高一數(shù)學(xué)專(zhuān)題向量的概念及表示

1、2022/7/14高一數(shù)學(xué)專(zhuān)題向量的概念及表示*2022/7/14請(qǐng)問(wèn)：金錢(qián)豹 能追上小狗嗎？為什么？問(wèn) 題 情 境：金錢(qián)豹以5m/s的速度追趕一只以2m/s逃跑的小狗2022/7/14 由于大陸和臺(tái)灣沒(méi)有直航，因此2006年春節(jié)探親，乘飛機(jī)要先從臺(tái)北到香港，再?gòu)南愀鄣缴虾?，這里發(fā)生了兩次位移。 臺(tái)北香港上海問(wèn) 題 情 境：位移和距離這兩個(gè)量有什么不同？2022/7/14F=20NV =20km/h （2）（3）都是有大小和方向的量m=20kg(1)(2)(3)觀(guān)察下述三個(gè)量有什么區(qū)別？合作探究：2022/7/14二、向量的表示方法A也可以表示： a b c d .a一、向量的定義既有大小又有

2、方向的量向量的模大小記為a幾何表示向量常用有向線(xiàn)段表示：有向線(xiàn)段的 長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的向量記為：。 大小記著：AB向量的長(zhǎng)度2022/7/14我們現(xiàn)在研究的向量，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，用有向線(xiàn)段表示向量時(shí)，起點(diǎn)可以取任意位置。所以數(shù)學(xué)中的向量也叫 自由向量如圖：他們都表示同一個(gè)向量。不是，溫度只有大小，沒(méi)有方向。不是，方向不同1、溫度有零上和零下之分，溫度是向量嗎？為 什么？2、向量 AB 和 BA 同一個(gè)向量嗎？為什么？aa說(shuō)明1：小試牛刀2022/7/14有向線(xiàn)段與向量的區(qū)別：有向線(xiàn)段：有固定起點(diǎn)、大小、方向向量：可選任意點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)、有大小

3、、有方向。ABCDABCD有向線(xiàn)段AB、CD是不同的。向量 AB、CD 是同一個(gè)向量。說(shuō)明2：2022/7/141、零向量2、單位向量單位向量大小為1，方向 不一定相同。所以 0 向量只有一個(gè)，而單位向量可以有無(wú)數(shù)個(gè) 0 向量大小為0，方向不確定的。可以是任意方向：長(zhǎng)度為 0 的向量。記作 0：長(zhǎng)度為 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的向量。說(shuō)明3：兩個(gè)特殊向量思考：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，起點(diǎn)在原點(diǎn)的單位向量， 它們的終點(diǎn)的軌跡是什么圖形？2022/7/14三：向量之間的關(guān)系3.平行向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量我們規(guī)定零向量與任一向量平行兩向量的平行與平面幾何里兩線(xiàn)段的平行有什么區(qū)別？2022/

4、7/144.相等向量的定義：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量相反向量的定義：三：向量之間的關(guān)系A(chǔ)BDC2022/7/14任意一組平行向量都可以平移到同一直線(xiàn)上三：向量之間的關(guān)系5.共線(xiàn)向量與平行向量的關(guān)系：平行向量就是共線(xiàn)向量?jī)上蛄康墓簿€(xiàn)與平面幾何里兩線(xiàn)段的共線(xiàn)是否一樣？ 為什么？說(shuō)明：在平行向量、共線(xiàn)向量、相等向量的概念中應(yīng)注意零向量的特殊性2022/7/14例1：已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在圖中所標(biāo)出的向量中：解：DOAFEBC2022/7/14AB分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量，例2：在圖中的45方格紙中有一個(gè)向量（1）其中與相等的向量有多少個(gè)？（2）與長(zhǎng)度相等的共線(xiàn)向量有多少個(gè)？

5、2022/7/14合作探究：共有2種不同的模共有8種不同的向量2022/7/14若改為12的方格紙中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有向量中，可得到多少種不同的模？多少種不同的向量呢？變式訓(xùn)練共有4種不同的模共有14種不同的向量2022/7/14題：題：123456789101112題：歡迎來(lái)到：過(guò)關(guān)競(jìng)技場(chǎng)2022/7/14練習(xí)：1、單位向量是否一定相等？2、單位向量的大小是否一定相等？BACK不一定一定2022/7/14練習(xí)：1、平行向量是否一定方向相同？2、不相等的向量一定不平行嗎？BACK不一定不一定2022/7/14BACK練習(xí)1、與零向量相等的向量一定是什么向量？2、與任意向量都平行的向量是什

6、么向量？零向量零向量2022/7/14BACK練習(xí)1、若兩個(gè)向量在同一直線(xiàn)上，則這兩個(gè) 向量是什么向量？2、共線(xiàn)向量一定在一條直線(xiàn)上嗎？共線(xiàn)向量 或者說(shuō)平行向量不一定2022/7/14BACK練習(xí)：在質(zhì)量、重力、速度、加速度、身高、面積、體積這些量中，哪些是數(shù)量？哪些是向量？數(shù)量有：質(zhì)量、身高、面積、體積向量有：重力、速度、加速度2022/7/14在下列結(jié)論中，哪些是正確的？（1）如果兩個(gè)向量相等，那么它們的起點(diǎn)和終 點(diǎn)分別重合；（2）模相等的兩個(gè)平行向量是相等的向量；（3）如果兩個(gè)向量是單位向量，那么它們相等；（4）兩個(gè)相等向量的模相等。正確的有：（4）2022/7/14練習(xí):1.設(shè)O為正A

