以高等數(shù)學(xué)為背景的高考數(shù)學(xué)試題的研究報(bào)告

1、. 以高等數(shù)學(xué)為背景的高考數(shù)學(xué)試題的研究定邊四中 世鵬摘要：本文通過(guò)調(diào)查研究的方法，以近幾年來(lái)全國(guó)各地的高考題中的高等數(shù)學(xué)背景下的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題為依據(jù)，探析了此類問(wèn)題的命題背景，充分說(shuō)明了高等數(shù)學(xué)背景下中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的特點(diǎn)。給出了以高等數(shù)學(xué)為背景的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的特點(diǎn)及應(yīng)對(duì)策略和建議，為促進(jìn)學(xué)生有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解地掌握數(shù)學(xué)、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)提供一個(gè)可借鑒的思路和途徑。關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析、教學(xué)、高觀點(diǎn) 縱觀近幾年的課程改革，向量、算法、概率論、導(dǎo)數(shù)、定積分等容被逐一下放到中數(shù)學(xué)必修課本中，中學(xué)數(shù)學(xué)里高等數(shù)學(xué)的含量正一步步擴(kuò)大。選修課程分別由假設(shè)干專題組成，有些看起來(lái)很深?yuàn)W，幾乎都是高

2、等數(shù)學(xué)的容。選修22導(dǎo)數(shù)與微積分;選修系列3：選修31數(shù)學(xué)史選講、選修33球面上的幾何、選修34對(duì)稱與群；選修系列4:選修44幾何證明選講、選修42矩陣與變換、選修43平面坐標(biāo)系中幾種常見變換、選修44極坐標(biāo)與參數(shù)方程、選修45不等式、選修46初等數(shù)論初步。由此可見選修課程中所涉及的容都是高等數(shù)學(xué)的根底容，現(xiàn)在把它們引入到高中數(shù)學(xué)課程中，并不是要把這些容簡(jiǎn)化下放，而是想抓住這些數(shù)學(xué)容的精華把它們的根本思想介紹給高中學(xué)生。有些專題是中學(xué)課程*些容的延伸，有些專題是通過(guò)典型實(shí)例介紹數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用方法，它們即呈現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)多個(gè)分支，又兼顧了數(shù)學(xué)史，并凸現(xiàn)了其中的思想方法。作為一名高中數(shù)學(xué)教師，不斷地

3、從高等數(shù)學(xué)中汲取豐厚的營(yíng)養(yǎng)，使之效勞于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，是一項(xiàng)很有意義的工作。隨著中學(xué)數(shù)學(xué)里高等數(shù)學(xué)的含量進(jìn)一步擴(kuò)大，近幾年來(lái)高考試卷中以高等數(shù)學(xué)為背景的高考試題出現(xiàn)的頻率越來(lái)越高，本文以近幾年來(lái)全國(guó)各地的高考題中的高等數(shù)學(xué)背景下的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題為依據(jù)，探析了此類問(wèn)題的命題背景，充分說(shuō)明了高等數(shù)學(xué)背景下中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的特點(diǎn)。下面以近幾年的各省市的高考題為例，來(lái)探究高觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的命題背景：以高等數(shù)學(xué)的符號(hào)、概念為背景的問(wèn)題命題1:2013年理10設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有：命題透視：此題是一道以數(shù)學(xué)分析中取整函數(shù)為背景的性質(zhì)應(yīng)用題。對(duì)任意的實(shí)數(shù)，記不超過(guò)的最大整數(shù)為，通常稱函數(shù)為

