工程結(jié)構(gòu)物的拋物面方程回歸計(jì)算

1、PAGE 工程結(jié)構(gòu)物的拋物面方程回歸計(jì)算程效軍1,2 顧孝烈1 （1.同濟(jì)大學(xué)測(cè)量與國(guó)土信息工程，上海，200092；2.現(xiàn)代工程測(cè)量國(guó)家測(cè)繪局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海，200092)摘要：拋物面工程結(jié)構(gòu)物的施工安裝、建成后的精度鑒定和變形監(jiān)測(cè)需要用高精度的電子全站儀測(cè)定拋物面上許多離散點(diǎn)的三維坐標(biāo)。據(jù)此，通過(guò)拋物面口的平面方程回歸、平面的法向量計(jì)算、坐標(biāo)變換、圓心擬合、坐標(biāo)軸平移、拋物面方程回歸等一系列運(yùn)算，得到拋物面方程式和焦距，以滿足對(duì)拋物面工程結(jié)構(gòu)物的施工安裝、精度鑒定和變形監(jiān)測(cè)的要求。關(guān)鍵詞：拋物面結(jié)構(gòu)；施工安裝；變形監(jiān)測(cè)；坐標(biāo)變換；回歸計(jì)算 中圖分類(lèi)號(hào)：P258 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：

2、0253-374X（2009）09-The Regressive Adjustment of Paraboloid-Equation for Engineering ConstructionCheng Xiaojun1,2, Gu Xiaolie1(1.Department of Surveying and Geo-Informatics, Tongji University, Shanghai 200092,China；2.The key Laboratory of Modern Engneering Surveying ,State Bureau of Surveying and Mapp

3、ing, Shanghai 200092,China)Abstract: It is necessary to measure a lot of separate points on the paraboloid using electronic total-station with high accuracy during the installation of engineering construction,the estimation of construction precision and the deformation observation after the construc

4、tion. By which,the plane equation regress of the paraboloid opening,the calculation of the plane normal vector,the coordinates transformation,the circle center fitting,the movement of coordinates axis and the regress of paraboloid equation are practiced to get the paraboloid equation and its focus t

5、o satisfy the requirements of the engineering construction,eccuracy estimateion and deformation observation. Key words: paraboloid construction；installation；deformation observation；coordinates transformation；regressive adjustment拋物面天線是一種定向微波天線，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和方向性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。拋物面天線由反射面和輻射器（發(fā)射或接收器）組成，反射面的幾何形狀必須精確符合設(shè)計(jì)的

6、拋物面方程，輻射器的中心必須精確位于拋物面的焦點(diǎn)上，即拋物面工程結(jié)構(gòu)物需要有很高的施工安裝精度，測(cè)設(shè)的物拋物面上點(diǎn)位坐標(biāo)的理論值應(yīng)按設(shè)計(jì)的拋物面方程計(jì)算。而建成后的精度鑒定和變形監(jiān)測(cè)則需要根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)從總體上驗(yàn)證與設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)的符合程度。對(duì)此必須用高精度電子全站儀測(cè)定拋物面上的離散點(diǎn)位，應(yīng)用坐標(biāo)變換和回歸計(jì)算的方法求得拋物面方程的參數(shù)和擬合的拋物面形體。按照測(cè)量的一般原則，需要有大量的多余觀測(cè)值1。因此，回歸計(jì)算必須用最小二乘法求取計(jì)算成果的最或然值。在此過(guò)程中，也可評(píng)定觀測(cè)對(duì)象的精度和進(jìn)行變形分析。位于三維空間的離散點(diǎn)位必須經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換，才能量測(cè)其有關(guān)的數(shù)據(jù)和擬合其幾何形體的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型。因此，

7、求得坐標(biāo)變換的參數(shù)是關(guān)鍵性的。測(cè)定離散點(diǎn)進(jìn)行拋物面方程的回歸計(jì)算需要經(jīng)過(guò)下列步驟：拋物面口的平面方程回歸、平面的法向量計(jì)算、坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)、圓收稿日期：2008-05-26基金項(xiàng)目：科技部“十一五”國(guó)家科技支撐資助項(xiàng)目（2006BAJ03A07）作者簡(jiǎn)介：程效軍（1964-），男，教授，工學(xué)博士，博士生導(dǎo)師，主要研究方向：數(shù)字近景攝影測(cè)量與精密工程測(cè)量. E-mail:cxj.心擬合、坐標(biāo)軸平移、標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的拋物面方程回歸、坐標(biāo)軸平移和旋轉(zhuǎn)（使拋物面形體與原始觀測(cè)點(diǎn)擬合）。由于存在大量的多余觀測(cè)，在按最小二乘法的平差計(jì)算中需要計(jì)算改正值，用于粗差檢測(cè)和精度評(píng)定。位于任意坐標(biāo)系中的拋物面如圖1所示，

