高等數(shù)學(xué)(下)無(wú)窮級(jí)數(shù)PPT通用PPT課件

1、無(wú)窮級(jí)數(shù) 無(wú)窮級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)（數(shù)一）第十一章常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件 第一節(jié) 第十一章 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 引例 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形, 這個(gè)和逼近于圓的面積 A .設(shè) a0 表示即內(nèi)接正三角形面積, ak 表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積, 則圓內(nèi)接正定義：給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依即稱(chēng)上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)，其中第 n 項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和.次相加, 簡(jiǎn)記為當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 稱(chēng)差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散 .顯然收斂 ,則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)并稱(chēng) S 為級(jí)數(shù)的和,記作例1.

2、 討論等比級(jí)數(shù) (又稱(chēng)幾何級(jí)數(shù))( q 稱(chēng)為公比 ) 的斂散性. 解: 1) 若從而因此級(jí)數(shù)收斂 ,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散 .其和為2). 若因此級(jí)數(shù)發(fā)散 ;因此n 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而綜合 1)、2)可知,時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂 ;時(shí), 等比級(jí)數(shù)發(fā)散 .則級(jí)數(shù)成為不存在 , 因此級(jí)數(shù)發(fā)散.例2. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解: (1) 所以級(jí)數(shù) (1) 發(fā)散 ;技巧:利用 “拆項(xiàng)相消” 求和(2) 所以級(jí)數(shù) (2) 收斂, 其和為 1 .技巧:利用 “拆項(xiàng)相消” 求和二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1. 若級(jí)數(shù)收斂于 S ,則各項(xiàng)乘以常數(shù) c 所得級(jí)數(shù)也收斂 ,說(shuō)明: 級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不

3、變 .即其和為 c S .性質(zhì)2. 設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂, 其和為說(shuō)明:(2) 若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散 , 則必發(fā)散 . 但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散 ,不一定發(fā)散.例如, (1) 性質(zhì)2 表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減 .性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)4. 收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.推論: 若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意: 收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.例如，三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件 性質(zhì)5、設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有可見(jiàn): 若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 則級(jí)數(shù)必發(fā)散 .例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.注意:并非級(jí)

4、數(shù)收斂的充分條件.例如, 調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散 .事實(shí)上 , 假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于 S , 則但矛盾!所以假設(shè)不真 .二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 三、絕對(duì)收斂與條件收斂 第二節(jié)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 第十一章 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法若定理 1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和序列有界 .則稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù) .定理2 (比較審斂法)設(shè)且存在對(duì)一切有(1) 若強(qiáng)級(jí)數(shù)則弱級(jí)數(shù)(2) 若弱級(jí)數(shù)則強(qiáng)級(jí)數(shù)則有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù), (常數(shù) k 0 ),例1. 討論 p 級(jí)數(shù)(常數(shù) p 0)的斂散性. 解: 1) 若因?yàn)閷?duì)一切而調(diào)和級(jí)數(shù)由比較審斂法可知 p 級(jí)數(shù)發(fā)散 .發(fā)散 ,

5、因?yàn)楫?dāng)故考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂 , 由比較審斂法知 p 級(jí)數(shù)收斂 .時(shí),2) 若調(diào)和級(jí)數(shù)與 p 級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).若存在對(duì)一切證明級(jí)數(shù)發(fā)散 .證: 因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級(jí)數(shù)發(fā)散 .例2.定理3. (比較審斂法的極限形式)則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng) l = 0 (3) 當(dāng) l = 設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1) 當(dāng) 0 l 時(shí),是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù), (1) 當(dāng) 時(shí),兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ;特別取可得如下結(jié)論 :對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)(2) 當(dāng) 且 收斂時(shí),(3) 當(dāng) 且 發(fā)散時(shí), 也收斂 ;也發(fā)散 .的斂散性. 例3. 判別級(jí)數(shù)的斂散性 .解: 根據(jù)比較審斂法的極限形式

