2022屆廣東省汕頭市龍湖區(qū)高三第四次模擬考試數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)的對應點位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限2過點的直線與曲線交于兩點，若，則直線的斜率為( )ABC或D或3已知，則( )ABCD4中國古代數(shù)學名著九章算術中記載了公元前344年商鞅督造的一種標準

2、量器商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若取3，當該量器口密閉時其表面積為42.2（平方寸），則圖中x的值為( ) A3B3.4C3.8D45關于函數(shù)，有下列三個結論:是的一個周期；在上單調(diào)遞增；的值域為.則上述結論中，正確的個數(shù)為（）ABCD6設集合，若集合中有且僅有2個元素，則實數(shù)的取值范圍為ABCD7運行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為300，則判斷框中可以填（ ）ABCD8已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點間的距離為，若定義，則函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)的圖象是( )ABCD9已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有一點，則（ ）ABCD10棱長為2的正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球，過正方

3、體中兩條異面直線，的中點作直線，則該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長為（ ）ABCD111已知復數(shù)，則對應的點在復平面內(nèi)位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限12函數(shù)fx=sinxe-x2的圖象可能是下列哪一個？（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù).若在區(qū)間上恒成立.則實數(shù)的取值范圍是_14曲線在點處的切線方程為_15內(nèi)角，的對邊分別為，若，則_16如圖，、分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點，若，則雙曲線的離心率是_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）底面為菱形的直四棱柱，

4、被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若，.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.18（12分）已知橢圓的左焦點坐標為，分別是橢圓的左，右頂點，是橢圓上異于，的一點，且，所在直線斜率之積為.（1）求橢圓的方程；（2）過點作兩條直線，分別交橢圓于，兩點（異于點）.當直線，的斜率之和為定值時，直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理.19（12分）高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行,更帶動了我國經(jīng)濟的巨大發(fā)展.據(jù)統(tǒng) 計,在2018年這一年內(nèi)從 市到市乘坐高鐵或飛機出行的成年人約為萬人次.為了 解乘客出行的滿意度,現(xiàn)從中隨機抽取人次作為樣本,得到下表(單位:人次):滿意度老年人中年

5、人青年人乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機10分(滿意)1212022015分(一般)2362490分(不滿意)106344（1）在樣本中任取個,求這個出行人恰好不是青年人的概率;（2）在2018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機選取人次,記其中老年人出行的人次為.以頻率作為概率,求的分布列和數(shù)學期望;（3）如果甲將要從市出發(fā)到市,那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),你建議甲是乘坐高鐵還是飛機? 并說明理由.20（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），為上的動點，點滿足，點的軌跡為曲線.（）求的方程；（）在以為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與的異于極點的交點為，與的

6、異于極點的交點為，求.21（12分）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足bcosAasinB1（1）求A；（2）已知a2，B，求ABC的面積22（10分）如圖， 在四棱錐中， 底面， ， ，點為棱的中點.（1）證明：（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若為棱上一點， 滿足， 求二面角的余弦值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】化簡得到，得到答案.【詳解】，故，對應點在第三象限.故選：.【點睛】本題考查了復數(shù)的化簡和對應象限，意在考查學生的計算能力.2A【解析】利用切割線定理求得，利用

7、勾股定理求得圓心到弦的距離，從而求得，結合，求得直線的傾斜角為，進而求得的斜率.【詳解】曲線為圓的上半部分，圓心為，半徑為.設與曲線相切于點，則所以到弦的距離為，所以，由于，所以直線的傾斜角為，斜率為.故選：A【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關系，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.3B【解析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將數(shù)據(jù)和做對比，即可判斷.【詳解】由于，故.故選：B.【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬基礎題.4D【解析】根據(jù)三視圖即可求得幾何體表面積，即可解得未知數(shù).【詳解】由圖可知，該幾何體是由一個長寬高分別為和一個底面半徑為，高為的圓柱組合而成.

8、該幾何體的表面積為，解得，故選：D.【點睛】本題考查由三視圖還原幾何體，以及圓柱和長方體表面積的求解，屬綜合基礎題.5B【解析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)，逐個判斷即可求出【詳解】因為，所以是的一個周期，正確；因為，所以在上不單調(diào)遞增，錯誤；因為，所以是偶函數(shù)，又是的一個周期，所以可以只考慮時，的值域當時，在上單調(diào)遞增，所以，的值域為，錯誤；綜上，正確的個數(shù)只有一個，故選B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應用6B【解析】由題意知且，結合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知，則，故，又，則，所以，所以本題答案為B.【點睛】本題主要考查了集合的關系及運算，以及借助數(shù)軸解決有關問題，其中確定中的元素是

9、解題的關鍵，屬于基礎題.7B【解析】由，則輸出為300，即可得出判斷框的答案【詳解】由，則輸出的值為300，故判斷框中應填？故選：【點睛】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，是基礎題8A【解析】由題知，利用求出，再根據(jù)題給定義，化簡求出的解析式，結合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷，即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，的圖象與直線的相鄰交點間的距離為，所以 的周期為， 則， 所以，由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知正確.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象，以及正弦函數(shù)的圖象，解題關鍵是對新定義的理解.9B【解析】根據(jù)角終邊上的點坐標，求得，代

10、入二倍角公式即可求得的值.【詳解】因為終邊上有一點，所以，故選：B【點睛】此題考查二倍角公式，熟練記憶公式即可解決，屬于簡單題目.10C【解析】連結并延長PO，交對棱C1D1于R，則R為對棱的中點，取MN的中點H，則OHMN，推導出OHRQ，且OHRQ，由此能求出該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長【詳解】如圖，MN為該直線被球面截在球內(nèi)的線段連結并延長PO，交對棱C1D1于R，則R為對棱的中點，取MN的中點H，則OHMN，OHRQ，且OHRQ，MH，MN故選：C【點睛】本題主要考查該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題11

