圓錐曲線中的典型問(wèn)題及方法：圓錐曲線中的探究性存在性問(wèn)題

1、-. z.圓錐曲線中的探究性存在性問(wèn)題一存在性問(wèn)題是一種具有開(kāi)放性和發(fā)散性的問(wèn)題，此類(lèi)題目的條件和結(jié)論不完備，要求學(xué)生結(jié)合已有的條件進(jìn)展觀察、分析、比擬和概括，它對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的能力有較高的要求，特別是在解析幾何第二問(wèn)中經(jīng)?？嫉绞欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)的問(wèn)題，也就是是否存在定值定點(diǎn)定直線的問(wèn)題。一、是否存在這樣的常數(shù)例1在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和 = 1 * ROMAN I求的取值圍； = 2 * ROMAN II設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：由條件，直線的方

2、程為，代入橢圓方程得整理得直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和等價(jià)于，解得或即的取值圍為設(shè)，則，由方程，又而所以與共線等價(jià)于，將代入上式，解得由知或，故沒(méi)有符合題意的常數(shù)練習(xí)1：08卷20本小題總分值12分拋物線：，直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交于點(diǎn)證明：拋物線在點(diǎn)處的切線與平行；是否存在實(shí)數(shù)使，假設(shè)存在，求的值；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由*Ay112MNBO解法一：如圖，設(shè)，把代入得，由韋達(dá)定理得，點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，將代入上式得，直線與拋物線相切，即假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，又是的中點(diǎn)，由知軸，又，解得即存在，使解法二：如圖，設(shè)，把代入得由韋達(dá)定理得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線在點(diǎn)處

3、的切線的斜率為，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使由知，則，解得即存在，使練習(xí)2.直線 與曲線相交于P、Q 兩點(diǎn)。當(dāng) a為何值時(shí)，；是否存在實(shí)數(shù)a，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O？假設(shè)存在，求出的值，假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：1聯(lián)立方程，即，設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，化簡(jiǎn)得即為所求。假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，二、是否存在這樣的點(diǎn)例2.2009全國(guó)卷本小題總分值12分橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線與相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為I求，的值；II上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)繞F轉(zhuǎn)到*一位置時(shí)，有成立？假設(shè)存在，求出所有的P的坐標(biāo)與的方程；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由。解析：此題考察解

4、析幾何與平面向量知識(shí)綜合運(yùn)用能力，第一問(wèn)直接運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式以及橢圓有關(guān)關(guān)系式計(jì)算，第二問(wèn)利用向量坐標(biāo)關(guān)系及方程的思想，借助根與系數(shù)關(guān)系解決問(wèn)題，注意特殊情況的處理。解：設(shè) 當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，其方程為到的距離為 ，故 ， ， 由 ，得 ，=C上存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到*一位置時(shí)，有成立。由 知橢圓C的方程為+=6. 設(shè) () 假設(shè)上存在點(diǎn)P，且有成立，則，整理得 故 將 于是 , =, ，代入解得，此時(shí)于是=， 即因此， 當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng)時(shí)， 。當(dāng)垂直于軸時(shí)，由知，C上不存在點(diǎn)P使成立。綜上，C上存在點(diǎn)使成立，此時(shí)的方程為.例3.2009卷本小題總分值14分直線經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓

5、的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線分別交于兩點(diǎn)。I求橢圓的方程；求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的面積為？假設(shè)存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，假設(shè)不存在，說(shuō)明理由I由得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為 故橢圓的方程為直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而由得0設(shè)則得，從而即又，由得故又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值由可知，當(dāng)取最小值時(shí)， 此時(shí)的方程為 要使橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。設(shè)直線，則由解得或練習(xí)：1.2008卷20題本小題總分值12分雙曲線的左、右焦點(diǎn)分

6、別為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)I假設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程；II在軸上是否存在定點(diǎn)，使為常數(shù)？假設(shè)存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：由條件知，設(shè)，解法一：I設(shè)，則，由得即于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)不與軸垂直時(shí)，即又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡(jiǎn)得當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程所以點(diǎn)的軌跡方程是II假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，于是因?yàn)槭桥c無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，此時(shí)故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)練習(xí)2.08卷22) (本小題總分值14分)如圖

