工程力學(xué)-桿件的拉壓

1、2 桿件的拉伸與壓縮1、本章主要介紹軸向拉伸和壓縮時的重要概念：內(nèi)力（軸力）、應(yīng)力、變形和應(yīng)變、變形能等。軸向拉伸和壓縮的應(yīng)力、變形和應(yīng)變的基本公式是： 正應(yīng)力公式 胡克定律 ，胡克定律是揭示在比例極限內(nèi)應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系，它是材料力學(xué)最基本的定律之一，虎克定律的適用條件為材料不超過比例極限，即材料處于線性彈性范圍。平面假設(shè)：變形前后橫截面保持為平面，而且仍垂直于桿件的軸線。斜截面上的應(yīng)力正應(yīng)力 切應(yīng)力 2、材料的力學(xué)性能的研究是解決強度和剛度問題的一個重要方面。對于材料力學(xué)性能的研究一般是通過實驗方法，其中拉伸試驗是最主要、最基本的一種試驗。低碳鋼的拉伸試驗是一個典型的試驗。它可得到如下試驗資

2、料和性能指標(biāo)： 拉伸全過程的曲線和試件破壞斷口； 材料的強度指標(biāo)材料的塑性指標(biāo) 其中-材料抵抗彈性變形能力的指標(biāo)；某些合金材料的-名義屈服極限等測定有專門拉伸試驗。3、工程中一般把材料分為塑性材料和脆性材料。塑性材料的強度特征是屈服極限和強度極限（或），而脆性材料只有一個強度指標(biāo)，強度極限。4、強度計算是材料力學(xué)研究的重要問題。軸向拉伸和壓縮時，構(gòu)件的強度條件是它是進(jìn)行強度校核、選定截面尺寸和確定許可載荷的依據(jù)。5、通過本章應(yīng)初步掌握拉壓超靜定問題的特點及解法。解題范例 2.1 在圖2.1所示的簡易吊車中，BC為鋼桿，AB為木桿。木桿AB的橫截面面積，許用應(yīng)力；鋼桿BC的橫截面面積，許用應(yīng)力，

3、試求許可吊重P。圖2.1NBC（b）P鋼木BNAB30CAPB鋼木30（a）解 B鉸鏈的受力如圖2.1（b）所示，由平衡條件得：可解得，利用鋼桿的強度條件故由于 所以按鋼桿的強度要求確定許可吊重。由木桿的強度條件故 因，按木桿的強度要求確定許可吊重比較確定吊車的許可吊重 2.2 圖2.2所示的拉桿沿斜截面m-m由兩部分膠合而成。設(shè)在膠合面上許用拉應(yīng)力，許用切應(yīng)力。并設(shè)由膠合面的強度控制桿件的拉力。試問：為使桿件承受最大拉力N，角的值應(yīng)為多少？若桿件橫截面面積為，并規(guī)定，試確定許可荷載P。P圖2.2 Pmm解由和比較得故,所以時，桿件承受得拉力最大，其值為：2.3 變截面直桿如圖2.3（a）所示

4、。已知桿的面積為，求桿的總伸長。圖2.3200200ABC40kN60kN20kNA2A1（a）NxABC（b）解 變截面直桿的軸力如圖2.3（b）所示，,各段的伸長分別是 , 則總的伸長量 2.4 如圖2.4（a）所示，象礦山升降機鋼纜這類很長的拉桿，應(yīng)考慮其自重的影響。設(shè)材料單位體積的質(zhì)量為，許用應(yīng)力為。若鋼纜下端所受拉力為P。鋼纜截面不變，求鋼纜的允許長度及其總伸長。解 鋼纜任意橫截面上的軸力為。如圖2.4（b）所示。設(shè)鋼纜在自重和拉力P作用下，不被拉斷的極限長度L，則危險截是鋼纜的上端面。該端面上的軸力為圖2.4Pxdx（a）xPN (x)gxA（b）根據(jù)強度要求，應(yīng)有即從而知鋼纜允許

