【線性代數(shù)-相似矩陣及二次型】5-1向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性.jsp（推薦 免費(fèi)分享）

1、第 五 章 相似矩陣及二次型討論矩陣在相似意義下化簡(jiǎn)為對(duì)角矩陣的問(wèn)題. 本章討論在理論上和實(shí)際應(yīng)用上都非常重要的矩陣特征值問(wèn)題, 并利用特征值的有關(guān)理論,內(nèi)積的定義主要內(nèi)容內(nèi)積的性質(zhì)向量的長(zhǎng)度和夾角第 一 節(jié) 向量的內(nèi)積正交向量組的性質(zhì)正交基與規(guī)范正交基正交矩陣正交變換 定義1 設(shè)有 n 維向量令 x, y = x1y1 + x2y2 + + xnyn , x, y 稱為向量 x 與 y 的內(nèi)積. 一、內(nèi)積的定義內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算，這種運(yùn)算也可用矩陣記號(hào)表示.當(dāng) x 與 y 都是列向量時(shí)，有 x, y = xTy . （1） x, y = y, x; （2） x, y = x, y; （3）

2、 x + y, z = x, z + y, z; （4） x, x 0, 且當(dāng) x 0 時(shí)有 x, x 0.下列性質(zhì)：二、內(nèi)積的性質(zhì)設(shè) x, y, z 為 n 維向量， 為實(shí)數(shù)，則內(nèi)積有 在解析幾何中，我們?cè)M(jìn)向量的數(shù)量積度和夾角.廣.并且反過(guò)來(lái)，利用內(nèi)積來(lái)定義 n 維向量的長(zhǎng)念，因此只能按數(shù)量積的直角坐標(biāo)計(jì)算公式來(lái)推維向量沒(méi)有 3 維向量那樣直觀的長(zhǎng)度和夾角的概所以 n 維向量的內(nèi)積是數(shù)量積的一種推廣.但 n ( x1, x2, x3 ) (y1, y2 , y3 ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 .且在直角坐標(biāo)系中，有 x y = |x| |y| cos , 三、向量的長(zhǎng)度和

3、夾角 1. 長(zhǎng)度的定義 定義2 令| x | 稱為 n 維向量 x 的長(zhǎng)度 ( 或范數(shù) ).向量的長(zhǎng)度具有下列性質(zhì): 2. 長(zhǎng)度的性質(zhì) (1) 非負(fù)性 當(dāng) x 0 時(shí), | x | 0; 當(dāng) x = 0 時(shí), | x | = 0. (2) 齊次性 | x | = | | x | ; (3) 三角不等式 | x + y | | x | + | y |. 當(dāng) | x | = 1 時(shí), 稱 x 為單位向量. 3. 向量的夾角 向量的內(nèi)積滿足施瓦茨不等式 x, y 2 x, x y, y ,由此可得(當(dāng) | x | | y | 0 時(shí)),于是有下面的定義: 定義 當(dāng) | x | 0, | y | 0

4、時(shí), 稱為 n 維向量 x 與 y 的夾角.量正交.x = 0, 則 x 與任何向量都正交, 即零向量與任何向當(dāng) x, y = 0 時(shí), 稱向量 x 與 y 正交. 顯然,若 1. 正交向量組的定義 定義 由兩兩正交的非零向量構(gòu)成的向量?jī)蓛烧坏姆橇阆蛄? 則 a1 , a2 , , ar 線性無(wú)關(guān). 定理 1 若 n 維向量 a1 , a2 , , ar 是一組 2. 正交向量組的性質(zhì)組稱為正交向量組. 四、正交向量組的性質(zhì) 例 1 已知 R4 中三個(gè)兩兩正交的向量：試求一個(gè)非零向量 a4 , 使 a1, a2, a3, a4 兩兩正交. 1. 定義 定義 設(shè) a1 , a2 , , ar

