高數(shù)多元函數(shù)基本概念PPT通用PPT課件

1、高數(shù)多元函數(shù)基本概念PPT8.1 多元函數(shù)的的基本概念一、平面點集與n維空間二、多元函數(shù)的概念三、習題8.11.鄰域例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑 ,也可寫成點 P0 的去心鄰域記為點集稱為點 P0 的鄰域.8.1.1平面點集 n維空間2. n 維空間n 元有序數(shù)組的全體稱為 n 維空間,n 維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為該點的第 k 個坐標 .記作即一個點, 當所有坐標稱該元素為 中的零元,記作O .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的距離記作規(guī)定為 與零元 O 的距離為中點 a 的 鄰域為區(qū)域要點:(1) 內(nèi)點、外點、邊界點設(shè)有點集 E 及

2、一點 P : 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E = , 若對點 P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點也含 E則稱 P 為 E 的內(nèi)點；則稱 P 為 E 的外點 ;則稱 P 為 E 的邊界點 .的外點 ,顯然, E 的內(nèi)點必屬于 E , E 的外點必不屬于 E , E 的邊界點可能屬于 E, 也可能不屬于 E . (2) 聚點若對任意給定的 ,點P 的去心鄰域內(nèi)總有E 中的點 , 則稱 P 是 E 的聚點.所有聚點所成的點集成為 E 的導集 . 內(nèi)點一定是聚點；說明： 邊界點可能是聚點；例(0,0)既是邊界點也是聚點 點集E的聚點可以屬于E，也

3、可以不屬于E例如,(0,0) 是聚點但不屬于集合例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合D(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域 若點集 E 的點都是內(nèi)點，則稱 E 為開集； 若點集 E E , 則稱 E 為閉集； 若集 D 中任意兩點都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱 D 是連通的 ; 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域 ;。 。 E 的邊界點的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域 整個平面是最大的開域 , 點集 是開集， 也是最大的閉域；但非區(qū)域 .o 對區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點 PD 與某定點 A 的距離 |AP K ,則稱

4、D 為有界域 , 界域 .否則稱為無二、多元函數(shù)的概念 引例: 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強 三角形面積的海倫公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義1. 設(shè)非空點集點集 D 稱為函數(shù)的定義域 ;數(shù)集稱為函數(shù)的值域 .特別地 , 當 n = 2 時, 有二元函數(shù)當 n = 3 時, 有三元函數(shù)映射稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù) ,記作類似地可定義三元以上函數(shù)例1 求 的定義域解所求定義域為二元函數(shù) 的圖形（如下頁圖）二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.例如, 二元函數(shù)定義域為圓域圖形為中心在原點的上半球面.三元函數(shù) 定義域為單位閉球圖形為 空間中的超曲面.例如,圖形如右圖.例如,左圖球面.

5、單值分支:P68.2 多元函數(shù)的極限與連續(xù)一、 多元函數(shù)的極限說明：（1）定義中 的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似例2 求證 證當 時，原結(jié)論成立例3 求極限 解其中例4 證明 不存在 證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在不存在.觀察播放確定極限不存在的方法：利用點函數(shù)的形式有三、多元函數(shù)的連續(xù)性類似地,例5 討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性解取故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).當 時例6 討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性解取其值隨k的不同而變化，極限不存在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理（2）介值定理（3）一致連續(xù)性定理 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必定在D上一致連續(xù)多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域例解多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）四、小結(jié)多元函數(shù)的定義思考題思考題解答