5、的最大長度為鋼纜的伸長量由虎克定律確定，即2.5 在圖2.5（a）所示結(jié)構(gòu)中，假設(shè)AC梁為剛桿，桿1、2、3的橫截面面積相等，材料相同。試求三桿的軸力。圖2.5PalA12CB（a）3aN1N3N2ABCP（b）解 桿ABC的受力如圖2.4（b）所示，平衡條件為變形幾何關(guān)系如圖所示，變形協(xié)調(diào)方程為 可得 利用虎克定律 聯(lián)立上式解得 習(xí)題解析2.1 畫出圖2.6中各桿軸力圖。解 圖2.6（a）、（b）、（c）、（d）所示的桿的軸力圖見圖（1）、（2）、（3）、（4）所示。NxP（1）P（a）PABC（b）P2PNxPP（2）ABC2kN（3）Nx1kN3kN3kN（c）2kN3kN2kNABCD

6、Nx（4）1kN1kN（d）2kN1kNABC SHAPE * MERGEFORMAT 圖2.62.2 在上題中，若桿的橫截面面積，試求桿內(nèi)最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。解 （1）對于a圖，最大應(yīng)力在AB段，表現(xiàn)為拉力,故（2）對于b圖，在AB段為最大拉應(yīng)力,故；BC段為最大壓應(yīng)力。（3）對于c圖，在CD段表現(xiàn)為最大拉應(yīng)力，；在AB段表現(xiàn)為最大壓應(yīng)力。（4）對于d圖，在AB段表現(xiàn)為最大拉應(yīng)力；在BC段表現(xiàn)為最大壓應(yīng)力 2.3 圖2.7所示的連接螺栓，內(nèi)徑，被連接部分的總長度，擰緊螺栓AB段的伸長量，鋼的彈性模量，泊松比，試計算螺栓橫截面上的正應(yīng)力及螺栓的橫向變形。BA圖2.7 解（1）計算橫截面上的

7、正應(yīng)力，由虎克定律，得出 （2）計算螺栓的橫向變形量。由 可得：2.4 圖2.8示拉桿承受軸向拉力，桿的橫截面面積。如以表示斜截面與橫截面的夾角。試求當(dāng)求：，時各斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力，并用圖表示出來。PP圖2.8 解（1）當(dāng)時橫截面上的正應(yīng)力為當(dāng)0時（2）當(dāng)時，斜截面上的正應(yīng)力、切應(yīng)力分別為P30當(dāng)30時 （3）當(dāng)時，斜截面上的正應(yīng)力、切應(yīng)力分別為P45當(dāng)45時（4）當(dāng)時，斜截面上的正應(yīng)力、切應(yīng)力分別為P60當(dāng)60時（5）當(dāng)時，斜截面上的正應(yīng)力、切應(yīng)力分別為P90當(dāng)90時（6）當(dāng)時，斜截面上的正應(yīng)力、切應(yīng)力分別為2.5 石砌橋墩墩身高，其橫截面尺寸如圖2.9所示。如載荷，材料的容重，求墩身

8、底部橫截面上的壓應(yīng)力。10m3mr=1mr=1m圖2.9 P SHAPE * MERGEFORMAT 解 負(fù)號表示壓應(yīng)力。2.6 如圖2.10，求結(jié)構(gòu)A的垂直位移。已知：，斜撐CD為鋁管，彈性模量，橫截面面積。設(shè)梁AB剛度很大，可視為剛體。A30CDllP1P2圖2.10 B XBAP1P2CNCDYB（a）P30ABCC2A1C1P（b）D解 取梁AB為研究對象，其受力圖如（a）所示，由靜力學(xué)平衡條件有：，求得斜撐CD軸力為：（壓力）斜撐CD的縮短量CC2為，由虎克定律知：AB為剛桿，無伸縮，斜撐CD壓縮變形后和AB仍在C處鉸接，變形后的位置如圖（b）所示。由變形協(xié)調(diào)條件知：又因為 ， 所以