7、，設(shè)拋物線方程為*2=2py(p0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為2，-2p時(shí)，求此時(shí)拋物線的方程；是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D在拋物線上，其中，點(diǎn)C滿足O為坐標(biāo)原點(diǎn).假設(shè)存在,求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.證明：由題意設(shè)由得，則 所以因此直線MA的方程為直線MB的方程為所以由、得因此，即所以A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.解：由知，當(dāng)*0=2時(shí)， 將其代入、并整理得：所以*1、*2是方程的兩根，因此又所以由弦長(zhǎng)公式得又，所以p=1或p=2，因此所求拋物線方程

8、為或解：設(shè)D(*3,y3)，由題意得C(*1+ *2, y1+ y2), 則CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)直線AB的方程為由點(diǎn)Q在直線AB上，并注意到點(diǎn)也在直線AB上，代入得假設(shè)D*3,y3在拋物線上，則因此*3=0或*3=2*0. 即D(0，0)或1當(dāng)*0=0時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)M(0,-2p)適合題意.2當(dāng)，對(duì)于D(0，0)，此時(shí)又ABCD，所以即矛盾.對(duì)于因?yàn)榇藭r(shí)直線CD平行于y軸，又所以，直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛盾，所以時(shí)，不存在符合題意的M點(diǎn).綜上所述，僅存在一點(diǎn)M(0，-2p)適合題意.練習(xí)3.2007理18 (本小題總分值14分)在平面直角坐標(biāo)系中，圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切

9、于坐標(biāo)原點(diǎn)橢圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為(1)求圓的方程； (2)試探究圓上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)，使到橢圓右焦點(diǎn)的距離等于線段的長(zhǎng)假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解： (1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(m，n)m0,則該圓的方程為(*-m)2+(y-n)2=8該圓與直線y=*相切，則圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則=2即=4 又圓與直線切于原點(diǎn)，將點(diǎn)(0，0)代入得 ，m2+n2=8 聯(lián)立方程和組成方程組解得， 故圓的方程為(*+2)2+(y-2)2=8 (2)=5，a2=25，則橢圓的方程為其焦距c=4，右焦點(diǎn)為(4，0)，則=4。要探否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F

10、的距離等于的長(zhǎng)度4，我們可以轉(zhuǎn)化為探求以右焦點(diǎn)F為頂點(diǎn)，半徑為4的圓(*4)2+y2=8與(1)所求的圓的交點(diǎn)數(shù)。通過(guò)聯(lián)立兩圓的方程解得*=，y=即存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q(，)，使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于的長(zhǎng)。三、是否存在這樣的直線例4.2007理19本小題總分值12分NOACBy*在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)定點(diǎn)作直線與拋物線相交于兩點(diǎn)I假設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求面積的最小值；II是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？假設(shè)存在，求出的方程；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由此題不要求在答題卡上畫(huà)圖解析：本小題主要考察直線、圓和拋物線等平面解析幾何的根底知識(shí)，考察綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)展

11、推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力解法1：依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，直線的方程為，與聯(lián)立得消去得由韋達(dá)定理得，于是，當(dāng)時(shí)，假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為，NOACBy*l，令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線解法2：前同解法1，再由弦長(zhǎng)公式得，又由點(diǎn)到直線的距離公式得從而，當(dāng)時(shí)，假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為，則有令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線練習(xí)1.雙曲線方程為，問(wèn)：是否存在過(guò)

12、點(diǎn)M(1，1)的直線，使得直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且M是線段PQ的中點(diǎn)？如果存在，求出直線的方程，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：顯然*=1不滿足條件，設(shè).聯(lián)立和，消去y得，由0，得k，由M(1，1)為PQ的中點(diǎn)，得，解得，這與0過(guò)M2，N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，I求橢圓E的方程；II是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？假設(shè)存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求|AB |的取值圍，假設(shè)不存在說(shuō)明理由。解:1因?yàn)闄E圓E: a，b0過(guò)M2， ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為2假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,

13、設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為，所求的圓為，此時(shí)圓的切線都滿足或，而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足，綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.【命題立意】:此題屬于探究是否存在的問(wèn)題,主要考察了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確實(shí)定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問(wèn)題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系五、是否存在這樣的最值例7橢圓：的右頂點(diǎn)為，過(guò)的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為 I求橢圓的方程； II

