cè)面為平行四邊形,側(cè)面為正方形,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的大小.20(12分)已知函數(shù)(

5、1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間(2)記函數(shù)的圖象為曲線,設(shè)點(diǎn)是曲線上不同兩點(diǎn),如果在曲線上存在點(diǎn),使得;曲線在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB,則稱函數(shù)存在“中值和諧切線”,當(dāng)時(shí),函數(shù)是否存在“中值和諧切線”請說明理由21(12分)已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.22(10分)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,.()求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和為;()設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和,求證:.參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1C【解析】利用之間的代換判斷出對稱軸的條數(shù);利用基本不等式求解出到原點(diǎn)的距離最大值;將面積轉(zhuǎn)

6、化為的關(guān)系式,然后根據(jù)基本不等式求解出最大值;根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對應(yīng)圓的關(guān)系,從而判斷出面積是否小于.【詳解】:當(dāng)變?yōu)闀r(shí), 不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱;當(dāng)變?yōu)闀r(shí),不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱;當(dāng)變?yōu)闀r(shí),不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱;當(dāng)變?yōu)闀r(shí),不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱;綜上可知:有四條對稱軸,故正確;:因?yàn)?,所以,所以,所以,取等號時(shí),所以最大距離為,故錯(cuò)誤;:設(shè)任意一點(diǎn),所以圍成的矩形面積為,因?yàn)?,所以,所以,取等號時(shí),所以圍成矩形面積的最大值為,故正確;:由可知,所以四葉草包含在圓的內(nèi)部,因?yàn)閳A的面積為:,所以四葉草的面積小于,故正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查曲線

7、與方程的綜合運(yùn)用,其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運(yùn)用,難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性,可通過替換方程中去分析證明.2C【解析】先畫出函數(shù)圖像和圓,可知,若設(shè),則,所以,而要求的最小值,只要取得最大值,若設(shè)圓的圓心為,則,所以只要取得最小值,若設(shè),則,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.【詳解】記圓的圓心為,設(shè),則,設(shè),記,則,令,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,所以(當(dāng)時(shí)等號成立).故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是兩個(gè)向量的數(shù)量積的最小值,利用了導(dǎo)數(shù)求解,考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力,屬于難題.3D【解析】設(shè)正四面體的棱長為,取的中點(diǎn)

8、為,連接,作正四面體的高為,首先求出正四面體的體積,再利用等體法求出內(nèi)切球的半徑,在中,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑,利用球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)正四面體的棱長為,取的中點(diǎn)為,連接,作正四面體的高為,則,設(shè)內(nèi)切球的半徑為,內(nèi)切球的球心為,則,解得:;設(shè)外接球的半徑為,外接球的球心為,則或,在中,由勾股定理得:,解得, 故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問題,考查了椎體的體積公式以及球的體積公式,需熟記幾何體的體積公式,屬于基礎(chǔ)題.4C【解析】依次遞推求出得解.【詳解】n=1時(shí),n=2時(shí),n=3時(shí),n=4時(shí),n=5時(shí),.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用,意在考

9、查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.5C【解析】由三視圖還原原幾何體,借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù).【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖,其中,為直角三角形.該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為3.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖,屬于基礎(chǔ)題.6D【解析】由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo),再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案【詳解】,又,34+(2)(m2)0,解得m1故選D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題7C【解析】因?yàn)?,所以是等差?shù)列,且公差,則,所以由題設(shè)可得,則,應(yīng)選答案C8A【解析】先將除A,B以外的兩人先排,再將A,B在3個(gè)空位置里

10、進(jìn)行插空,再相乘得答案.【詳解】先將除A,B以外的兩人先排,有種;再將A,B在3個(gè)空位置里進(jìn)行插空,有種,所以共有種.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查排列中不相鄰問題,常用插空法,屬于基礎(chǔ)題.9B【解析】由題意可得c=,設(shè)右焦點(diǎn)為F,由|OP|=|OF|=|OF|知,PFF=FPO,OFP=OPF,所以PFF+OFP=FPO+OPF,由PFF+OFP+FPO+OPF=180知,F(xiàn)PO+OPF=90,即PFPF在RtPFF中,由勾股定理,得|PF|=,由橢圓定義,得|PF|+|PF|=2a=4+8=12,從而a=6,得a2=36,于是 b2=a2c2=36=16,所以橢圓的方程為故選B點(diǎn)睛:橢圓的定義:

11、到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡,當(dāng)和大于兩定點(diǎn)間的距離時(shí),軌跡是橢圓,當(dāng)和等于兩定點(diǎn)間的距離時(shí),軌跡是線段(兩定點(diǎn)間的連線段),當(dāng)和小于兩定點(diǎn)間的距離時(shí),軌跡不存在10B【解析】化簡得到,再計(jì)算模長得到答案.【詳解】,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,復(fù)數(shù)的模,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.11C【解析】由,,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,先求得利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】如圖所示,平行四邊形中, ,,,因?yàn)?所以,,所以,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的幾何運(yùn)算以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則,屬于中檔題. 向量的運(yùn)算有兩種方法:()平行四邊形法則(平行四邊形的對角線分別是兩向量的和