9、2.7 圖2.11示結(jié)構(gòu)中，AC為剛性梁，BD為斜撐桿，載荷P可沿梁AC水平移動。試問：為使斜撐桿質(zhì)量最輕，斜撐桿與梁之間的夾角應(yīng)取何值。圖2.11 ACDlPBlXACPBNDBYA（a）x解 取AC梁為研究對象，受力如圖（a）所示，由平衡條件，解得：斜撐BD達(dá)到許用應(yīng)力時，BD桿的截面面積為體積為由上可見，當(dāng)時，體積最小?；蛘吒鶕?jù)求極值條件，體積V是的函數(shù)，故體積最小時有解得 ，故斜撐與梁之間夾角為45時質(zhì)量最輕。2.8 圖2.12示板件受軸向荷載P200N作用， 試計算互相垂直面AB和BC上的正應(yīng)力、切應(yīng)力以及板內(nèi)最大正應(yīng)力、最大切應(yīng)力。A50C402040PPP100圖2.12 解 對

10、于AB截面上：對于BC截面上：當(dāng) 時，有最大正應(yīng)力：當(dāng) 時，有最大切應(yīng)力：2.9 圖2.12示桁架，桿1、2的橫截面均為圓形，直徑分別為和，兩桿材料相同，許用應(yīng)力，該桁架在節(jié)點A處受載荷P作用，試確定P的最大允許值。ABC4530P12圖2.12 （a）PN13045yxN2解 取節(jié)點A為研究對象，A節(jié)點的受力如圖（a）所示，根據(jù)節(jié)點A的平衡條件，有求得 1、2兩桿的軸力分別為（拉），（拉）由 得：即 可解得而 即有 所以 選、中較小者作為荷載P的最大允許值,即2.10 如圖2.13，斷裂的金屬管，需加套管修理，若套管材料為20號鋼，求套管的外徑D。已知斷裂管子的材料的屈服應(yīng)力，20號鋼套管材

11、料的屈服應(yīng)力。套管PPPDd圖2.13 解 由 對于斷裂的金屬管有 由于NP，可得取P120.81kN為允許的最大荷載。對于鋼套管有即解得所以，鋼套管的外徑D最小應(yīng)取39mm。2.11 一木柱受力如圖2.14所示。柱的橫截面為邊長的正方形，材料可認(rèn)為符合虎克定律，其彈性模量，若不計柱的自重，試求下列各項：（1）作軸力圖；（2）各段柱內(nèi)橫截面上的應(yīng)力（3）各段柱內(nèi)的縱向線應(yīng)變（4）柱的總變形 100kN160kN3m1.5mACB 圖2.14 100kN260kNACBxN（a）解 （1）采用截面法，分別求得AC段和CB段的軸力為，軸力圖如圖（a）所示。（2）由得：（3）（4）（負(fù)號表示軸向壓縮

12、）。2.12 鋼木組合桁架如圖2.15所示，已知，鋼的許用應(yīng)力。試選擇鋼拉桿DI的直徑d。63m4m圖2.15 PPPPPACDEFGBHIJKLmn ACHInmNCDNDINIJXAYAP（a）解 從處截開桁架，以左半部分為研究對象，受力圖如（a）所示，根據(jù)靜力學(xué)平衡條件有：， 求得：（拉）由強度條件可知， ， 由于用作鋼拉桿得圓鋼的最小直徑為10mm，故選用d10mm。2.13 圖2.16示硬鋁試件，在軸向拉力的作用下，測得試驗段伸長，板寬縮短，試計算硬鋁的彈性模量和泊松比。a試驗段lb圖2.16 解（1）由虎克定律得 （2）由， 知即2.14 圖2.17示螺栓，擰緊時產(chǎn)生得軸向變形，試