14、設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求的最小值解析：I由題意得所求的橢圓方程為， II不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本€MN與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則， 設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，由題意得，即有，其中的或；當(dāng)時(shí)有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時(shí)代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1掌握研究解析幾何問(wèn)題的根本方法近幾年解析幾何的考題在難度、計(jì)算的復(fù)雜程度等方面都有所下降，突出對(duì)解析幾何根本思想和根本方法的考察，重點(diǎn)要掌握解析幾何的一些根本方法來(lái)解決問(wèn)題

15、，解析幾何中解題的根本方法有解析法、待定系數(shù)法、變換法、參數(shù)法等方法課堂教學(xué)中選擇例題要突出題目的普遍性，解題方法要具有代表性，即通性通法所以在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)做到:1結(jié)實(shí)掌握?qǐng)A錐曲線定義 圓錐曲線定義反映了圓錐曲線的本質(zhì)屬性，是構(gòu)建有關(guān)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的根底。同時(shí)，定義直接用于解題常常使一些看似很難解決的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。 2重視根底知識(shí)，基此題型的復(fù)習(xí) 1注意課本典型例題、習(xí)題的延伸 教材中的例題、習(xí)題雖然大多比擬容易，但其解法往往具有示性，可延伸性，適當(dāng)?shù)鼐帞M題組進(jìn)展復(fù)習(xí)訓(xùn)練，有利于系統(tǒng)地掌握知識(shí)，融會(huì)貫穿。如教材中題:過(guò)拋物線y2=2p*焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1,y2，求證y1y

16、2=-p2。 給出的結(jié)論是關(guān)于拋物線焦點(diǎn)弦的一條重要性質(zhì)，而其證明方法也是解決有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題的最根本最典型的方法。 2注意轉(zhuǎn)化條件，優(yōu)化解題方法 解析幾何中有一些根本問(wèn)題，如兩直線垂直的證明、求弦的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)的計(jì)算等等，對(duì)這些問(wèn)題的處理方法是熟知的。但有不少題目，所給的條件無(wú)法直接使用，或者使用起來(lái)比擬困難，此時(shí)，可考慮對(duì)條件進(jìn)展適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，使解題過(guò)程納入到學(xué)生所熟悉的軌道。 3重視判別式的作用 有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，通常都是利用一元二次方程來(lái)解決的。其中，根的判別式往往起著關(guān)鍵的作用。4強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練和運(yùn)用 1函數(shù)與方程思想 解析幾何的研究對(duì)象和方法決定

17、了它與函數(shù)、方程的不解之緣，很多解析幾何問(wèn)題實(shí)際上就是建立方程后研究方程的解或建立函數(shù)后研究函數(shù)的性質(zhì)。2分類(lèi)討論思想解析幾何中，有些公式，性質(zhì)是有適用條件的，解題時(shí)必須注意分類(lèi)討論、區(qū)別處理。例如直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式中斜率必須存在，截距式只適用在兩軸上的截距存在且不為零的情況，兩點(diǎn)式不適用于與坐標(biāo)軸垂直的直線。3數(shù)形結(jié)合思想解析幾何的本質(zhì)就是將數(shù)與形有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，曲線的幾何特征必然在方程、函數(shù)或不等式中有所反映，而函數(shù)、方程或不等式的數(shù)字特征也一定表達(dá)出曲線的特性。圓錐曲線中的探究性存在性問(wèn)題二題型一定值、定點(diǎn)問(wèn)題例1橢圓C：eq f(*2,a2)eq f(y2,b2)1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，e

18、q r(3)，離心率為eq f(1,2)，直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)假設(shè)直線l交y軸于點(diǎn)M，且，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求的值是否為定值？假設(shè)是，求出的值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由破題切入點(diǎn)(1)待定系數(shù)法(2)通過(guò)直線的斜率為參數(shù)建立直線方程，代入橢圓方程消y后可得點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)的關(guān)系式，然后根據(jù)向量關(guān)系式，.把，用點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)表示出來(lái)，只要證明的值與直線的斜率k無(wú)關(guān)即證明了其為定值，否則就不是定值解(1)依題意得beq r(3)，eeq f(c,a)eq f(1,2)，a2b2c2，a2，c1，橢圓C的方程為eq f(*2,4)eq f(y2,

