初升高數(shù)學(xué)銜接班第6講——二次函數(shù)的最值問題

1、PAGE 初升高數(shù)學(xué)銜接班第6講二次函數(shù)的最值問題一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 會求自變量x在某個范圍內(nèi)取值時二次函數(shù)的最值。2. 了解二次函數(shù)最值問題在實際生活中的簡單應(yīng)用，能建立二次函數(shù)模型，從而解決實際問題。二、學(xué)習(xí)重點：會求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題三、新課講解：舊知復(fù)習(xí)對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)當(dāng)a0時，函數(shù)在x=-b2a處取得最小值4ac-b24a，無最大值；當(dāng)a0時，函數(shù)在x=-b2a處取得最大值4ac-b24a，無最小值新知探秘二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2bxc（a0）具有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)a0時，函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)圖象開口向上；頂點坐標(biāo)為(

2、-b2a,4ac-b24a)，對稱軸為直線x=-b2a；當(dāng)x-b2a時，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x-b2a時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x=-b2a時，函數(shù)取最小值y=4ac-b24a（2）當(dāng)a0時，函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)圖象開口向下；頂點坐標(biāo)為(-b2a,4ac-b24a)，對稱軸為直線x=-b2a；當(dāng)x-b2a時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x-b2a時，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x=-b2a時，函數(shù)取最大值y=4ac-b24a 【典型例題】例1. 求二次函數(shù)y=3x26x1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)x取何值時，y隨x的增大而增大（或減?。?，并畫出該

3、函數(shù)的圖象。思路導(dǎo)航：借助二次函數(shù)的圖象，能夠很好地得出函數(shù)的性質(zhì)解：y=3x26x1=3（x1）24，函數(shù)圖象的開口向下；對稱軸是直線x=1；頂點坐標(biāo)為（1，4）；當(dāng)x=1時，函數(shù)y取最大值y=4；當(dāng)x1時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x1時，y隨著x的增大而減小。點津：函數(shù)的圖象，能夠直觀地刻畫出變量間的對應(yīng)關(guān)系，使得函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)明顯地從圖形上反映出來，因此，很多問題的解決，如果能借助于函數(shù)的圖象，往往起到事半功倍的效果?！局睋舾咧小浚ㄒ唬┣笠辉魏瘮?shù)的最值例2. 求一元二次函數(shù)y=3x-2x2-5的最值思路導(dǎo)航：在求一元二次函數(shù)的最值時，如果函數(shù)的表達式不宜配方，我們可以先判斷函數(shù)圖象的

4、開口方向，再把二次函數(shù)頂點的橫坐標(biāo)值代入表達式，得到相應(yīng)的最值解：因為函數(shù)y=3x-2x2-5的圖象開口向下，所以函數(shù)有最大值，無最小值又該函數(shù)頂點的橫坐標(biāo)為x0=34，代入表達式，得函數(shù)的最大值為-318點津：二次函數(shù)求最值，除配方法、頂點法外，還可直接用公式法，即先判斷二次項系數(shù)的正負(fù)，再把對應(yīng)的系數(shù)代入4ac-b24a求出最值。例3. 當(dāng)-2x2時，求函數(shù)y=x2-2x-3的最大值和最小值思路導(dǎo)航：作出函數(shù)在所給范圍及其對稱軸的草圖，觀察圖象的最高點和最低點，由此得到函數(shù)的最大值、最小值及函數(shù)取到最值時相應(yīng)自變量x的值 解：作出函數(shù)的圖象當(dāng)x=1時，ymin，當(dāng)x=-2時，ymax仿練：

5、當(dāng)1x2時，求函數(shù)y=-x2-x+1的最大值和最小值解：作出函數(shù)的圖象當(dāng)x=1時，ymax，當(dāng)x=2時，ymin點津：由上述兩例可以看到，二次函數(shù)在自變量x的給定范圍內(nèi)，對應(yīng)的圖象是拋物線上的一段那么最高點的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值，最低點的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最小值根據(jù)二次函數(shù)對稱軸的位置，函數(shù)在所給自變量x的范圍內(nèi)的圖象形狀各異下面給出一些常見情況：為方便敘述，用符號m，n表示mxn的實數(shù)x的取值范圍，通常稱為區(qū)間例4. 當(dāng)x0時，求函數(shù)y=-x(2-x)的取值范圍思路導(dǎo)航：畫出y=-x(2-x)的圖象，通過觀察圖象得出結(jié)果解：作出函數(shù)y=-x(2-x)=x2-2x在x0內(nèi)的圖象可以看出：當(dāng)x=

6、1時，ymin，無最大值思考：你能不通過作圖，僅利用二次函數(shù)的開口方向及頂點橫坐標(biāo)是否在已知范圍內(nèi)，來直接求最值嗎？（二）一元二次函數(shù)最值的應(yīng)用 例5. 某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量m（件）與每件的銷售價x（元）滿足一次函數(shù)m=162-3x,30 x54（1）寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？思路導(dǎo)航：在實際問題中努力尋找數(shù)量關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達式，這個過程就是數(shù)學(xué)建模的過程。解：（1）由已知得每件商品的銷售利潤為(x-30)元，那

7、么m件的銷售利潤為y=m(x-30)，又m=162-3x y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860,30 x54（2）由（1）知對稱軸為x=42，位于x的范圍內(nèi)，且拋物線開口向下當(dāng)x=42時，y2max當(dāng)每件商品的售價定為42元時商場每天有最大銷售利潤，最大銷售利潤為432元點津：解決實際問題時，要從數(shù)學(xué)的角度理解分析問題、把握問題，特別要培養(yǎng)自己的閱讀理解、分析和解決問題的能力?！就卣蛊?二次函數(shù)是最簡單的非線性函數(shù)之一，其自身性質(zhì)活躍，同時經(jīng)常作為其他函數(shù)的載體。二次函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問題，是初中二次函數(shù)內(nèi)容的延續(xù)和發(fā)展，隨著區(qū)間的確定或變化，以及在系數(shù)中增添參