6、知例4. 判別級(jí)數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知定理4 . 比值審斂法 ( Dalembert 判別法)設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且則(1) 當(dāng)(2) 當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)收斂 ;或時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散 .說(shuō)明: 當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如, p 級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)收斂 ;級(jí)數(shù)發(fā)散 .例5. 討論級(jí)數(shù)的斂散性 .解: 根據(jù)定理4可知:級(jí)數(shù)收斂 ;級(jí)數(shù)發(fā)散 ;例6. 討論級(jí)數(shù)的斂散性 .定理5. 根值審斂法 ( Cauchy判別法)設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)則數(shù), 且時(shí) , 級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .例如 , p 級(jí)數(shù) 說(shuō)明 :但級(jí)數(shù)收斂 ;級(jí)數(shù)發(fā)散 .例7. 討論級(jí)數(shù)的斂散性 .例8. 討論級(jí)數(shù)的斂散性 .二 、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂

7、法 則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù) .定理6 . ( Leibnitz 判別法 ) 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù)收斂 , 且其和 其余項(xiàng)滿足收斂收斂用Leibnitz 判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂 ?發(fā)散收斂收斂三、絕對(duì)收斂與條件收斂 定義: 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若若原級(jí)數(shù)收斂, 但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱(chēng)原級(jí)收斂 ,數(shù)為條件收斂 .均為絕對(duì)收斂.例如 ：絕對(duì)收斂 ；則稱(chēng)原級(jí)數(shù)條件收斂 .定理7. 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂 .說(shuō)明：上述逆定理不一定成立。即發(fā)散發(fā)散例9. 證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 :證: (1)而收斂 ,收斂因此絕對(duì)收斂 .(2) 令因此

8、收斂,絕對(duì)收斂.內(nèi)容小結(jié)1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2. 利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法根值審斂法收 斂發(fā) 散不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限3. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz判別法:則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂概念:絕對(duì)收斂條件收斂例1、（06，一，三）若則級(jí)數(shù)（ ）A、B、C、D、例2、（05，三）設(shè)若則下列結(jié)論正確的是（ ）A、B、C、D、第三節(jié)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性 三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 冪級(jí)數(shù) 第十一章 一、 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) .對(duì)若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂點(diǎn),所有收斂點(diǎn)的全體稱(chēng)為其收斂域 ;若常數(shù)

9、項(xiàng)級(jí)數(shù)為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù), 稱(chēng)收斂,發(fā)散 ,所有為其收 為其發(fā)散點(diǎn), 發(fā)散點(diǎn)的全體稱(chēng)為其發(fā)散域 .為級(jí)數(shù)的和函數(shù) , 并寫(xiě)成若用令余項(xiàng)則在收斂域上有表示函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)前 n 項(xiàng)的和, 即在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是 x 的函數(shù) 稱(chēng)它例如, 等比級(jí)數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔秩? 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散 ;所以級(jí)數(shù)的收斂域僅為有和函數(shù) 二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性 形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù), 其中數(shù)列下面著重討論例如, 冪級(jí)數(shù)為冪級(jí)數(shù)的系數(shù) .即是此種情形.的情形, 即稱(chēng) 發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂發(fā)散定理 1. ( Abel定理 ) 若冪級(jí)數(shù)則對(duì)滿足不等式的一切 x 冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂.反之, 若當(dāng)?shù)囊?/p>