19、3)1.(2)因直線l與y軸相交于點(diǎn)M，故斜率存在，又F坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)直線l方程為yk(*1)，求得l與y軸交于M(0，k)，設(shè)l交橢圓A(*1，y1)，B(*2，y2)，由eq blcrc (avs4alco1(yk(*1)，,f(*2,4)f(y2,3)1，)消去y得(34k2)*28k2*4k2120，*1*2eq f(8k2,34k2)，*1*2eq f(4k212,34k2)，又由，(*1，y1k)(1*1，y1)，eq f(*1,1*1)，同理eq f(*2,1*2)，eq f(*1,1*1)eq f(*2,1*2)eq f(*1*22*1*2,1(*1*2)*1*2)eq

20、f(f(8k2,34k2)f(2(4k212),34k2),1f(8k2,34k2)f(4k212,34k2)eq f(8,3).所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線的值為定值eq f(8,3).題型二定直線問(wèn)題例2在平面直角坐標(biāo)系*Oy中，過(guò)定點(diǎn)C(0，p)作直線與拋物線*22py(p0)相交于A，B兩點(diǎn)(1)假設(shè)點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求ANB面積的最小值；(2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？假設(shè)存在，求出l的方程；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由破題切入點(diǎn)假設(shè)符合條件的直線存在，求出弦長(zhǎng)，利用變量的系數(shù)恒為零求解解方法一(1)依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(

21、0，p)，可設(shè)A(*1，y1)，B(*2，y2)，直線AB的方程為yk*p，與*22py聯(lián)立得eq blcrc (avs4alco1(*22py，,yk*p.)消去y得*22pk*2p20.由根與系數(shù)的關(guān)系得*1*22pk，*1*22p2.于是SABNSBSAeq f(1,2)2p|*1*2|p|*1*2|peq r(*1*2)24*1*2)peq r(4p2k28p2)2p2eq r(k22)，當(dāng)k0時(shí)，(SABN)min2eq r(2)p2.(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為ya，AC的中點(diǎn)為O，l與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P，Q，PQ的中點(diǎn)為H，則OHPQ，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq f(

22、*1,2)，eq f(y1p,2)OPeq f(1,2)ACeq f(1,2)eq r(*oal(2,1)(y1p)2)eq f(1,2)eq r(yoal(2,1)p2)，OHeq blc|rc|(avs4alco1(af(y1p,2)eq f(1,2)|2ay1p|，PH2OP2OH2eq f(1,4)(yeq oal(2,1)p2)eq f(1,4)(2ay1p)2(aeq f(p,2)y1a(pa)，PQ2(2PH)24(aeq f(p,2)y1a(pa)令aeq f(p,2)0，得aeq f(p,2)，此時(shí)PQp為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為yeq f(p,2)，即拋物線的

23、通徑所在的直線方法二(1)前同方法一，再由弦長(zhǎng)公式得ABeq r(1k2)|*1*2|eq r(1k2)eq r(*1*2)24*1*2)eq r(1k2)eq r(4p2k28p2)2peq r(1k2)eq r(k22)，又由點(diǎn)到直線的距離公式得deq f(2p,r(1k2).從而SABNeq f(1,2)dABeq f(1,2)2peq r(1k2)eq r(k22)eq f(2p,r(1k2)2p2eq r(k22).當(dāng)k0時(shí)，(SABN)min2eq r(2)p2.(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為ya，則以AC為直徑的圓的方程為(*0)(*1)(yp)(yy1)0，將直線方程

24、ya代入得*2*1*(ap)(ay1)0，則*eq oal(2,1)4(ap)(ay1)4(aeq f(p,2)y1a(pa)設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P(*3，y3)，Q(*4，y4)，則有PQ|*3*4| eq r(4(af(p,2)y1a(pa)2eq r(af(p,2)y1a(pa).令aeq f(p,2)0，得aeq f(p,2)，此時(shí)PQp為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為yeq f(p,2)，即拋物線的通徑所在的直線題型三定圓問(wèn)題例3橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在*軸上，離心率為eq f(r(3),2)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2，橢圓G上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為