5、是向量空間 V正交基.且都是單位向量, 則稱 e1, , er 是 V 的一個(gè)規(guī)范間V( V Rn ) 的一個(gè)基, 如果 e1 , , er 兩兩正交,定義 3 設(shè) n 維向量 e1 , e2 , , er 是向量空則稱 a1, a2 , , ar 是 V 的一個(gè)正交基.( V Rn )的一個(gè)基, 如果 a1 , a2 , , ar 兩兩正交,五、正交基與規(guī)范正交基 例 2 設(shè)是例 1 中所求正交向量組, 試求 R4 的一個(gè)規(guī)范正交基. 2. 用規(guī)范正交基表示向量即 ki = eiT a = a, ei.得 eiT a = kieiTei = ki ,為求其中的系數(shù) ki ( i = 1, ,

6、 r), 用 eiT 左乘上式, a = k1e1 + k2 e2 + + krer .示, 設(shè)表示式為么 V 中任一向量 a 應(yīng)能由 e1 , e2 , , er 線 性 表 若 e1 , e2 , , er 是 V 的一個(gè)規(guī)范正交基, 那 例 3 設(shè)是 R4 的一個(gè)規(guī)范正交基 , 試用 e1, e2 , e3 , e4 表示 3. 規(guī)范正交基的求法 設(shè) a1 , a2 , , ar 是向量空間 V 的一個(gè)基, 要正交化: 我們可以用以下方法把 a1 , a2 , , ar 規(guī)范 , ar 這個(gè)基規(guī)范正交化.a1 , a2 , , ar 等價(jià). 這樣一個(gè)問(wèn)題, 稱為把 a1 , a2 ,正交

7、的單位向量 e1 , e2 , , er , 使 e1 , e2 , , er 與求 V 的一個(gè)規(guī)范正交基. 這也就是要找一組兩兩取 b1 = a1 ;容易驗(yàn)證 b1 , , br 兩兩正交, 且 b1 , , br 與 然后只要把它們單位化, 即取a1 , , ar 等價(jià).就得 V 的一個(gè)規(guī)范正交基.bk 與 a1 , , ak 等價(jià).等價(jià), 還滿足對(duì)任何 k (1 k r), 向量組 b1 , ,正交化過(guò)程. 它不僅滿足 b1 , , br 與 a1, , ar向量組 b1 , , br 的過(guò)程稱為施密特(Schimidt)上述從線性無(wú)關(guān)向量組 a1 , , ar 導(dǎo)出正交 綜上所述, 求

8、向量空間 V 的一個(gè)規(guī)范正交基 的 一個(gè)規(guī)范正交基.步驟 3 : 把 正交基 b1 , , br 單位化即得 V正交化, 得正交基 b1 , , br ; 步驟 2 : 用施密特正交化過(guò)程把 a1 , , ar 步驟 1 : 求 V 的任意一個(gè)基 a1 , , ar;可歸為以下三步: 例 4 設(shè)試用施密特正交化過(guò)程把這組向量規(guī)范正交化.例 5 已知求一組非零向量a2 , a3 使 a1 , a2 , a3 兩兩正交. 1. 定義 定義 4 設(shè) A 為 n 階實(shí)矩陣, 且 ATA = E , 都是正交矩陣.則稱 A 為正交矩陣. 例如六、正交矩陣 2. 正交矩陣的性質(zhì) (1) 若矩陣 A 為正交

9、矩陣, 則 行(列)向量組是兩兩正交的單位向量組. (3) 實(shí)矩陣 A 為正交矩陣的充要條件是 A 的 AT = A-1 ; (2) 實(shí)矩陣 A 為正交矩陣的充要條件是 |A| = ; 證明從略.陣, 則它們的乘積矩陣 AB 也是正交矩陣. 定理 若矩陣 A 與矩陣 B 是同階的正交矩 例 6 設(shè) A 為三階非零實(shí)矩陣, 且 aij = Aij . 其中 Aij 是 aij 的代數(shù)余子式, i , j = 1, 2, 3. 證明 : |A| = 1, 且 A 是正交矩陣. 定義 5 若 P 為正交矩陣，則線性變換 | x | 表示向量的長(zhǎng)度，相當(dāng)于線段的長(zhǎng)度. 設(shè) y = Px 為正交變換，則

10、有y = Px 稱為正交變換.這是正交變換的優(yōu)良特性.| y | = | x | 說(shuō)明經(jīng)正交變換線段長(zhǎng)度保持不變，七、正交變換本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)