10、切 x , 該冪級(jí)數(shù)也發(fā)散 . 時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散 ,則對(duì)滿足不等式冪級(jí)數(shù)在 (, +) 收斂 ;由Abel 定理可以看出, 中心的區(qū)間. 用R 表示冪級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn),的收斂域是以原點(diǎn)為則R = 0 時(shí),冪級(jí)數(shù)僅在 x = 0 收斂 ;R = 時(shí),冪級(jí)數(shù)在 (R , R ) 收斂 ;(R , R ) 加上收斂的端點(diǎn)稱(chēng)為收斂域.R 稱(chēng)為收斂半徑 ， 在R , R 可能收斂也可能發(fā)散 .外發(fā)散;在(R , R ) 稱(chēng)為收斂區(qū)間.發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂發(fā)散定理2. 若的系數(shù)滿足1) 當(dāng) 0 時(shí),2) 當(dāng) 0 時(shí),3) 當(dāng) 時(shí),則 的收斂半徑為說(shuō)明:據(jù)此定理對(duì)端點(diǎn) x =1, 的收斂半徑及收斂域.

11、解:對(duì)端點(diǎn) x = 1, 級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂; 級(jí)數(shù)為發(fā)散 . 故收斂域?yàn)槔?.求冪級(jí)數(shù) 例2. 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域 :解: (1)所以收斂域?yàn)?2)所以級(jí)數(shù)僅在 x = 0 處收斂 .規(guī)定: 0 ! = 1例3.的收斂半徑 .解: 級(jí)數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 故直接由例4.的收斂域.解: 令 級(jí)數(shù)變?yōu)楫?dāng) t = 2 時(shí), 級(jí)數(shù)為此級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng) t = 2 時(shí), 級(jí)數(shù)為此級(jí)數(shù)條件收斂;因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楣试?jí)數(shù)的收斂域?yàn)榧慈?、冪?jí)數(shù)的運(yùn)算定理3. 設(shè)冪級(jí)數(shù)及的收斂半徑分別為令則有 :其中說(shuō)明:兩個(gè)冪級(jí)數(shù)相除所得冪級(jí)數(shù)的收斂半

12、徑可能比原來(lái)兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑小得多.例如, 設(shè) 它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是 定理4 若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑則其和函在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分,運(yùn)算前后收斂半徑相同: 注: 逐項(xiàng)積分時(shí), 運(yùn)算前后端點(diǎn)處的斂散性不變.例5. 求級(jí)數(shù)的和函數(shù)解: 易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 1 , 及收斂 , 因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而及內(nèi)容小結(jié)1. 求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法1) 對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)先求收斂半徑 , 再討論端點(diǎn)的收斂性 .2) 對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式)求收斂半徑時(shí)直接用比值法或根值法,2. 冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)兩個(gè)冪級(jí)數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與也可通過(guò)換元化為標(biāo)

13、準(zhǔn)型再求 .乘法運(yùn)算. 2) 在收斂區(qū)間內(nèi)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3) 冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和求積分.第四節(jié)兩類(lèi)問(wèn)題:在收斂域內(nèi)和函數(shù)求 和展 開(kāi)本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)數(shù) 二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 第十一章 一、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)數(shù) 其中( 在 x 與 x0 之間)稱(chēng)為拉格朗日余項(xiàng) .則在若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 此式稱(chēng)為 f (x) 的 n 階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有 :為f (x) 的泰勒級(jí)數(shù) . 則稱(chēng)當(dāng)x0 = 0 時(shí), 泰勒級(jí)數(shù)又稱(chēng)為麥克勞林級(jí)數(shù) .1) 對(duì)此級(jí)數(shù), 它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否

14、為 f (x) ?待解決的問(wèn)題 :若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 定理1 .各階導(dǎo)數(shù), 則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域 內(nèi)具有定理2.若 f (x) 能展成 x 的冪級(jí)數(shù), 則這種展開(kāi)式是唯一的 , 且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 1. 直接展開(kāi)法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知, 第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;第二步 寫(xiě)出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ; 第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi)是否為驟如下 :展開(kāi)方法直接展開(kāi)法 利用泰勒公式間接展開(kāi)法 利