13、求預(yù)緊力P，并校核螺栓強度。已知，。PACBDd1Pd2d3圖2.17 解 （1）由虎克定律，NP 得 也即解得 （2）強度校核對于l1段： 對于l2段： 對于l3段： 可見，螺栓中段的應(yīng)力略高于許用應(yīng)力，但僅超過許用應(yīng)力的2.8（工程上要求不超過5），故螺栓安全。2.15 圖2.18示結(jié)構(gòu)，AB為剛性梁，桿1、2、3的材料和橫截面面積相同，在梁AB的中點C承受鉛垂方向的載荷P，試求C點的水平和豎向位移。已知，。3AB12CPl圖2.18 解 取剛梁AB為研究對象，其受力情況如圖（a）所示，建立平衡方程ABCPN1N2N3（a）yxACBA1l3l1C1B1A（b） ， ，解得桿1、2、3的軸

14、力分別為（拉），（拉）由虎克定律求得桿1、3的伸長量分別為由于1桿伸長，2桿無伸縮，變形后仍鉸接在一起，由于桿的變形很小，可以用切線代圓弧。過A和A分別作1、2桿的垂線，交點A1可試為點A在加載后的位置，由于AB為剛性梁，變形后的A1、C1和B1仍在一條直線上，且相互之間距離保持不變，如圖（b）所示。故C點的水平和豎直線位移分別為2.16 作圖2.19所示的等直桿的軸力圖。解 此題為一次靜不定問題，設(shè)為約束反力，桿的受力如圖（a）所示。平衡條件為： ， 變形協(xié)調(diào)條件為： 由虎克定律確定AC、CD和BC的伸長量為： ， ， PEAB2Pa2aaDCA圖2.19 BDCA2PP（a）xN（b）代入

15、協(xié)調(diào)方程中得 聯(lián)立和得 ，采用截面法可得各段的軸力分別為：AC段軸力為，BC段軸力為，DB段軸力為，如圖（b）所示 。2.17 圖2.20示結(jié)構(gòu)剛性桿AB左端鉸支，兩根長度、橫截面面積均相同的鋼桿CD和EF使該剛性桿處于水平位置。如已知，兩根鋼桿的橫截面面積，求這兩桿的軸力和應(yīng)力。1aBaa2ECAPDF圖2.20 N1PN2XAYAAB（a）AB（b）解 取剛性桿AB為研究對象，桿的受力如圖（a）所示，圖（b）表示變形的幾何關(guān)系。平衡條件為：， 桿AB在荷載作用下，將繞A點沿順時針方向作微小移動，桿1、2伸長，變形協(xié)調(diào)方程為由虎克定律得 ，代入變形協(xié)調(diào)方程得 兩式聯(lián)立解得 （拉），（拉）。應(yīng)

16、力（拉應(yīng)力）（拉應(yīng)力）2.18 圖2.21示結(jié)構(gòu)三桿用同一材料制成。已知三桿的橫截面面積，求各桿橫截面上應(yīng)力。1D4mmCBA2330P圖2.21 60A30A1（b）123N2N1N3PAyx（a）解 以A點為研究對象，受力如圖（a）所示，由平衡條件得：， ， 由于1、2兩桿伸長，3桿縮短，變形的幾何關(guān)系如圖（b）所示，變形協(xié)調(diào)條件為： 由虎克定律得：，而 ，代入變形協(xié)調(diào)方程中得 聯(lián)立可得： ， ，各桿的應(yīng)力2.19 一鋼筋混凝土短柱，受到軸向壓力P的作用，如果鋼筋的截面面積為混凝土截面積的，而鋼的彈性模量為混凝土的10倍，試問混凝土承擔(dān)的載荷為P的幾分之幾。解 平衡條件為因鋼筋和混凝土的伸

17、長量相等，由虎克定律有由于 ，所以 故混凝土承擔(dān)的荷載為P的。2.20 圖2.22示的桁架，各桿的橫截面面積、長度和彈性模量均相同，并分別為A、和E，在節(jié)點A處受荷載P作用，計算節(jié)點A 的豎向位移。P1234545A圖2.22 A（b）A145N1N2N3A（a）xyP解 以節(jié)點A為研究對象，受力如圖（a）所示，由平衡條件得： ， ， 由于1、2兩桿伸長，3桿縮短，變形的幾何關(guān)系如圖（b）所示，變形協(xié)調(diào)條件為，又由虎克定律可得，代入變形協(xié)調(diào)方程中得 聯(lián)立可得（拉），（壓）結(jié)點A的豎向位移為2.21 桁架受力如圖2.23所示，各桿均由兩個等邊角鋼組成，已知材料許用應(yīng)力， 試選擇AC桿和CD桿的截