4、取整函數(shù)，又稱高斯函數(shù)，高斯函數(shù)有以下幾個(gè)性質(zhì)：高斯函數(shù)是一個(gè)不減函數(shù)，即對(duì)任意假設(shè)則；假設(shè)則；由這條性質(zhì)可推得選項(xiàng)D成立；假設(shè),則。此題考察學(xué)生對(duì)取整符號(hào)的理解，以及對(duì)取整函數(shù)高斯函數(shù)概念的理解和性質(zhì)的掌握。高等數(shù)學(xué)中涉及很多數(shù)學(xué)符號(hào)，比方表示直和、表示連乘符號(hào)、表示求和符號(hào)等。命題2：2012年理3函數(shù)在處的極限 A.不存在 B.等于6 C.等于3 D.等于0此題主要考察函數(shù)的左、右極限與極限的概念。解：依題意可知：因此函數(shù)在處的極限不存在。命題3：2012年理3函數(shù)的值域是：解：因?yàn)榍遥院瘮?shù)的值域是。此題考察了行列式的計(jì)算，要熟記行列式計(jì)算的概念。以高等數(shù)學(xué)根本公式為背景的問(wèn)題 在普

5、通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修系列45不等式選講是這樣表達(dá)柯西不等式的:設(shè)與是兩組實(shí)數(shù)，則有當(dāng)向量與向量共線時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。雖然課標(biāo)對(duì)這一局部容要求不高，但這是一個(gè)很好的高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的交匯。以此為背景可以設(shè)計(jì)很多題目。命題4：2013年理13設(shè)且滿足：，則 命題透視：此題以求解代數(shù)式的值的形式考察了柯西不等式的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是如何巧妙利用柯西不等式等號(hào)成立的條件來(lái)求解的值，理解柯西不等式等號(hào)成立的條件是關(guān)鍵。解：由柯西不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。由得：所以有，再結(jié)合得： 所以。例1:2014年理15A設(shè)且則的最小值為 解：由柯西不等式可知 將代入得。例2

6、：2013年理15A設(shè)均為正數(shù)，且則的最小值為 解：由柯西不等式可知當(dāng)時(shí)，取得最小值2.以高等數(shù)學(xué)中矩陣知識(shí)點(diǎn)為背景的問(wèn)題 矩陣的相關(guān)理論是高等數(shù)學(xué)中高等代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，而在普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修系列42矩陣與變換中給出了二階矩陣的定義，以及矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)。命題5：2014年理21矩陣的逆矩陣求矩陣求矩陣的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量命題透視：此題是以高等代數(shù)中的矩陣為背景，考察了逆矩陣的概念，如何求解矩陣的特征值和特征向量.結(jié)合中學(xué)的向量知識(shí)，考察了學(xué)生對(duì)新情景下知識(shí)的理解、抽象概括能力以及閱讀理解、對(duì)新知識(shí)的遷移能力以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力

7、，表達(dá)了在高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的銜接處命題。解：1因?yàn)榫仃囀蔷仃嚨哪婢仃?，且所?矩陣的特征多項(xiàng)式為令得矩陣的特征值為或，所以是矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量，是矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量。例3: (2014年卷矩陣，,向量，為實(shí)數(shù)，假設(shè)求的值。解：由，得因?yàn)樗怨?解得 所以以高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)思想為背景的問(wèn)題初等數(shù)學(xué)中經(jīng)常用不等式、配方等方法求最值，這些方法的優(yōu)點(diǎn)是學(xué)生熟悉，易于掌握。但這些方法往往是技巧性要求較高，特別是對(duì)較復(fù)雜的問(wèn)題；另一方面是使用面較窄，只能解一些較特殊的問(wèn)題。自從導(dǎo)數(shù)這塊容注入到中學(xué)教材之后，利用導(dǎo)數(shù)作為工具已成為高中學(xué)生研究函數(shù)性質(zhì)的重要手段。這使得原本就受命題者青

8、睞的導(dǎo)數(shù)幾乎成了數(shù)學(xué)高考中的主角，根本上是每年必考的知 識(shí)點(diǎn)之一。用導(dǎo)數(shù)方法求極值，求函數(shù)的單調(diào)性，有固定程序可循，技巧性要求低一些，適用面廣一些，機(jī)制和最值也容易分清。以及用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式等是導(dǎo)數(shù)思想命題重難點(diǎn)。命題6：設(shè)函數(shù)。試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；假設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值圍。解：因?yàn)榱畹没?顯然方程的根的判別式當(dāng)或時(shí)，方程有兩個(gè)非零實(shí)根，此時(shí)函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的非零實(shí)根，此時(shí)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的零實(shí)根，此時(shí)函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)根，此時(shí)函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1