8、其中拋物面口的點(diǎn)所構(gòu)成的平面用虛線表示。在拋物面上測(cè)定的點(diǎn)的三維坐標(biāo)組成“觀測(cè)點(diǎn)集”，是回歸計(jì)算的原始數(shù)據(jù)2。 圖1 任意坐標(biāo)系中的拋物面 Fig.1 Paraboloid in arbitrary Coordinate System1 拋物面口的平面方程回歸計(jì)算按照在拋物面口上測(cè)定的m1個(gè)點(diǎn)擬合出的平面方程式為 （1）將上式同除以D可得： （2）令 （3）則式（1）可改寫(xiě)為： （4）對(duì)于在同一平面上的點(diǎn)進(jìn)行多余觀測(cè)（觀測(cè)點(diǎn)數(shù)m13），則每個(gè)測(cè)定點(diǎn)的坐標(biāo)觀測(cè)值可列出其誤差方程式：， （5）設(shè)誤差方程式系數(shù)與近似值及其改正值的關(guān)系為 （6）則 （7） （8）式中,為誤差方程式中未知參數(shù)，式（8）

9、右端括號(hào)內(nèi)數(shù)值為常數(shù)項(xiàng)。根據(jù)m1個(gè)平面觀測(cè)點(diǎn)的誤差方程式組成法方程式，可解得未知數(shù)，由此求得平面方程式（4）的系數(shù)。按式（9）計(jì)算每個(gè)觀測(cè)點(diǎn)到擬合平面的距離（觀測(cè)點(diǎn)相對(duì)于平面的起伏）： （9）最后按式（10）計(jì)算單位權(quán)中誤差（代表拋物面口平面的平整度）： （10）式中：m1為拋物面口平面上觀測(cè)的點(diǎn)數(shù)，3為誤差方程式（8）中未知參數(shù)的個(gè)數(shù)。2 平面的法向量計(jì)算式（1）和式（4）為平面方程式的一般表達(dá)式。為了求得平面法向量的參數(shù)，需要將平面的一般表達(dá)式轉(zhuǎn)換為平面的法式表達(dá)式： （11）式（11）中，為法向量與坐標(biāo)軸的夾角余弦，p為法向量的長(zhǎng)度。式（4）和式（11）既表達(dá)同一平面，則兩式對(duì)應(yīng)的系數(shù)應(yīng)

10、成比例關(guān)系。設(shè)k為比例系數(shù)，令 （12）則 （13） 將式（12）各式平方相加，并按向量的夾角余弦定理，得到 （14）令 （15）則 （16） 如規(guī)定法向量長(zhǎng)度恒為正，則S應(yīng)取負(fù)值。以（16）代入（12），得到 （17） 設(shè)法向量的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則端點(diǎn)P0的坐標(biāo)為，則 （18） 由此可以求得法向量的方位角和法向量的天頂距： （19） （20）3 坐標(biāo)變換根據(jù)法向量的方位角和天頂距，將坐標(biāo)軸平移和旋轉(zhuǎn)，進(jìn)行坐標(biāo)變換。設(shè)拋物面三維坐標(biāo)測(cè)定的坐標(biāo)系為世界坐標(biāo)系（WCS），平移和旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)系為用戶需坐標(biāo)系（UCS）。（1）WCS變換為UCS設(shè)WCS點(diǎn)的坐標(biāo)為，同一點(diǎn)UCS的坐標(biāo)為，UCS坐標(biāo)原點(diǎn)在

11、WCS中的坐標(biāo)為，則坐標(biāo)變換公式為 （21） 拋物面上點(diǎn)的WCS坐標(biāo)通過(guò)上式變換為UCS坐標(biāo)后，組成“標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)點(diǎn)集”。在此點(diǎn)集中，拋物面口點(diǎn)的擬合平面已平行于平面，其法線已與坐標(biāo)軸的軸相平行。據(jù)此可以進(jìn)行按圓周上的點(diǎn)擬合圓心的平差計(jì)算。（2）UCS變換為WCS UCS變換為WCS的坐標(biāo)變換公式為 （22） 式（22）用于UCS中的圓心坐標(biāo)變換為WCS坐標(biāo)，據(jù)此可以將在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)所作的拋物面圖形擬合于WCS中的觀測(cè)點(diǎn)位。4 拋物面口的圓心擬合 在平面上，圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)與圓半徑和圓心坐標(biāo)的關(guān)系式： （23） 按圓周上任意三點(diǎn)的坐標(biāo)可以算得圓半徑的近似值和圓心的近似值3，設(shè)平差的改正值為，則 （24