18、面型號。AVANAENAC（a）CNACNECNCD（b）220kN220kN4m4m4m3mBACD圖2.23 VAVBEF解 以桁架整體為研究對象，設(shè)約束反力為，由平衡條件得， 求得以節(jié)點A為研究對象，受力如圖（a）所示，由平衡條件得而，求得（拉）以節(jié)點B為研究對象，受力如圖（b）所示，由平衡條件得而 ，求得（拉）由強度條件得AC桿：選等邊角鋼型號為1010012，截面面積為2280mm2CD桿：選等邊角鋼型號為1010010，截面面積為1926.1mm2。2.22 圖2.24所示的木柱，由四根橫截面面積分別為的角鋼所加強，已知木材的彈性模量，角鋼的彈性模量，立柱所受軸向荷載為，試計算木柱

19、和角鋼所受壓力和正應(yīng)力。N鋼N木P（a）200200圖2.24 P1000解 這是一個超靜定問題，受力如圖（a）所示.平衡條件為， 木柱與角鋼的變形協(xié)調(diào)條件為 由虎克定律 ，代入變形協(xié)調(diào)條件中得 求得 聯(lián)立、解得 ，各自的應(yīng)力2.23 如圖2.25，兩根桿A1B1和A2B2的材料相同，它們的長度和橫截面面積A也相同，A1B1桿承受作用在端點的載荷P；A2B2桿承受沿桿長均勻分布的載荷，其集度為，試比較兩根桿內(nèi)積蓄的變形能。xN(x)Px/l（c）圖2.25 PB1A1l（a）A2B2l（b）解（1）對于（a）圖，軸力是常數(shù)，即NP所以 （2）對于（b），任意橫截面（如圖（c）所示）上的軸力為故

20、所以，桿A1B1是A2B2變形能的3倍。2.24 有一長度為300mm的等截面鋼圓桿受到軸向拉力作用。已知桿的橫截面面積，材料的彈性模量。求此桿中積蓄的變形能。解 此桿軸力為常數(shù)，即NP30kN，由虎克定律和變形能公式得2.25 如圖2.26，一塊剛性板由四根支柱所支撐，四柱的長度和截面都相同，若載荷作用在A點，求這四根柱子的軸力各為多少？ 解 因結(jié)構(gòu)對稱性，由平衡條件得123AP圖2.26 3214eA PN2N1N3（N4）（a）， ， 從變形圖（a）知，有變形條件： 即 由虎克定律可得， 代入中得 聯(lián)立可得（壓）（壓）（壓）2.26 如圖2.27，求結(jié)構(gòu)許用荷載P。已知桿AD、CE、BF

21、的橫截面面積為A，桿材料的許用應(yīng)力為，梁AB可視為剛體。Paa2lAD132CEBF圖2.27 lN1N2N3P（a）ACB解 梁ACB的受力如圖（a）所示，平衡條件為， ， 變形的幾何關(guān)系如圖（a）所示，變形協(xié)調(diào)條件為 由虎克定律可得，代入中得 聯(lián)立可得（拉），（拉）由強度條件得： ， 和 ，所以，該結(jié)構(gòu)的許用荷載。2.27 圖2.28所示，結(jié)構(gòu)由鋼桿組成，各桿材料、截面均相同，其許用應(yīng)力，問當(dāng)所加載荷時，各桿截面面積應(yīng)為多少？DBECll4545圖2.28 ABNBCNAEAxy（a）NADCA（b）A145解 以節(jié)點A為研究對象，受力如圖（a）所示。由平衡條件得， ， AD、AB、AE桿伸長，變形的幾何關(guān)系如圖（b）所示，變形協(xié)調(diào)條件為：，由虎克定律可得：，對于AB桿，則代入變形協(xié)調(diào)方程中得： 聯(lián)立可得：70.7KN（拉）