自動控制理論：4第四章 根軌跡法-02

1、2022/7/13 可見，根軌跡圖全面地描述了參數(shù)K1對閉環(huán)特征根分布的影響。 定義：當(dāng)系統(tǒng)中某一參數(shù)(一般以增益為變化參數(shù))發(fā)生變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根在s平面上描繪的曲線稱系統(tǒng)的根軌跡。 圖4-2 二階系統(tǒng)的根軌跡2022/7/13利用根軌跡，可對系統(tǒng)動態(tài)特性進(jìn)行下述分析：（1）判斷該系統(tǒng)在K1從0到變化時的穩(wěn)定性；（穩(wěn)）（2）判斷系統(tǒng)在K1從0到變化時根軌跡的條數(shù)；（3）判斷該系統(tǒng)在K1取值任何范圍時處于過阻尼、 臨界阻尼和欠阻尼狀態(tài)； （4）判斷系統(tǒng)的“型”，從而計算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性；（準(zhǔn)） （5）當(dāng)K1值確定后，在根軌跡上找到閉環(huán)極點，從而計算系統(tǒng)閉環(huán)性能指標(biāo)；或反之。（快） 2022/7

2、/13一、繪制根軌跡的基本條件 討論圖4-3所示系統(tǒng) ，特征方程為 1G(s)H(S)=0 或 G(S)H(S)=-1 根據(jù)復(fù)數(shù)等式兩邊的幅值和相角應(yīng)分別相等的原則，可得繪制系統(tǒng)根軌跡的基本條件，即： 幅值條件： 相角條件： 2022/7/13二、繪制根軌跡的基本規(guī)則 規(guī)則1：根軌跡的分支數(shù)和對稱性。 根軌跡的分支數(shù)等于特征方程的階數(shù)n；根軌跡對稱于實軸。 規(guī)則2：根軌跡的起點與終點。 起始點： K1=0時的閉環(huán)極點，即系統(tǒng)的開環(huán)極點。 起始點與終止點個數(shù)相等，均為n； 終止點：（1）有限值終止點：當(dāng)K1時，有m條分支趨向開環(huán)零點； （2）無限遠(yuǎn)終止點：當(dāng)K1時， 有n-m條分支趨向無窮遠(yuǎn)處,

3、需要確定其方位和走向。 2022/7/13 規(guī)則3: 實軸上的根軌跡。 實軸上某線段右邊的實零點和實極點總數(shù)為奇數(shù)時，這些線段就是根軌跡的一部分。如圖4-5所示。 圖4-5 實軸上的根軌跡證明：s1左邊每個開環(huán)極點或零點提供的相角為0， s1右邊每個開環(huán)極點或零點提供的相角為180，每對共軛極點和零點提供的相角之和為0或360，互相抵消。故，只有其右邊開環(huán)零點、極點的總數(shù)為奇數(shù)的實軸線段才滿足相角條件。2022/7/13 規(guī)則4:根軌跡的漸近線。 當(dāng)系統(tǒng)的根軌跡增益K1時，趨向無窮遠(yuǎn)處的根軌跡共有n-m條，它們趨向無窮遠(yuǎn)處的方位可由漸近線決定。（1）漸近線與實軸的傾角為：（2）漸近線與實軸的交

4、點坐標(biāo)(稱形心)為：（證明略）2022/7/13規(guī)則5：根軌跡的分離點、會合點和分離角。 幾條根軌跡在s平面上相遇后又分開的點稱為根軌跡的分離點（或會合點）。分離點在兩極點之間，會合點在兩零點之間。分離點(會合點)是閉環(huán)特征方程的重根點，在 的變化過程中，分離點(會合點)是 取得極大值或極小值的點， 在特征方程中，將 用s及其各次冪的形式表達(dá)出來，再根據(jù)求極值的方法尋找分離點(會合點)處的s值，即分離點與會合點必須滿足方程: 上述方程是求取分離點或會合點的必要條件，是否確實為分離點或會合點，需要用相角條件進(jìn)行判斷。分離點或會合點可能在s平面上任何一點2022/7/13規(guī)則6：根軌跡的出射角和入

5、射角。 根軌跡從開環(huán)復(fù)數(shù)極點出發(fā)的角度（出射點的切線與實軸正方向的夾角）稱為出射角； 進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點的角度（入射點的切線與實軸正方向的夾角）稱為入射角。 (出射角對應(yīng)于復(fù)極點，入射角對應(yīng)于復(fù)零點)。出射角：入射角：2022/7/13其中： 為其它開環(huán)零點、極點對出射點或入射點提供的相角，即：說明：如圖4-11所示為已知系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布，可說明出射角的求取。在根軌跡上靠近起點P1較近處取一點S1,顯然滿足相角條件，有2022/7/13當(dāng)S1無限趨近于P1點時， 即為P1點的出射角 ，一般情況下，開環(huán)復(fù)數(shù)極點Pk的出射角為：圖4-11 出射角的確定2022/7/13用同樣的方法可以確入射角2