12、與差);()三角形法則(兩箭頭間向量是差,箭頭與箭尾間向量是和).12D【解析】通過計(jì)算,可得,最后計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題可知:所以所以猜想可知:由所以所以故選:D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及不完全歸納法的應(yīng)用,選擇題、填空題可以使用取特殊值,歸納猜想等方法的使用,屬中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13【解析】利用絕對值的幾何意義,確定出的最小值,然后根據(jù)題意即可得到的取值范圍化簡不等式,求出 的最大值,然后求出結(jié)果【詳解】的最小值為,則要使不等式的解集不是空集,則有化簡不等式有 ,即而當(dāng)時(shí)滿足題意,解得或所以答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查的是函數(shù)恒成立的問題和絕對值

13、不等式,要注意到絕對值的幾何意義,數(shù)形結(jié)合來解答本題,注意去絕對值時(shí)的分類討論化簡14【解析】試題分析:根據(jù)題意有,因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以有,從而有,所以的最小值是考點(diǎn):向量的運(yùn)算,基本不等式【方法點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用基本不等式求最值的問題,屬于中檔題目,在解題的過程中,關(guān)鍵步驟在于對題中條件的轉(zhuǎn)化,根據(jù)三點(diǎn)共線,結(jié)合向量的性質(zhì)可知,從而等價(jià)于已知兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問題,兩式乘積,最后應(yīng)用基本不等式求得結(jié)果,最后再加,得出最后的答案15 【解析】由已知及正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得,從而求得,結(jié)合范圍,即可得到答案運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式,結(jié)合完全平

14、方公式,即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得,可得:解得,即,由面積公式可得:,即由余弦定理可得:即有解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形,題目較為基礎(chǔ),只要按照題意運(yùn)用公式即可求出答案16【解析】根據(jù)題意,分類討論求解,當(dāng)時(shí),根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)無零點(diǎn),不合題意;當(dāng)時(shí),令,得,令 ,得或 ,再分當(dāng),兩種情況討論求解.【詳解】由題意得:當(dāng)時(shí),在軸上方,且為增函數(shù),無零點(diǎn),至多有兩個(gè)零點(diǎn),不合題意;當(dāng)時(shí),令,得,令 ,得或 ,如圖所示:當(dāng)時(shí),即時(shí),要有3個(gè)零點(diǎn),則,解得;當(dāng)時(shí),即時(shí),要有3個(gè)零點(diǎn),則,令,所以在是減函數(shù),又,要使,則須,所以.綜上:實(shí)數(shù)的取值

15、范圍是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù),指數(shù)函數(shù)的圖象和分段函數(shù)的零點(diǎn)問題,還考查了分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(1);(2)見解析【解析】(1)由題意,只需找到的最大值即可;(2),構(gòu)造并利用基本不等式可得,即.【詳解】(1),的最大值為4.關(guān)于的不等式有解等價(jià)于,()當(dāng)時(shí),上述不等式轉(zhuǎn)化為,解得,()當(dāng)時(shí),上述不等式轉(zhuǎn)化為,解得,綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為,則實(shí)數(shù)的最大值為3,即.(2)證明:根據(jù)(1)求解知,所以,又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,即,所以,.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不

16、等式中的能成立問題以及綜合法證明不等式問題,是一道中檔題.18(1) ;(2).【解析】(1)將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,由點(diǎn)到直線距離公式可求得圓心到直線距離,結(jié)合垂徑定理即可求得的長;(2)將的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),將直線方程與圓的方程聯(lián)立,求得直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得的坐標(biāo),再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求得.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),化為直角坐標(biāo)方程為,即直線與曲線交于兩點(diǎn).則圓心坐標(biāo)為,半徑為1,則由點(diǎn)到直線距離公式可知,所以.(2)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,化為直角坐標(biāo)可得,直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,化簡可得,解得,所以兩點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,由兩點(diǎn)間距離公式可得.

17、【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程轉(zhuǎn)化,極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化,點(diǎn)到直線距離公式應(yīng)用,兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用,直線與圓交點(diǎn)坐標(biāo)求法,屬于基礎(chǔ)題.19(1)證明見解析(2)【解析】(1)連接,交與,連接,由,得出結(jié)論;(2)以為原點(diǎn),分別為,軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用夾角公式求出即可.【詳解】(1)連接,交與,連接,在中,又平面,平面,所以平面;(2)由平面平面,為平面與平面的交線,故平面,故,又,所以平面,以為原點(diǎn),分別為,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)平面的法向量為,由,得,平面的法向量為,由,故二面角的大小為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查二面角的求法,考查空間想象

18、能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.20(1)見解析(2)不存在,見解析【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義,再令,轉(zhuǎn)化為方程有解問題,即可說明.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,所以?dāng)時(shí),;,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),函數(shù)在上遞增,顯然無增區(qū)間;當(dāng)時(shí), ,函數(shù)在上遞增,綜上當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)函數(shù)無單調(diào)遞增區(qū)間當(dāng)時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增(2)假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”設(shè)是曲線上不同的兩個(gè)點(diǎn),且則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為,.令,則,單調(diào)遞增,故無解,假設(shè)不成立綜上,假設(shè)不成立,所以不存在“中值相依切線”【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討

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