15、用已知其級(jí)數(shù)展開(kāi)式0. 的函數(shù)展開(kāi)例1. 將函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù). 解: 其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足故( 在0與x 之間)故得級(jí)數(shù) 當(dāng) m = 1 時(shí)2. 間接展開(kāi)法利用一些已知的函數(shù)展開(kāi)式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì), 例4. 將函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).解: 因?yàn)榘?x 換成, 得將所給函數(shù)展開(kāi)成 冪級(jí)數(shù). 例5. 將函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).解: 從 0 到 x 積分, 得定義且連續(xù), 區(qū)間為利用此題可得上式右端的冪級(jí)數(shù)在 x 1 收斂 ,所以展開(kāi)式對(duì) x 1 也是成立的,于是收斂例6. 將展成解: 的冪級(jí)數(shù). 例7. 將展成 x1 的冪級(jí)數(shù). 解: (06,一)將展成關(guān)于

16、x的冪級(jí)數(shù)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法(1) 直接展開(kāi)法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開(kāi)法 利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開(kāi)2. 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式式的函數(shù) .當(dāng) m = 1 時(shí)第七節(jié)一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性 二、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 第十一章 傅里葉級(jí)數(shù) 一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng) :(諧波函數(shù))( A為振幅, 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng) :令得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為角頻率,為初相 )(諧波迭加)稱(chēng)上述形式的級(jí)數(shù)為三角級(jí)數(shù).定理 1. 組成三角級(jí)數(shù)的函數(shù)系證:同理可證 :正交 ,上的積分等于 0 .即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在上的積分不等于 0 .且有 但是

17、在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在 二、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)定理 2 . 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 且右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分, 則有葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù) 稱(chēng)為的傅里葉系數(shù) ;由公式 確定的的傅里的傅里葉級(jí)數(shù) .稱(chēng)為函數(shù)以定理3 (收斂定理, 展開(kāi)定理)設(shè) f (x) 是周期為2的周期函數(shù),并滿足狄利克雷( Dirichlet )條件:1) 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn);2) 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn), 則 f (x) 的傅里葉級(jí)數(shù)收斂 , 且有 x 為間斷點(diǎn)其中為 f (x) 的傅里葉系數(shù) . x 為連續(xù)點(diǎn)注意: 函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展成冪級(jí)數(shù)的條件低

18、得多.例1. 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 上的表達(dá)式為解: 先求傅里葉系數(shù)將 f (x) 展成傅里葉級(jí)數(shù). 1) 根據(jù)收斂定理可知,時(shí),級(jí)數(shù)收斂于2) 傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近說(shuō)明:f (x) 的情況見(jiàn)右圖.例2.上的表達(dá)式為將 f (x) 展成傅里葉級(jí)數(shù). 解: 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 說(shuō)明: 當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)收斂于周期延拓傅里葉展開(kāi)上的傅里葉級(jí)數(shù)定義在 ,上的函數(shù) f (x)的傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)法其它例3. 將函數(shù)級(jí)數(shù) .則解: 將 f (x)延拓成以 展成傅里葉2為周期的函數(shù) F(x) , 利用此展式可求出幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)的和.當(dāng) x = 0 時(shí), f (0) = 0 , 得說(shuō)明:設(shè)已知又三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)1. 周期為2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)定理4 . 對(duì)周期為 2 的奇函數(shù) f (x) , 其傅里葉級(jí)數(shù)為周期為2的偶函數(shù) f (x) , 其傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù) ,它的傅里葉系數(shù)為正弦級(jí)數(shù),它的傅里葉系數(shù)為例4. 設(shè)的表達(dá)式為 f (x)x ,將 f (x) 展成傅里葉級(jí)數(shù).是周期為2 的周期函數(shù),它在解: 若不計(jì)周期為 2 的奇函數(shù), 因此n1根據(jù)收斂定理可得 f (x) 的正弦級(jí)數(shù):級(jí)數(shù)的部分和 n2n3n4逼近 f (x) 的情況見(jiàn)右圖.n5例5. 將周期函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù), 其中E 為