25、12，圓Ck：*2y22k*4y210(kR)的圓心為點(diǎn)Ak.(1)求橢圓G的方程；(2)求AkF1F2的面積；(3)問(wèn)是否存在圓Ck包圍橢圓G？請(qǐng)說(shuō)明理由破題切入點(diǎn)(1)根據(jù)定義，待定系數(shù)法求方程(2)直接求(3)關(guān)鍵看長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)解(1)設(shè)橢圓G的方程為eq f(*2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，半焦距為c，則eq blcrc (avs4alco1(2a12，,f(c,a)f(r(3),2)，)解得eq blcrc (avs4alco1(a6，,c3r(3)，)所以b2a2c236279.所以所求橢圓G的方程為eq f(*2,36)eq f(y2,9)1.(2)點(diǎn)Ak的坐標(biāo)為(

26、k,2)，SAkF1F2eq f(1,2)|F1F2|2eq f(1,2)6eq r(3)26eq r(3).(3)假設(shè)k0，由620212k0211512k0，可知點(diǎn)(6,0)在圓Ck外；假設(shè)k0，可知點(diǎn)(6,0)在圓Ck外所以不管k為何值，圓Ck都不能包圍橢圓G.即不存在圓Ck包圍橢圓G.總結(jié)提高(1)定值問(wèn)題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問(wèn)題，根本思想是使用參數(shù)表示要解決的問(wèn)題，證明要解決的問(wèn)題與參數(shù)無(wú)關(guān)在這類(lèi)試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的(2)由直線方程確定定點(diǎn)，假設(shè)得到了直線方程的點(diǎn)斜式：yy0k(*0)，則直線必過(guò)定點(diǎn)(*0，y0)；假設(shè)得到了直線方程的斜截式：yk*m，則直線必過(guò)

27、定點(diǎn)(0，m)(3)定直線問(wèn)題一般都為特殊直線*0或yy0型1在平面直角坐標(biāo)系*Oy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，eq r(2)且斜率為k的直線l與橢圓eq f(*2,2)y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.(1)求k的取值圍；(2)設(shè)橢圓與*軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由條件，得直線l的方程為yk*eq r(2)，代入橢圓方程得eq f(*2,2)(k*eq r(2)21.整理得(eq f(1,2)k2)*22eq r(2)k*10.直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于8k24(eq f(1,2)k2)4k220，解

28、得keq f(r(2),2).即k的取值圍為(，eq f(r(2),2)(eq f(r(2),2)，)(2)設(shè)P(*1，y1)，Q(*2，y2)，則(*1*2，y1y2)，由方程，得*1*2eq f(4r(2)k,12k2).又y1y2k(*1*2)2eq r(2).而A(eq r(2)，0)，B(0,1)，(eq r(2)，1)所以與共線等價(jià)于*1*2eq r(2)(y1y2)，將代入上式，解得keq f(r(2),2).由(1)知keq f(r(2),2)，故不存在符合題意的常數(shù)k.2雙曲線方程為*2eq f(y2,2)1，問(wèn)：是否存在過(guò)點(diǎn)M(1,1)的直線l，使得直線與雙曲線交于P、Q兩

29、點(diǎn)，且M是線段PQ的中點(diǎn)？如果存在，求出直線的方程，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解顯然*1不滿足條件，設(shè)l：y1k(*1)聯(lián)立y1k(*1)和*2eq f(y2,2)1，消去y得(2k2)*2(2k22k)*k22k30，由0，得keq f(3,2)，*1*2eq f(2(kk2),2k2)，由M(1,1)為PQ的中點(diǎn)，得eq f(*1*2,2)eq f(kk2,2k2)1，解得k2，這與k0)過(guò)M(2，eq r(2)，N(eq r(6)，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓E的方程；(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且？假設(shè)存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求AB

30、的取值圍；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)因?yàn)闄E圓E：eq f(*2,a2)eq f(y2,b2)1(a，b0)過(guò)M(2，eq r(2)，N(eq r(6)，1)兩點(diǎn)，所以eq blcrc (avs4alco1(f(4,a2)f(2,b2)1，,f(6,a2)f(1,b2)1，)解得eq blcrc (avs4alco1(f(1,a2)f(1,8)，,f(1,b2)f(1,4)，)所以eq blcrc (avs4alco1(a28，,b24，)橢圓E的方程為eq f(*2,8)eq f(y2,4)1.(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，設(shè)該圓的切線

