四邊形知識結(jié)構(gòu)和復習要點八年級下冊人教版數(shù)學

1、四邊形知識結(jié)構(gòu)和復習要點八年級下冊人教版數(shù)學一.知識結(jié)構(gòu)一、矩形的性質(zhì)1.四個角都是直角二、矩形的判定1.有一個直角的平行四邊形2.對角線相等3.S=ab3.有三個直角的四邊形2.對角線相等的平行四邊形三、菱形的性質(zhì)1.四個邊相等四、菱形的判定1.有一組鄰邊相等的平行四邊形 2.對角線互相垂直,每條對角線平分一組對角。3.四邊相等的四邊形2.對角線垂直的平行四邊形五、正方形的性質(zhì)1.四邊相等,四個角都是直角六、正方形的判定1.先證它是矩形,再證它還是菱形 2.對角線相等、垂直、平分,每條對角線平分一組對角。3.對角線相等+垂直+平分2.先證它是菱形,再證它還是矩形七、對稱性 它們都既是中心對稱

2、圖形,又是軸對稱圖形.對稱軸如下:八、直角三角形斜邊的中線 直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半.二.典例精析例1 下列語句：有三個角相等的四邊形是矩形，四邊相等的四邊形是正方形，一組鄰邊相等的四邊形是菱形，一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形。其中敘述錯誤的是（ ） (B) (C) (D) D例2 下列說法不正確的是( )(A)一組鄰邊相等的矩形是正方形(B)對角線相等的菱形是正方形(C)對角線互相垂直的矩形是正方形(D)有一個角是直角的平行四邊形是正方形D例3 在ABC中,點E、D、F分別在邊AB、BC、CA上，且DECA，DFBA。下列四種說法中正確的有 。(A)四邊形AEDF

3、是平行四邊形 (B)如果BAC=90，那么四邊形AEDF是矩形 (C)如果AD平分BAC，那么四邊形AEDF是菱形 (D)如果ADBC，且AB=AC，那么四邊形AEDF是菱形A、B、C、DABCDEF 例1 矩形的一個角的平行線分矩形的一邊為1cm和3cm兩部分，求矩形的面積。ABCDEABCDE解:若AE=1,則ED=3. ABCD為矩形,ADBC,AEB=EBC,BE是角平分線,AEB=ABEAB=AE=1,S=ABBC=14=4若AE=3,則S=12例1 已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列條件：AC=BD；AB=AD；1=2； ABBC。其中能說明 ABCD是矩形的有 。1ABCD2

4、例2 菱形的周長為24，一條對角線長為8，求菱形的面積。46ODABC解:菱形的周長為24,AB=244=6若AC=8,則AO=4,ACBD, 練2 菱形的周長為24,兩鄰角的比為1:2,求對角線的長。630ODABC解:菱形的周長為24,AB=244=6BAD:ABC=1:2BAD+ABC=180ABC=60ABO=30AO=3,AC=6, 例3 矩形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,AEBD,垂足為E,若DAE=2BAE,求EAC的度數(shù)解:設BAE=x,則DAE=2xAEBD,AC=BD,AO=DO,例11 矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，APBD，DPAC，AP、DP相交

5、于點P。則四邊形AODP是什么樣的特殊四邊形？并說明你的理由。ABPCDO1.先證AO=DO2.再證四邊形AODP是平行四邊形3.根據(jù)定義證四邊形AODP是菱形 例4 ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的高，AE是ABC的外角平分線,DEAB.求證:四邊形ADCE是矩形。證:AD是高,ADC=90AB=AC,B=ACBFAC=B+ACB=2BAE是外角平分線,2FAE=2B,FAE=BAEBCADC=90AB=AC,AD是高,AE=BD, AEBC,DEAB,四邊形ABDE是平行四邊形,BD=DC,AE=DC,四邊形ADCE是平行四邊形,四邊形ADCE是矩形. 例5 菱形ABCD中,E、F分

6、別是BC、CD上的點,B=EAF=600,若BAE=200,求CEF的度數(shù)。解:ABCD是菱形,BA=BC1=2ABC是等邊三角形連結(jié)AC,B=60,BAC=60,EAF=60,321ADCBEF321ADCBEFB=60BCD=1204AC平分對角,4=60ABC是等邊三角形AB=AC在ABE與ACF中,B=41=2B=4AB=AC321ADCBEF4 ABEACFAE=AF,AEC=B+1EAF=60AEF是等邊三角形CEF=20AEC=AEF+CEFB+1=AEF+CEFAEF=60例10 如圖，ADFE，點B、C在AD上，1= 2，BF=BC。求證：四邊形BCEF是菱形。AEBCDF2

7、13證明： ADFE 3=2 1=2 1=3 BF=EF BF=BC EF=BCAEBCDF213 四邊形BCEF是平行四邊形 ADFE BF=BC 四邊形BCEF是菱形(2)若AB=BC=CD，求證：ACFBDEAEBCDF213證明： ADFE，EF=BC，AB=BC ABFE，EF=AB 四邊形ABEF是平行四邊形 AF=BF(2)若AB=BC=CD，求證：ACFBDEAEBCDF213同理，四邊形ABEF是平行四邊形 FC=ED AB=BC=CD AC=BD ACFBDE (SSS) 例6 如圖,正方形ABCD中,E是AC上一點, AGEB,求證:OE=OF證:ABCD是正方形,AO=