9、個(gè)零點(diǎn).設(shè)，則因?yàn)椋?所以 設(shè)，則令解得列表如下：+0-0+由此可知在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。當(dāng)時(shí)，取得極大值當(dāng)時(shí)，取得極小值,而，。如果函數(shù)與的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則函數(shù)與的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以或。命題透視：此題考察了三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題和構(gòu)造函數(shù)求解不等式問(wèn)題，兩個(gè)問(wèn)題都用到了導(dǎo)數(shù)思想。即從高等數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)思想分析：構(gòu)造輔助函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)。考察了函數(shù)的單調(diào)性和極值以及函數(shù)圖像等性質(zhì)。例4：函數(shù),。求的單調(diào)區(qū)間與極值；假設(shè)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像在區(qū)間上有公共點(diǎn)，數(shù)的取值圍。五、以高等數(shù)學(xué)中積分思想為背景的問(wèn)題普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書選修22北師版中，增加了微積分的局部知識(shí)

10、。這即可以增強(qiáng)高中數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，也使學(xué)生掌握更有用的變量數(shù)學(xué)知識(shí)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，還可發(fā)揮微積分對(duì)初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用，促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高。命題7：2014年理8假設(shè)，則解：因?yàn)槭浅?shù)，所以，所以可以設(shè)所以解得：。此題考察了定積分的計(jì)算，注意假設(shè)定積分的積分上限和積分下限都是常數(shù)，則它的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值。由此可見，初等數(shù)學(xué)的解法實(shí)際上是高等數(shù)學(xué)思想的具體表達(dá)。初等數(shù)學(xué)思想是高等數(shù)學(xué)思想的簡(jiǎn)單表達(dá)，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的根底。用高等數(shù)學(xué)的思想去認(rèn)識(shí)、理解和解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以進(jìn)一步充實(shí)初等數(shù)學(xué)的*些理論的論述深度，以及進(jìn)一步熟練地掌握用初等方法解決問(wèn)題的技能。六、以高等數(shù)學(xué)為背

11、景的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的特點(diǎn)及應(yīng)對(duì)策略和建議一以高等數(shù)學(xué)為背景的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的特點(diǎn)通過(guò)對(duì)高考試卷中高等數(shù)學(xué)背景下的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析，可以得出高觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題有如下幾個(gè)特點(diǎn)：1、觀點(diǎn)高所謂觀點(diǎn)高是指這些問(wèn)題的設(shè)計(jì)來(lái)源于高等數(shù)學(xué)，所編擬的新題的背景是具有普遍意義的高等數(shù)學(xué)容。高觀點(diǎn)下中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題從不同的角度抓住了初、高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)，立意新、背景深。這類問(wèn)題或以高等數(shù)學(xué)符號(hào)、概念直接出現(xiàn)；或以高等數(shù)學(xué)的概念、定理作為依托融于初等數(shù)學(xué)知識(shí)中，能夠借助實(shí)例和直觀為中學(xué)生所承受的，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的理解和應(yīng)用的，不追求嚴(yán)格的證明和邏輯推理；或表達(dá)高等數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法和推理方法。落點(diǎn)低落點(diǎn)低是指這類問(wèn)題

12、的設(shè)計(jì)雖來(lái)源于高等數(shù)學(xué)，但解決的方法卻是中學(xué)所學(xué)的初等數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)學(xué)生思維的抽象性、邏輯性以及學(xué)生的理解力和自學(xué)能力提出了更高的要求，為進(jìn)入高校學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)做好準(zhǔn)備，從而有利于高校選拔人才。突出能力的考察這種聯(lián)系高等數(shù)學(xué)背景的高觀點(diǎn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，在考察知識(shí)的根底上，側(cè)重考察各種能力，高考考察各種能力的同時(shí)，以考察思維能力為核心，不追求知識(shí)的覆蓋面，而追求知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)。這種以能力立意的高觀點(diǎn)試題選拔的不再是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)死記硬背、生搬硬套的學(xué)生，而是對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理和公式有深刻的理解和結(jié)實(shí)的掌握，具有運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題能力的學(xué)生。它能寬角度、多觀點(diǎn)地考察數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有層次地深入考察數(shù)學(xué)的理性思