31、方程為yk*m，A(*1，y1)，B(*2，y2)，解方程組eq blcrc (avs4alco1(yk*m，,f(*2,8)f(y2,4)1)得*22(k*m)28，即(12k2)*24km*2m280，則16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0，即8k2m240.故eq blcrc (avs4alco1(*1*2f(4km,12k2)，,*1*2f(2m28,12k2)，)y1y2(k*1m)(k*2m)k2*1*2km(*1*2)m2eq f(k2(2m28),12k2)eq f(4k2m2,12k2)m2eq f(m28k2,12k2).要使，需使*1*2y1y20，

32、即eq f(2m28,12k2)eq f(m28k2,12k2)0，所以3m28k280，所以k2eq f(3m28,8)0.又8k2m240，所以eq blcrc (avs4alco1(m22，,3m28，)所以m2eq f(8,3)，即meq f(2r(6),3)或meq f(2r(6),3)，因?yàn)橹本€yk*m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為req f(|m|,r(1k2)，r2eq f(m2,1k2)eq f(m2,1f(3m28,8)eq f(8,3)，req f(2r(6),3)，所求的圓為*2y2eq f(8,3)，此時(shí)圓的切線yk*m都滿足meq f(2r(6),3)或

33、meq f(2r(6),3)，而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為*eq f(2r(6),3)與橢圓eq f(*2,8)eq f(y2,4)1的兩個(gè)交點(diǎn)為(eq f(2r(6),3)，eq f(2r(6),3)或(eq f(2r(6),3)，eq f(2r(6),3)滿足，綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓*2y2eq f(8,3)，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且.4(2014)如圖，設(shè)橢圓eq f(*2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)D在橢圓上，DF1F1F2，eq f(F1F2,DF1)2eq r(2)，DF1F2的面積為eq f(r(2),2

34、).(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)是否存在圓心在y軸上的圓，使圓在*軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過(guò)不同的焦點(diǎn)？假設(shè)存在，求出圓的方程；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2a2b2.由eq f(F1F2,DF1)2eq r(2)，得DF1eq f(F1F2,2r(2)eq f(r(2),2)c，從而SDF1F2eq f(1,2)DF1F1F2eq f(r(2),2)c2eq f(r(2),2)，故c1，從而DF1eq f(r(2),2).由DF1F1F2，得DFeq oal(2,2)DFeq oal(2,1)F1Feq

35、oal(2,2)eq f(9,2)，因此DF2eq f(3r(2),2).所以2aDF1DF22eq r(2)，故aeq r(2)，b2a2c21.因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(*2,2)y21.(2)如圖，設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓eq f(*2,2)y21相交，P1(*1，y1)，P2(*2，y2)是兩個(gè)交點(diǎn)，y10，y20，F(xiàn)1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線，且F1P1F2P2.由圓和橢圓的對(duì)稱(chēng)性，易知，*2*1，y1y2.由(1)知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，所以(*11，y1)，(*11，y1)，再由F1P1F2P2，得(*11)2yeq oal(2,1)0.由橢圓方程得1eq

36、 f(*oal(2,1),2)(*11)2，即3*eq oal(2,1)4*10，解得*1eq f(4,3)或*10.當(dāng)*10時(shí)，P1，P2重合，題設(shè)要求的圓不存在當(dāng)*1eq f(4,3)時(shí)，過(guò)P1，P2分別與F1P1，F(xiàn)2P2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心C.設(shè)C(0，y0)，由CP1F1P1，得eq f(y1y0,*1)eq f(y1,*11)1.而求得y1eq f(1,3)，故y0eq f(5,3).圓C的半徑CP1 eq r(f(4,3)2(f(1,3)f(5,3)2)eq f(4r(2),3).綜上，存在滿足題設(shè)條件的圓，其方程為*2(yeq f(5,3)2eq f(32,9).5(2014)如圖，拋物線C：*24y，過(guò)點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn))(1)證明：動(dòng)點(diǎn)D在定直線上；(2)作C的任意一條切線l(不含*軸)，與直線y2相交于點(diǎn)N1，與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2，證明：MNeq oal(2,2)MNeq oal(2,1)為定值，并求此定值(1)證明依題意可設(shè)AB方程為yk*2，代入*24y，得*24(k*2)，即*24k*80.設(shè)A(*1，y1)，B(*2，y2)，則有*1*28.直線AO的方程為yeq f(y1,*1)*；BD的方程為*2.解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為eq blcr