高數(shù)下 曲面積分習(xí)題課通用PPT課件

1、高數(shù)下 曲面積分習(xí)題課一、曲線積分的計(jì)算法1. 基本方法曲線積分第一類 ( 對弧長 )第二類 ( 對坐標(biāo) )(1) 選擇積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2) 確定積分上下限第一類: 下小上大第二類: 下始上終練習(xí)題: P244 題 3 (1), (3), (6)解答提示: 計(jì)算其中L為圓周提示: 利用極坐標(biāo) ,原式 =說明: 若用參數(shù)方程計(jì)算,則P244 3 (1)P244 3(3). 計(jì)算其中L為擺線上對應(yīng) t 從 0 到 2 的一段弧.提示:P244 3(6). 計(jì)算其中 由平面 y = z 截球面提示: 因在 上有故原式 = 從 z 軸正向看沿逆時(shí)針方向.(1)

2、利用對稱性及重心公式簡化計(jì)算 ;(2) 利用積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件;(3) 利用格林公式 (注意加輔助線的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式 .2. 基本技巧例1. 計(jì)算其中 為曲線解: 利用輪換對稱性 , 有利用重心公式知( 的重心在原點(diǎn)) 例2. 計(jì)算其中L 是沿逆時(shí)針方向以原點(diǎn)為中心、解法1 令則這說明積分與路徑無關(guān), 故a 為半徑的上半圓周.解法2 它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,(利用格林公式)思考:(2) 若 L 同例2 , 如何計(jì)算下述積分:(1) 若L 改為順時(shí)針方向,如何計(jì)算下述積分:則添加輔助線段思考題解答:(1)(2)證:把例3. 設(shè)在上半平

3、面內(nèi)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且對任意 t 0 都有證明對D內(nèi)任意分段光滑的閉曲線L, 都有兩邊對t求導(dǎo), 得:則有因此結(jié)論成立.(2006考研)計(jì)算其中L為上半圓周提示:沿逆時(shí)針方向.練習(xí)題: P244 題 3(5) ; P245 題 6; 11. 3(5).用格林公式: P245 6 .設(shè)在右半平面 x 0 內(nèi), 力構(gòu)成力場,其中k 為常數(shù), 證明在此力場中場力所作的功與所取的路徑無關(guān).提示:令易證F 沿右半平面內(nèi)任意有向路徑 L 所作的功為P245 11.求力沿有向閉曲線 所作的其中 為平面 x + y + z = 1 被三個(gè)坐標(biāo)面所截成三提示: 方法1從 z 軸正向看去沿順時(shí)針方向.利用對

4、稱性角形的整個(gè)邊界,功,設(shè)三角形區(qū)域?yàn)?, 方向向上,則方法2利用公式 斯托克斯公式例4.設(shè)L 是平面與柱面的交線從 z 軸正向看去, L 為逆時(shí)針方向, 計(jì)算 解: 記 為平面上 L 所圍部分的上側(cè), D為 在 xOy 面上的投影.由斯托克斯公式公式 D 的形心二、曲面積分的計(jì)算法1. 基本方法曲面積分第一類( 對面積 )第二類( 對坐標(biāo) )轉(zhuǎn)化二重積分(1) 選擇積分變量 代入曲面方程(2) 積分元素投影第一類: 始終非負(fù)第二類: 有向投影(3) 確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面思 考 題1) 二重積分是哪一類積分? 答: 第一類曲面積分的特例.2) 設(shè)曲面問下列等式是否成立?

5、 不對 ! 對坐標(biāo)的積分與 的側(cè)有關(guān) 2. 基本技巧(1) 利用對稱性及重心公式簡化計(jì)算(2) 利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化練習(xí):P244 題4(3) 其中 為半球面的上側(cè).且取下側(cè) , 原式 =P244 題4(2) , P245 題 10 同樣可利用高斯公式計(jì)算.記半球域?yàn)?,高斯公式有計(jì)算提示: 以半球底面為輔助面, 利用例5.證明: 設(shè)(常向量)則單位外法向向量, 試證設(shè) 為簡單閉曲面, a 為任意固定向量,n為 的 例6. 計(jì)算曲面積分其中,解:思考: 本題 改為橢球面時(shí), 應(yīng)如何計(jì)算 ?提示: 在橢球面內(nèi)作輔助

6、小球面內(nèi)側(cè), 然后用高斯公式 .例7. 設(shè) 是曲面解: 取足夠小的正數(shù) , 作曲面取下側(cè)使其包在 內(nèi), 為 xOy 平面上夾于之間的部分, 且取下側(cè) ,取上側(cè), 計(jì)算則第二項(xiàng)添加輔助面, 再用高斯公式, 注意曲面的方向 !得例8. 計(jì)算曲面積分中 是球面解: 利用對稱性用重心公式作業(yè)P244 3 (2) , (4) ; 4 (2) 5 ; 9備用題 1. 已知平面區(qū)域L為D 的邊界, 試證證: (1) 根據(jù)格林公式所以相等,從而左端相等, 即(1)成立.(2003 考研)因、兩式右端積分具有輪換對稱性,(2) 由式由輪換對稱性(1) 在任一固定時(shí)刻 , 此衛(wèi)星能監(jiān)視的地球表面積是 2. 地球的一個(gè)偵察衛(wèi)星攜帶的廣角高分辨率攝象機(jī)能監(jiān)視其”視線”所及地球表面的每一處的景象并攝像, 若地球半徑為R , 衛(wèi)星距地球表面高度為 H =0.25 R ,衛(wèi)星繞地球一周的時(shí)間為 T , 試求(2) 在解: 如圖建立坐標(biāo)系.的時(shí)間內(nèi) , 衛(wèi)星監(jiān)視的地球表面積是多少 ?多少 ? 設(shè)衛(wèi)星繞 y 軸旋轉(zhuǎn)(1) 利用球坐標(biāo), 任一固定時(shí)刻監(jiān)視的地球