7、BC的中心,則向量AO,BO,CO是 ( ) A.相等向量 B.模相等的向量 C.共線(xiàn)向量 D.共起點(diǎn)的向量 BABCO2022/7/14BACK練習(xí):命題：“a=b”成立，則“ a = b ”一定成 立2022/7/14BACK練習(xí)： 1.已知a、b為不共線(xiàn)的非零向量,且存在向量 c,使 c a, c b, 則 c =_02022/7/14BACK練習(xí)： 1.與非零向量 a 平行的向量中，不相等的單位向量有_個(gè).2 2022/7/14練習(xí)：如圖,EF是ABC的中位線(xiàn),AD是BC 邊上的中 線(xiàn),在以A、B、C、D、E、F為端點(diǎn)的有向線(xiàn) 段表示的向量中請(qǐng)分別寫(xiě)出（1）與向量CD共線(xiàn)的向量有_個(gè),

8、分別是_；（2）與向量DF的模一定相等的向量有_個(gè),分別是_；（3）與向量DE相等的向量有_個(gè),分別是_。 ABCDEFBACK7DC,DB,BD,FE,EF, CB, BC5FD,EB,BE,EA,AE2CF, FA2022/7/14如圖,D、E、F分別是ABC各邊上的中點(diǎn)，四邊形BCMF是平行四邊形，請(qǐng)分別寫(xiě)出： （1）與ED相等的向量； （2）與ED共線(xiàn)的向量；（3）與FE相等的向量；（4）與FE共線(xiàn)的向量。ABCDFEMBACK(1) 3個(gè)(2) 9個(gè)(3) 3個(gè)(4) 11個(gè)2022/7/14課堂小結(jié)向量向量的大?。＃┫蛄康姆较蛳蛄康谋硎玖阆蛄繂挝幌蛄科叫邢蛄浚ü簿€(xiàn)向量）2022/

9、7/14向量最初被應(yīng)用于物理學(xué)，被稱(chēng)為矢量很多物理量，如力、速度、位移、電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度等都是向量。大約公元前年，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示為向量向量一詞來(lái)自力學(xué)、解析幾何中的有向線(xiàn)段。最先使用有向線(xiàn)段表示向量的是英國(guó)大科學(xué)家牛頓。課堂小結(jié)向量及向量符號(hào)的由來(lái)2022/7/14空間向量及其運(yùn)算2022/7/14復(fù)習(xí)回顧：平面向量1、定義：既有大小又有方向的量。幾何表示法:用有向線(xiàn)段表示字母表示法：用小寫(xiě)字母表示，或者用表示向量的有向線(xiàn)段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示。相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量ABCD2022/7/142、平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算向量加法的三角形法則ab向

10、量加法的平行四邊形法則ba向量減法的三角形法則aba ba ba (k0)ka (k0)ka (k0)k空間向量的數(shù)乘空間向量的加減法2022/7/14ababOABb結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線(xiàn)段表示。因此凡是涉及空間任意兩個(gè)向量的問(wèn)題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們。思考：它們確定的平面是否唯一？思考：空間任意兩個(gè)向量是否可能異面？2022/7/14平面向量概念加法減法數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算律定義表示法相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算空間向量具有大小和方向的量數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零加法交換律加法結(jié)合律

11、數(shù)乘分配律加法交換律數(shù)乘分配律加法:三角形法則或平行四邊形法則減法:三角形法則數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零加法結(jié)合律成立嗎？2022/7/14abcOBCab+abcOBCbc+(平面向量)向量加法結(jié)合律在空間中仍成立嗎?ab+c+()ab+c+()AA( a + b )+ c = a +( b + c )2022/7/14abcOABCab+abcOABCbc+(空間向量)ab+c+()ab+c+()( a + b )+ c = a +( b + c )向量加法結(jié)合律：空間中2022/7/14推廣:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量；（2）首尾相接的

12、若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量。2022/7/14平面向量概念加法減法數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算律定義表示法相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量具有大小和方向的量數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零加法交換律加法結(jié)合律數(shù)乘分配律小結(jié)加法交換律數(shù)乘分配律加法結(jié)合律類(lèi)比思想 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零2022/7/14例如:定義: 我們知道平面向量還有數(shù)乘運(yùn)算. 類(lèi)似地,同樣可以定義空間向量的數(shù)乘運(yùn)算,其運(yùn)算律是否也與平面向量完全相同呢?2022/7/14 顯然,空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足分配律及結(jié)合律2022/7/142022/7/14例1：已知平行六面體AB

13、CD-A1B1C1D1，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量。(如圖)ABCDA1B1C1D12022/7/14ABCDABCDA1B1C1D1ABCDa平行六面體：平行四邊形ABCD平移向量 到A1B1C1D1的軌跡所形成的幾何體.a記做ABCD-A1B1C1D12022/7/14例1：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量。(如圖)ABCDA1B1C1D1GM 始點(diǎn)相同的三個(gè)不共面向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)所示向量2022/7/14F1F2F1=10NF2=15NF3=15NF32022/7/14例2：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿(mǎn)足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D12022/7/14例2：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿(mǎn)足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D12022/7/14例2：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿(mǎn)足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D12022/7/14例2：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿(mǎn)足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D12022/7/14ABMCGD練習(xí)1在空間四邊形ABCD中,點(diǎn)M、G分別是BC、CD邊的中點(diǎn),化簡(jiǎn)2022/7/1