高等數(shù)學微分中值定理教學剖析

1、高等數(shù)學微分中值定理教學剖析第一節(jié) 微分中值定理 本節(jié)主要內容:一.羅爾中值定理二.拉格朗日中值定理三.柯西中值定理一、羅爾中值定理 費馬（Fermat）引理函數(shù)y=f(x)在N(x0, )有定義，y=f (x0)存在， f(x) f(x0) (f(x) f(x0) 定義3.1.1 導數(shù)等于零的點稱為函數(shù)的駐點（或穩(wěn)定點、臨界點)引理的直觀意義: 可導函數(shù)極值點處的切線平行于 x 軸. 定理3.1.1 （羅爾中值定理）設函數(shù)y= f(x)在區(qū)間a,b上有定義，如果 （1）函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)； （2）函數(shù) f (x)在開區(qū)間（a，b）內可導； （3）函數(shù) f (x)在區(qū)間兩端點

2、處的函數(shù)值相等，即f (a)= f (b)；則在（a，b）內至少存在一個點 a b，使得f ()=0 .例如, 因為函數(shù) f(x) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù)，函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 a,b 上必能取到最大值 M 和最小值 m ,考慮兩種可能的情況： (1) 若 m=M,則 f(x) 在 a,b 上恒等于常數(shù) M(或 m),因而在 (a,b) 內處處有f (x)=0，因此可取 (a,b) 內任意一點作為而使得f ()=0成立。定理的證明 (2) 若 mM，因為 f(a)=f(b)，因此m、M 不可能同時是兩端點的函數(shù)值，即最小值 m 和最大值 M至少有一個在開區(qū)間(a,b)內部取得，不妨設 f

3、()=M， (a,b). 由條件(2)和費馬定理推知 f ()=0. 羅爾定理的幾何意義：如果連續(xù)函數(shù)除兩個端點外處處有不垂直于x軸的切線，并且兩端點處縱坐標相等，那么在曲線上至少存在一點 ，在該點處的切線平行于x 軸(如下圖）。 1.羅爾定理中的是(a,b)內的某一點，定理僅從理論上指出了它的存在性，而沒有給出它的具體取值； 2.羅爾定理的條件是充分非必要條件，只要三個條件均滿足，就充分保證結論成立。但如果三個條件不全滿足，則定理的結論可能成立也可能不成立?？慈缦吕樱簝牲c說明：例連續(xù)內可導連續(xù)內可導例連續(xù)內可導例1 驗證羅爾中值定理對函數(shù)f(x)=x3+4x2-7x-10 在區(qū)間-1,2上

4、的正確性，并求出解得令f (x)=3x2+8x-7=0（1） f(x)= x3+4x2-7x-10在區(qū)間-1,2上連續(xù)；（2） f (x)=3x2+8x-7在（-1,2）內存在；（3）f (-1)=f (2)= 0；所以 f(x)滿足定理的三個條件.則就是要找的點，顯然有f ()=0.解例2 證明方程x5-5x+1=0有且僅有一個小于1的正實根存在性：令 f(x)= x5-5x+1，則f(x)在0,1上連續(xù)f(0)=1，f(1)=-3，由介值定理：至少存在一點x0(0,1),使f (x0)=0 ， x0即為方程的小于1的正實根.唯一性：設另有x1(0,1), x1 x0,使f (x1)=0因為

5、f(x)在x1 ，x0之間滿足羅爾定理的條件所以至少存在一點 (在x1 ，x0之間),使得f ()=0但f (x)=5x4-50 , x(0,1),矛盾,所以為唯一實根.證明例3 不求函數(shù)f (x)=(x-1)(x-2)(x-3)的導數(shù)，說明方程 f (x)=0有幾個實根 函數(shù)f(x)在R上可導,所以在區(qū)間1,2,2,3上滿足羅爾定理的條件,所以在區(qū)間（1,2)（2,3)內分別至少有一實根；又 f (x)=0是二次方程,至多有二個實根；所以方程f (x)=0 有且僅有兩個實根,它們分別落在區(qū)間（1,2) （2,3)內解 定理3.1.2 （拉格朗日中值定理）設函數(shù) y=f(x)滿足（1）在閉區(qū)間

6、a，b上連續(xù)； （2）在開區(qū)間（a，b）內可導；那么在(a，b)內至少存在一點 (a b) ，使得 f (b)- f (a)= f ()(b-a)或二、拉格朗日中值定理注意到, Rolle定理是Lagrange定理的特殊情況。證明思想構造輔助函數(shù)法 由于證明這個定理，目前只有Rolle定理可用，因此想若能構造一個輔助函數(shù) (x) ,使其滿足Rolle定理的條件，同時想辦法接近要證明的結論.則函數(shù)j(x)在區(qū)間a b上滿足羅爾定理的條件(1)(2) 又作輔助函數(shù)所以，由羅爾中值定理，在(a,b)內至少存在一點 ,使即 f (a)- f (b)= f ()(b-a)定理的證明拉格朗日中值公式又稱有

7、限增量公式. 1.拉格朗日中值定理的兩個條件是使結論成立的充分不必要條件； 2.當f (a)=f (b)時，拉格朗日中值定理即為羅爾中值 定理； 3.設f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內可導,x0,x0+x(a,b)則有幾點說明： 拉格朗日定理的幾何意義：當曲線方程滿足拉格朗日定理的要求時，在區(qū)間內至少存在一點，使得該點的切線平行于曲線兩端點 ( a, f(a) )與 ( b, f(b) )的連線，其斜率為 推論1 設 y=f (x) 在 a, b 上連續(xù)，若在(a, b)內的導數(shù)恒為零，則在a, b上 f (x) 為常數(shù). 推論2 如果函數(shù)y=f(x)與y=g(x)在區(qū)間(a,b)內的

8、導數(shù)處處相等，即f (x)=g(x) ，則這兩個函數(shù)在(a,b)內只相差一個常數(shù)，即f(x)-g(x)=C 設f (x)=arcsinx+arccosx,由推論1知 f (x)=C所以例4 證明：又因為即證明則f (x)在0,1上連續(xù)，又 設f (x)=ln(1+x),則f (x)在0,x上滿足拉格朗日中值定理的條件，即由于因為00時，所以上式變?yōu)榧醋C明 定理3.1.3 （柯西中值定理）設函數(shù)y=f(x)與y=g(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，且 g(x)在(a,b)內恒不為零，則至少存在一點 (a,b)，使得 注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理當g(x)=x時的一種特例。三、柯西中值定理分析:問題轉化為證構造輔助函數(shù)證: 作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知, 至少存在一點思考: 柯西定理的下述證法對嗎 ?兩個 不一定相同錯!上面