11、A【解析】利用復數(shù)除法運算化簡，由此求得對應點所在象限.【詳解】依題意，對應點為，在第一象限.故選A.【點睛】本小題主要考查復數(shù)除法運算，考查復數(shù)對應點的坐標所在象限，屬于基礎題.12A【解析】由f12=e-140排除選項D;f-12=-e-140，可排除選項D，f-1=-e-120可排除選項C；由fx=0可得x=kx=k,kz，即函數(shù)fx有無數(shù)個零點，可排除選項B,故選A.【點睛】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)

12、性、奇偶性、特殊點以及x0+,x0-,x+,x-時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】首先解不等式，再由在區(qū)間上恒成立，即得到不等組，解得即可.【詳解】解：且，即解得，即因為在區(qū)間上恒成立，解得即故答案為：【點睛】本題考查一元二次不等式及函數(shù)的綜合問題，屬于基礎題.14【解析】對函數(shù)求導后，代入切點的橫坐標得到切線斜率，然后根據(jù)直線方程的點斜式，即可寫出切線方程.【詳解】因為，所以，從而切線的斜率，所以切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題主要考查過曲線上一點的切線方程的求法，屬基礎題.15【解析】，即，16【解

13、析】根據(jù)三角形中位線證得，結合判斷出垂直平分，由此求得的值，結合求得的值.【詳解】，為中點，垂直平分，即，即.故答案為：【點睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）見解析；（2）【解析】（1）先由線面垂直的判定定理證明平面，再證明線線垂直即可；（2）建立空間直角坐標系，求平面的一個法向量與平面的一個法向量，再利用向量數(shù)量積運算即可.【詳解】（1）證明：連接，由平行且相等，可知四邊形為平行四邊形，所以.由題意易知，所以，因為，所以平面，又平面，所以.（2）設，由已知可得：平面平面，所以

14、，同理可得：，所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點，為的中點，所以平行且相等，從而平面，又，所以，兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標系，由平面幾何知識，得.則，所以，.設平面的法向量為，由，可得，令，則，所以.同理，平面的一個法向量為.設平面與平面所成角為，則，所以.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，重點考查了空間向量的應用，屬中檔題.18（1）（2）直線過定點【解析】（1），再由，解方程組即可；（2）設，由，得，由直線MN的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系，代入計算即可.【詳解】（1）由題意知：，又，且解得，橢圓方程為，（2）當直線的斜率存在時，設其方程為，設，由

15、，得.則，（*）由，得，整理可得（*）代入得，整理可得，又，即，直線過點當直線的斜率不存在時，設直線的方程為，其中，由，得，所以當直線的斜率不存在時，直線也過定點綜上所述，直線過定點.【點睛】本題考查求橢圓的標準方程以及直線與橢圓位置關系中的定點問題，在處理直線與橢圓的位置關系的大題時，一般要利用根與系數(shù)的關系來求解，本題是一道中檔題.19（1）（2）分布列見解析，數(shù)學期望（3）建議甲乘坐高鐵從市到市.見解析【解析】（1）根據(jù)分層抽樣的特征可以得知，樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為，即可按照古典概型的概率計算公式計算得出；（2）依題意可知服從二項分布，先計算出隨機選取人次，此人為老

16、年人概率是，所以，即，即可求出的分布列和數(shù)學期望；（3）可以計算滿意度均值來比較乘坐高鐵還是飛機【詳解】（1）設事件：“在樣本中任取個，這個出行人恰好不是青年人”為， 由表可得：樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為，所以在樣本中任取個，這個出行人恰好不是青年人的概率（2）由題意，的所有可能取值為： 因為在2018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中，隨機選取人次，此人為老年人概率是，所以， ，所以隨機變量的分布列為： 故 （3）答案不唯一，言之有理即可 如可以從滿意度的均值來分析問題，參考答案如下：由表可知，乘坐高鐵的人滿意度均值為：乘坐飛機的人滿意度均值為：因為， 所以建議甲乘坐高鐵從市

17、到市【點睛】本題主要考查了分層抽樣的應用、古典概型的概率計算、以及離散型隨機變量的分布列和期望的計算，解題關鍵是對題意的理解，概率類型的判斷，屬于中檔題20（）（為參數(shù)）；（）【解析】（）設點，則，代入化簡得到答案.（）分別計算，的極坐標方程為，取代入計算得到答案.【詳解】（）設點，故，故的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.（），故，極坐標方程為：；，故，極坐標方程為：.，故，故.【點睛】本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程，弦長，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.21（1） ； （2）.【解析】（1）由正弦定理化簡已知等式可得sinBcosAsinAsinB1，結合sinB1，可求tanA，結合范圍A（1，

18、），可得A的值；（2）由已知可求C，可求b的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計算得解【詳解】（1）bcosAasinB1由正弦定理可得：sinBcosAsinAsinB1，sinB1，cosAsinA，tanA，A（1，），A；（2）a2，B，A，C，根據(jù)正弦定理得到 b6，SABCab6【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題22（1）證明見解析 （2） （3）【解析】（1）根據(jù)題意以為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并表示出，由空間向量數(shù)量積運算即可證明.（2）先求得平面的法向量，即可求得直線與平面法向量夾角的余弦值，即為直線與平面所成角的正弦值；（3）由點在棱上，設，再由，結合，由空間向量垂直的坐標關系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量，由空間向量數(shù)量積的運算求得兩個平面