13、維，它既能實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的接軌，又能有效地考察學(xué)生的思維能力和繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能。二以高等數(shù)學(xué)為背景的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)對(duì)策略對(duì)于以能力為立意的高觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生要轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)態(tài)度，對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理和公式能有深刻的理解和結(jié)實(shí)掌握，并且能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力；教師要改變課堂教學(xué)重結(jié)論輕過(guò)程的做法，要引導(dǎo)學(xué)生自己構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)知識(shí)形成的來(lái)龍去脈要搞清楚，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)展探究性學(xué)習(xí)，逐漸培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析問(wèn)題、判斷問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。只有這樣，才能不斷開展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，才能到達(dá)以不變應(yīng)萬(wàn)變。題海戰(zhàn)術(shù)已不能在高考中取勝，純粹的承受性學(xué)習(xí)在面對(duì)高觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)已是

14、無(wú)能為力了。比方在概念課中，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是在教師指導(dǎo)下，調(diào)動(dòng)學(xué)生認(rèn)知構(gòu)造中的已有感性經(jīng)歷和知識(shí)，去感知材料，經(jīng)過(guò)思維加工產(chǎn)生認(rèn)識(shí)飛躍，最后組織成完整的概念圖式的過(guò)程。中學(xué)有些數(shù)學(xué)問(wèn)題如果不在高等數(shù)學(xué)的知識(shí)背景下來(lái)解釋，仍將模糊不清，甚至疑問(wèn)重重。教師如果應(yīng)用高觀點(diǎn)解釋中學(xué)數(shù)學(xué)難點(diǎn)，將會(huì)受到意想不到的教學(xué)效果。在不脫離中學(xué)數(shù)學(xué)的課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的前提下，教師可以對(duì)重要的概念和知識(shí)聯(lián)系上作必要的拓寬。教師如果能站在高等數(shù)學(xué)的角度，溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，居高臨下地去解釋，將會(huì)更有利于學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的精華及其后續(xù)開展。建議對(duì)于我們從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)的教師，要加強(qiáng)教育教學(xué)理論學(xué)習(xí)和對(duì)高等數(shù)學(xué)

15、知識(shí)的在學(xué)習(xí)。我們大多數(shù)一線教師經(jīng)過(guò)多年的任教，將在大學(xué)學(xué)過(guò)的高等數(shù)學(xué)知識(shí)幾乎都忘記了，這樣就存在數(shù)學(xué)教師自身數(shù)學(xué)水平簡(jiǎn)化，缺少?gòu)母叩葦?shù)學(xué)的高觀點(diǎn)審視和處理中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力的問(wèn)題?？傊鳛橐幻咧袛?shù)學(xué)教師要用新課程標(biāo)準(zhǔn)審視常規(guī)教學(xué)，隨時(shí)對(duì)自己的工作及專業(yè)能力的開展進(jìn)展評(píng)估，樹立終身學(xué)習(xí)的意識(shí)，在實(shí)踐中不斷學(xué)習(xí)，不斷對(duì)自己的教育教學(xué)進(jìn)展研究、反思，對(duì)自己的知識(shí)與經(jīng)歷進(jìn)展重組，使自己的知識(shí)構(gòu)造具有前瞻性，在反復(fù)的思考中使自身的專業(yè)素質(zhì)、教學(xué)能力和科研水平都得到提高，從而實(shí)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)教師的自我開展、終生開展。從而適應(yīng)新課改的開展。參考文獻(xiàn)：1普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀教育，2013年2梁紅2012全國(guó)高考真題詳解理科數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)，201