6、022/7/13規(guī)則7：根軌跡與虛軸的交點。在根軌跡與虛軸的交點處，存在系統(tǒng)的純虛根，實際上是系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定點。通常用以下兩種根軌跡與虛軸交點。（1）復(fù)數(shù)相等方法（2）勞斯判據(jù)法2022/7/13【例4-6】已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下： 試求系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點。 解：2022/7/132022/7/13規(guī)則8（補(bǔ)充）：閉環(huán)極點的和與積。根據(jù)代數(shù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系 閉環(huán)極點之和： 閉環(huán)極點之積：為系統(tǒng)特征方程的系數(shù)2022/7/13特別地，當(dāng)n-m2時，有: 即閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和。 這些表明在開環(huán)極點確定的情況下，隨著K1的變化，若有一些閉環(huán)特征根增大，則另一些特征根必然減小。即一

7、些根軌跡右行時，另一些根軌跡必左行。2022/7/13【例4-7】已知與開環(huán)傳遞函數(shù)為 其根軌跡與虛軸的交點為s1,2= j1.414,試求交點處的臨界K1值及第三個特征根。解：系統(tǒng)的特征方程為： 由閉環(huán)極點之和公式易得 s1+s2+s3=j1.414-j1.414+s3=-a1=-3,所以：s3=-3 由閉環(huán)極點之積公式易得 s1s2s3=an=K1=62022/7/13【例4-8】已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試?yán)L制K1變化時的根軌跡。解：按以下步驟繪制系統(tǒng)的根軌跡：（1）開環(huán)極點為p1=0，p2=-3， p1=-1j,無開環(huán)零點；（2）根軌跡分支數(shù)n=4條；（3）在實軸上-3，0之

8、間為根軌跡段；（4）漸近線,n-m=4條：2022/7/13（5）由特征方程求分離點 利用根軌跡的幅值條件可求得對應(yīng)于分離點s1=-2.3的K1值為4.33。（6）求出射角根據(jù)對稱性可知：p4 =71.6解得s1=-2.3，s2,3=0.725j0.365。經(jīng)檢驗s1為分離點。分離角為90o。 2022/7/13（7）求根軌跡與虛軸的交點。 由特征方程 并列出勞斯表：令勞斯表中S1行的首項為零，求得 K1=8.16。根據(jù)表中S2行的系數(shù)寫出輔助方程: 令s=j，K1=8.16代入上式，求得=1.1。根軌跡的兩條分支與虛軸交于=j1.1處對應(yīng)的K1=8.16。2022/7/13圖4-12 例4-

9、8的根軌跡圖最后，得到系統(tǒng)的根軌跡如圖4-10所示-2.3-1.25j0.7-0.4j1.1繪制的根軌跡圖如下：2022/7/13用Matlab繪制根軌跡： n=1; d=conv(1,3,1,2,2),0; g=tf(n,d); rlocus(g)圖4-13 例4-8的根軌跡圖Matlab繪制在繪制過程中，切忌“想當(dāng)然”，即便是零、極點的相對位置不變，數(shù)值大小的變化也會影響根軌跡的形狀。請看下例：2022/7/132022/7/13繪制根軌跡的大概步驟2022/7/132022/7/132022/7/13四、利用根軌跡分析系統(tǒng)性能1、暫態(tài)性能分析2022/7/132022/7/132022/

10、7/132、增加開環(huán)零點： 增加合適的開環(huán)零點使根軌跡向s平面左方彎曲或移動，可以減小系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時間，改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。 如果選擇不合適，則于系統(tǒng)性能改善無益。 一般先根據(jù)性能指標(biāo)要求確定閉環(huán)極點的位置，再選擇增加合適的開環(huán)零點2022/7/13例、設(shè)二階系統(tǒng)的開環(huán)傳函為：增加零點后的傳函為：分析其性能的變化解：變化前的根軌跡如右圖，當(dāng)增益K1大于0.25以后，根軌跡沿著與虛軸距離0.5的一條平行線向上向下移動。無論怎樣選擇增益K1，閉環(huán)極點離虛軸的距離都較近，影響系統(tǒng)的快速性（調(diào)整時間）2022/7/13增加零點z=-2，根軌跡向左彎曲，選擇合適的K1，如圖中的s2，即可使閉環(huán)極點離虛軸有一定的距離保證快速性，又可以使 角較?。?較大），以降低超調(diào)量2022/7/13增加零點z=-0.5，無論如何選擇的K1，閉環(huán)極點總是兩個實極點，主導(dǎo)極點離虛軸的距離在0-0.5之間，使得系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間不可能縮短。2022/7/133、增加開環(huán)極點： 增加開環(huán)極點使根軌跡向s平面右方彎曲或移動，所增加的極點的模值越小，即離虛軸越近，根軌跡向s平面右方彎曲或移動越明顯，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響越大。例、設(shè)二階系統(tǒng)的開環(huán)傳函為：分別增加極點-6，-2和-0.5，分