8、BO,AOF=BOE=90AGBE,BOAC1+3=902+3=901=2在AOF與BOE中AOF=BOE1=2AO=BOAOFBOEOF=OE方法提示: 本題運用了正方形對角線互相垂直平分等重要性質(zhì), 但觀察出兩直角三角形全等才是關(guān)鍵. 練6 如圖,點E在AC的延長線上,AG垂直于BE,垂足在EB的延長線上,OE=OF？答:依然成立.先證E=F,再證全等.例10 在ABC中，A=45，ACB=90 EF垂直平分BC交BC于D，交AB于E，且CF=BE四邊形BECF是正方形嗎？請說明你的理由ABCDEF解：四邊形BECF是正方形 EF垂直平分BC BE=CE，BF=CF BE=CF BE=CE

9、=BF=CF 四邊形BECF是菱形ABCDEF12A=45 1=45 四邊形BECF是菱形ACB=90 2=1=45 2+1=90 EBF=90 四邊形BECF是正方形 例7 如圖,BD、CE是高,G、F分別是BC、DE的中點,試說明：FGDE證:連EG、DG.在BCD中,BD是高,G是BC中點,DG=EG,DGE等腰.F是DE中點,FGDE 練7 如圖,等腰梯形ABCD中,M是BC的中點,ABCD,AOB=60,E、F分別是OD、OA的中點.求證：EFM是等邊三角形。1、證AC=BD，進而可證ABD、BAC全等；2、由ABD= BAC，推OA=OB，OC=OD；3、等邊OCD、 OAB；4、

10、M為中點，中線EM=FM；5、EF為中位線，為BC一半MFEOCDAB 例8 將長方形ABCD沿直線BD折疊,使點C落在點C處,BC交AD于E,AD=8,AB=4,求BED的面積。321ECDABC解:BCD沿BD折疊得BCD1=2ABCD是矩形,ADBC1=32=3設BE=X,得DE=x,AE=8-x321ECDABCDE=BEABCD是矩形,A=90 練8 長方形ABCD中,AB=3,BC=4,若將矩形折疊,使C點與A點重合,求折痕EF的長。3、EF是折痕，AC被EF垂直平分，在RtAEO中求1、在RtABC中求AC=52、設BE=x，得EC=4-X，得AE=4-x，在RtABE中用勾股定

11、理求x4-x4-xODDABCEF 例9 用不同的方法將矩形ABCD分成面積相等的兩部分。你能將矩形分成面積相等的四等分嗎？三等分矩形面積，你會嗎？ 例10 你能用一條直線把這塊地分成面積相等的兩部分嗎？請說明你的道理。 例11 在四邊形ABCD中,對角線BD、AC交于點O,從下列六個條件中,選取三個推出四邊形ABCD是菱形。答案：125、126、345、346(1)AB=CD (2)ABCD (3)OA=OC(4)OB=OD (5)ACBD (6)AC平分BAD 練11 在四邊形ABCD中,ADBC,對角線AC、BD相交于O,若要使四邊形ABCD為菱形,還要添加什么條件？2.AD=BC，AB

12、=AD1.ABCD，AB=AD3.ABD=BDC,AB=AD解:有三種添法 例12 在ABC中,AD是BAC的平分線, DEAC,DFAB,AD、EF互相垂直嗎？說說你的理由。2.證2=3思路提示:1.證1=24.證AEDF是平行四邊形3.由1=3得AE=DE5.證AEDF是菱形三.拓展加深 例13 如圖, 動點Q、H、E、F分別從正方形ABCD的頂點A、B、C、D同時出發(fā)沿著AB、BC、CD、DA向B、C、D、A移動,移動速度相同.(1)求證：四邊形QHEF是正方形.解:ABCD為正方形,AB=BC=CD=DAAG=BH=CE=DFGB=HC=ED=FAA=B=C=DAGFBHGCEHDFE

13、GH=HE=EF=FG四邊形GHEF為菱形.1=32+3=901+2=90FGH=90四邊形GHEF為正方形. (2)QE是否總過某一定點，并說明理由.O解:連AC,GE. ABCDAGCEAG=CE四邊形AGCE為平行四邊形.AC,GE交于中點.GE必過AC的中點. (3)四邊形QHEF的頂點位于何處時其面積最大?最小?其值各是多少?解:設AG=x,AB=a,則AF=a-x. 當x=0或x=a時,四邊形GHEF就是正方形ABCD.故 例14 在ABC中,ACB=90,DE為中位線,在DE的延長線上取點F,使AF=CE.(1)四邊形ACEF是什么四邊形?132解:ACB=90,E為中點AE=CE,AF=CE,AE=AF,1=23=F,132EF=AC,EFACACEF為平行四邊形.1=2=3=F,AE公共,FEACAEDE為中位線,EFAC2=3 (2)當B的大小滿足什么條件時,四邊形ACEF是菱形?132解:B=30時,結(jié)論成立.B=302=60ACE等邊同理,ACE等邊AE公共,AC=CE=EF=FA,ACEF為菱形. (3)四邊形ACEF有可能是正方形嗎?132解:不可