12、） 對(duì)于圓周上任意一點(diǎn)，圓半徑的觀測(cè)值為 （25）即 （26）設(shè)圓半徑的觀測(cè)值和改正值與近似值的關(guān)系為 （27）則圓半徑觀測(cè)值的改正值為 （28）對(duì)式（26）中的圓心坐標(biāo)和圓半徑求偏微分，并以其改正值和代替微分，得到： （29）式（29）中的用式（27）中的代入，得到平差計(jì)算的誤差方程式： （30） 按m1個(gè)圓周點(diǎn)的坐標(biāo)觀測(cè)值組成誤差方程式和法方程式，解得圓心坐標(biāo)的改正值，按式（24）得到平差后的拋物面口的圓心平面坐標(biāo)。再取拋物面口各點(diǎn)Z坐標(biāo)的平均值，作為圓心的Z坐標(biāo)。圓心點(diǎn)Pcc是后述坐標(biāo)變換中不可少的參數(shù)。5 拋物面的回歸計(jì)算 將“標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)點(diǎn)集”中的圓心點(diǎn)Pcc作為坐標(biāo)原點(diǎn)，進(jìn)行坐標(biāo)平移，

13、得到“中心標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)點(diǎn)集”，如圖2所示。此時(shí)，拋物面的中心軸（焦軸）與坐標(biāo)軸的Z軸重合，拋物面方程的數(shù)學(xué)式為式（31），是最簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)形式，此式便于將測(cè)定點(diǎn)位的離散數(shù)據(jù)進(jìn)行拋物面方程的回歸計(jì)算4。 圖2 標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的拋物面 Fig.2 Paraboloid in Standard State （31） 式中：為待定參數(shù)。設(shè)f為拋物面頂點(diǎn)（底點(diǎn)）至焦點(diǎn)F的距離（焦距），則 （32） 對(duì)于拋物面上每一個(gè)測(cè)定的點(diǎn)位，理論上式（33）成立： （33） 考慮觀測(cè)值中的誤差，設(shè)的改正值為，則誤差方程式為 （34） 按m個(gè)拋物面上點(diǎn)位的坐標(biāo)觀測(cè)值組成上列誤差方程式。據(jù)此組成法方程式： （35） 由于法方程式系

14、數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的特殊性，按常規(guī)采用以米為單位的坐標(biāo)值會(huì)使法方程式系數(shù)的值大小相差懸殊，不利于方程式的解算。解決的方法為坐標(biāo)值采用十米、百米或千米為單位（視拋物面體積大小而定）。解法方程式（35），得到拋物面方程的參數(shù)。 為了觀測(cè)中的粗差檢驗(yàn)和精度評(píng)定，按式（34）計(jì)算觀測(cè)值的改正值。從形式上看，為每個(gè)觀測(cè)點(diǎn)位的Z坐標(biāo)改正值。但是根據(jù)拋物面方程式（33）可知，拋物面上任意一點(diǎn)的平面坐標(biāo)值（x,y）必定對(duì)應(yīng)一個(gè)高程值（z）。Z坐標(biāo)的改正，不一定是高程的誤差，而是說(shuō)明該點(diǎn)坐標(biāo)觀測(cè)值總體上與拋物面不完全吻合。因此，改正值代表該點(diǎn)的點(diǎn)位誤差。由于拋物面的回歸計(jì)算中，存在大量多余觀測(cè)，因此從離群的改正值中可以

15、按某種標(biāo)準(zhǔn)發(fā)現(xiàn)或剔除含粗差的點(diǎn)位5。觀測(cè)值的精度評(píng)定可按照計(jì)算單位權(quán)中誤差的公式： （36）式中：m為在拋物面上觀測(cè)的總點(diǎn)數(shù)，2為誤差方程式（34）中未知參數(shù)的個(gè)數(shù)。6 計(jì)算實(shí)例拋物面回歸計(jì)算的成果除了數(shù)據(jù)以外，還應(yīng)該包括拋物面的圖形繪制。在CAD中用LISP語(yǔ)言編制應(yīng)用程序，能理想地完成計(jì)算與繪圖任務(wù)。因?yàn)長(zhǎng)ISP語(yǔ)言具有完備的計(jì)算功能，可以完成上述各種計(jì)算，并能調(diào)用CAD繪圖命令進(jìn)行繪圖。但AutuCAD應(yīng)用軟件尚缺少直接繪制拋物面的命令，因此需要采用以下繪圖步驟：從式（33）的拋物面方程來(lái)看，當(dāng)時(shí)，說(shuō)明拋物面與YOZ平面的相交線為一條拋物線；當(dāng)時(shí)，說(shuō)明拋物面與XOZ平面的相交線為具有相同