8、變數(shù)，使其又成為數(shù)學(xué)高考中的熱點。1. 動二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值例6. 已知二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，求實數(shù)a的值。 思路導(dǎo)航：由函數(shù)的表達式知，二次函數(shù)的對稱軸是固定的，但圖象開口方向是隨參數(shù)a變化的，所以需要討論a的符號 解：將二次函數(shù)配方得，其對稱軸方程為，頂點坐標(biāo)為，圖象開口方向由a決定。很明顯，其頂點橫坐標(biāo)在區(qū)間上。 若時，函數(shù)圖象開口向下，如圖1所示，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為5 即 解得 故圖1 若時，函數(shù)圖象開口向上，如圖2所示，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為5 即解得 故圖2 綜上討論，函數(shù)在區(qū)間上取得最大值為5時， 點津：在今后的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會碰到含字母參數(shù)的二次函數(shù)問題，如二次

9、函數(shù)的表達式中含有字母，或自變量所在區(qū)間是可變區(qū)間 （端點含有字母），這需要靈活運用以上分析問題、解決問題的方法，結(jié)合圖象得出具體結(jié)論 2. 定二次函數(shù)在動區(qū)間上的最值 二次函數(shù)是確定的，但它的定義域區(qū)間是隨參數(shù)t的變化而變化的，我們稱這種情況為“定函數(shù)在動區(qū)間上的最值”。例7. 如果函數(shù)定義在區(qū)間上，求的最小值。思路導(dǎo)航：與前面的問題相比，這里二次函數(shù)的表達式已給定，且區(qū)間隨著t的變化而變化，若判斷函數(shù)的最小值，需要討論區(qū)間與二次函數(shù)對稱軸的相對位置。解：函數(shù)，其對稱軸方程為，頂點坐標(biāo)為（1，1），圖象開口向上。 如下圖所示，若頂點橫坐標(biāo)在區(qū)間左側(cè)時，有。當(dāng)時，函數(shù)取得最小值 。 如下圖所示

10、，若頂點橫坐標(biāo)在區(qū)間上時，有，即。當(dāng)時，函數(shù)取得最小值 。 如下圖所示，若頂點橫坐標(biāo)在區(qū)間右側(cè)時，有，即。當(dāng)時，函數(shù)取得最小值 綜上討論， 點津：對于解決二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，主要取決于區(qū)間與對稱軸的相對位置，這是我們解決該類問題的關(guān)鍵所在。例8. 已知函數(shù)y=x2，2xa，其中a2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應(yīng)的自變量x的值。思路導(dǎo)航：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論解：（1）當(dāng)a=2時，函數(shù)y=x2的圖象僅對應(yīng)著一個點（2，4），所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時x=2；（2）當(dāng)2a0時，由圖可知，當(dāng)x=2時，函數(shù)

11、取最大值y=4； 當(dāng)x=a時，函數(shù)取最小值y=a2；（3）當(dāng)0a2時，由圖可知，當(dāng)x=2時，函數(shù)取最大值y=4；當(dāng)x=0時，函數(shù)取最小值y=0；（4）當(dāng)a2時，由圖可知，當(dāng)x=a時，函數(shù)取最大值y=a2；當(dāng)x=0時，函數(shù)取最小值y=0點津：在本題中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進行討論。在解決這類問題時，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題。四、知識提煉 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值或最小值只能在區(qū)間的端點處及包含在區(qū)間內(nèi)的頂點處取得，解題時，通常先確定x=-b2a是否屬于該區(qū)間，然后分別求出區(qū)間斷點處的函數(shù)值進行比較，確定最值。五、目標(biāo)期望 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能熟練的求在給定范圍

12、內(nèi)的二次函數(shù)的最值問題，進一步體會用分類討論的思想處理含參數(shù)的問題。六、下節(jié)預(yù)告 在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程組的解法，掌握了用消元法解二元一次方程組。高中學(xué)習(xí)圓錐曲線時，有時需要用到二元二次方程組的解法，所以我們有必要學(xué)習(xí)這方面的知識?！就骄毩?xí)】（答題時間：35分鐘）一、選擇題1. 拋物線y=(x-2)2+3的頂點坐標(biāo)是（ ）A. （2，3） B. （2，3） C. （2，3） D. （2，3）2. 二次函數(shù)的最小值是（ ）. A. 2 B. 1 C. 3 D. 3. 二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關(guān)系式中錯誤的是（ ）A. a0B. c0C. 0D. 0

13、4. 向上發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后炮彈的高度為y公尺，且時間與高度的關(guān)系為y=ax2bx。若此炮彈在第7秒與第14秒時的高度相等，則其在下列哪一個時間的高度是最高的（ ） A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒5. 函數(shù)y=ax1與y=ax2bx1（a0）的圖象可能是（ ）二、填空題1. 拋物線y=x2-(m-4)x+2m-3，當(dāng)m = _ 時，圖象的頂點在y軸上；當(dāng)m = _時，圖象的頂點在x軸上；當(dāng)m = _ 時，圖象過原點。2. 用一長度為l米的鐵絲圍成一個長方形或正方形，則其所圍成的最大面積為 _。3. 二次函數(shù)y=2x2-4x+5的最小值是_，y=(1-x)(x+2)的最大值是_。4. 函數(shù)y=2x2+4x-3，當(dāng)x0時，則y的取值范圍是_。三、解答題1. 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值。2. 已知，求函數(shù)的最值?！驹囶}答案】一、選擇題 1. A2. A3. D4. B5. C二、