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1、WORD格式1/5利用韋達(dá)定理求一元二次方程的根一、關(guān)于韋達(dá)定理的性質(zhì)21.韋達(dá)定理:假設(shè)一元二次方程axbxc0的兩根分別為x1、x2,則有x1x2b,x1x2aca.bb24ac2.推導(dǎo):(法一)根據(jù)一元二次方程的求根公式x2abbbb24ac24ac不妨假設(shè)x1,x22a2a不難得出x1x2bca,x1x2a.(法二)若一元二次方程的兩根分別為x1、x2,則方程可以寫成以下形式a(xx1)(xx2)0(a0)(雙根式)2按照x的次數(shù)降冪排列,得axa(x1x2)xax1x202bxc0,得對(duì)比一元二次方程的一般式axba(x1x2),cax1x2,bcx1x2a,x1x2a.2pxq0的
2、形式3.推論:(一)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí),即一元二次方程滿足x假設(shè)方程的兩根分別為x1、x2,則有x1x2p,x1x2q.(二)已知一元二次方程兩根分別為x1、x2,則方程可以寫成以下形式2(x1x2)xx1x20.x4.實(shí)質(zhì):韋達(dá)定理告訴了我們一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.二、利用韋達(dá)定理求一元二次方程的根例如,求一元二次方程x222x60的根.很明顯,根據(jù)我們所學(xué)習(xí)慣,首選方法是十字相乘法.(法一)因式分解,得(x32)(x2)0,解得,x132,x22.當(dāng)然,利用十字相乘法很難湊數(shù)時(shí),我們就會(huì)選用求根公式法.(法二)a1,b22,c6,b24ac82432,2bb4ac2242x2222,
3、2a于是有x132,x22.結(jié)合以上兩種方法,我們發(fā)現(xiàn),十字相乘法計(jì)算速度快,但是湊數(shù)的過程十分靈活,若每一個(gè)系數(shù)都是整數(shù),且滿足x2(x1x2)xx1x20形式的方程可以很快算出來,但如果系數(shù)是分?jǐn)?shù)、根式我們發(fā)現(xiàn)利用這種方法解方程是十分困難的,而且這種方法并不是對(duì)一切一元二次方程都適用.而利用求根公式解一元二次方程時(shí),雖然是一種萬能的方法,但有時(shí)會(huì)給我們帶來無比的計(jì)算量.那有什么方法既可以減少計(jì)算量,使運(yùn)算變得簡(jiǎn)單快捷,同時(shí)又可以用來解一切的一元二次方程呢?接下來,我們看以下解法.2(法三)已知方程x22x60,根據(jù)韋達(dá)定理有x1x222,x1x26.在方程有解的情況下,必然會(huì)存在某一個(gè)實(shí)數(shù)
4、a(假定為正數(shù)),使得x12a,x22a,(滿足條件x1x222)且(2a)(2a)6.(滿足條件x1x26)22于是有2a6,則a8,因此a22x122232,x22222.上述解法中a取正取負(fù)并不影響計(jì)算的最終結(jié)果,為了方便,習(xí)慣上可以假定a為正數(shù).觀察以上解法,我們可以發(fā)現(xiàn),這種解法并不像十字相乘法需要有湊數(shù)的靈感,也不像求根公式法會(huì)帶來無比的計(jì)算量,反而還結(jié)合兩者的優(yōu)點(diǎn),計(jì)算快捷且萬能通用.當(dāng)然我們也可以看以下例子.例1:解方程x26x250,根據(jù)韋達(dá)定理有x1x26,x1x225.在方程有解的情況下,必然會(huì)存在某一個(gè)實(shí)數(shù)a(假定為正數(shù)),使得x13a,x23a,(滿足條件x1x26)
5、且(3a)(3a)25.(滿足條件x1x225)22于是有9a25,則a34,因此a34x1334,x2334.例2:解方程x224x630,根據(jù)韋達(dá)定理有x1x224,x1x263.在方程有解的情況下,必然會(huì)存在某一個(gè)實(shí)數(shù)a(假定為正數(shù)),使得x112a,x212a,(滿足條件x1x224)且(12a)(12a)63.(滿足條件x1x263)于是有144a263,則a2207,因此a207x112207,x212207.例3:解方程x214x480,根據(jù)韋達(dá)定理有x1x214,x1x248.在方程有解的情況下,必然會(huì)存在某一個(gè)實(shí)數(shù)a(假定為正數(shù)),使得x17a,x27a,(滿足條件x1x21
6、4)且(7a)(7a)48.(滿足條件x1x248)于是有49a248,則a21,因此a1x1718,x2716.例4:解方程x218x400,根據(jù)韋達(dá)定理有x1x218,x1x240.在方程有解的情況下,必然會(huì)存在某一個(gè)實(shí)數(shù)a(假定為正數(shù)),使得x19a,x29a,(滿足條件x1x218)且(9a)(9a)40(滿足條件x1x240)于是有81a240,則a241,因此a41x1941,x2941.通過以上4個(gè)例子,我們可以熟悉,若二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí),利用韋達(dá)定理解一元二次方程的流程.實(shí)際上當(dāng)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí),我們也可以離此流程解一元二次方程.如例5:解方程2x29x50,9(法一)根據(jù)韋達(dá)定理有x1x21x22,x52.在方程有解的情況下,必然會(huì)存在某一個(gè)實(shí)數(shù)a(假定為正數(shù)),使得x1994a,x4a,(滿足條件x1x2292)99且(a)(a)44552.(滿足條件x1x2)22.(滿足條件x1x2)于是有8116a225121,則a,因此a22216114x19114412,x2911445.(法二)a2,b9,c5,2b4ac814012
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