16、參數(shù)的拋物線。因此，在XOZ平面或YOZ平面按拋物線方程繪制一定數(shù)量的等間距離散點(diǎn)，用樣條曲線連接這些點(diǎn)繪制成拋物線，然后使其繞Z軸旋轉(zhuǎn)而形成拋物面圖形。這個(gè)拋物面擬合于“中心標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)點(diǎn)集”，如圖2所示。按式（32）計(jì)算焦距f，并繪制焦點(diǎn)F。然后用復(fù)制命令（copy）復(fù)制拋物面及其中心軸和焦點(diǎn)，再用坐標(biāo)變換方法（平移和旋轉(zhuǎn)），將拋物面圖形及其中心軸和焦點(diǎn)擬合于原始的“觀測(cè)點(diǎn)集”，如圖1所示，使觀測(cè)對(duì)象在三維空間的實(shí)際位置可視化。所有計(jì)算和繪圖任務(wù)，按本文所提供的數(shù)學(xué)公式和方法，編制LISP程序在CAD中實(shí)現(xiàn)，最后以文件形式提供回歸計(jì)算的數(shù)據(jù)和圖形成果。用高精度的無(wú)協(xié)作目標(biāo)電子全站儀NET120

17、0對(duì)某拋物面天線進(jìn)行測(cè)量，采用獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)觀測(cè)了拋物面口上11個(gè)點(diǎn)和拋物面上29個(gè)點(diǎn)（共觀測(cè)40點(diǎn)）的三維坐標(biāo)。先用拋物面口上11個(gè)點(diǎn)擬合出平面方程式；根據(jù)平面的法向量姿態(tài)（方位角和天頂距）進(jìn)行坐標(biāo)變換，使法向量與坐標(biāo)軸的Z軸平行（拋物面口呈水平狀態(tài)），然后再根據(jù)這11個(gè)點(diǎn)在平面上擬合出拋物面口的圓心點(diǎn)坐標(biāo)；將坐標(biāo)原點(diǎn)平移至該圓心點(diǎn)；根據(jù)所觀測(cè)的40個(gè)點(diǎn)，在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下按拋物面進(jìn)行回歸計(jì)算，由此得到拋物面方程式： 由此得到拋物面口圓半徑，拋物面焦距。回歸計(jì)算的精度為：平面擬合的單位權(quán)中誤差，拋物面擬合的單位權(quán)中誤差。觀測(cè)與計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況相符合。本文采用測(cè)定離散點(diǎn)進(jìn)行拋物面方程回歸計(jì)算，其理論

18、和方法為通過(guò)拋物面口的平面方程回歸、平面的法向量計(jì)算、坐標(biāo)變換、圓心擬合、坐標(biāo)軸平移、在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的拋物面方程回歸等一系列數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到符合客觀實(shí)體的高精度的拋物面方程及其焦點(diǎn)的空間位置。實(shí)踐證明其能滿足拋物面結(jié)構(gòu)物的施工安裝、精度檢驗(yàn)和變形監(jiān)測(cè)等的需要。參考文獻(xiàn)1顧孝烈，鮑峰，程效軍.測(cè)量學(xué)M（第3版）.上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2006. GU Xiaolie,BAO Feng,CHENG Xiaojun.SurveyingM (third edit).Shanghai: Tongji University Press,2006.2潘正風(fēng),楊正堯,程效軍等.數(shù)字測(cè)圖原理和方法M.武漢：武漢大學(xué)出版社，2004. PAN Zhengfeng,YANG Zhengyao，CHENG Xiaojun,et al. Theory and Method for Digital-MappingM.Wuhan: Wuhan University Press,2004.3程效軍，張京男，羅鼎.無(wú)協(xié)作目標(biāo)全站儀在鋼梁變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用J.測(cè)繪通報(bào)，2007,4:17CHENG Xiaojun,ZHANG Jingnan,LUO Ding.The application of total-station without cooperative reflector f