2022年專題圓錐曲線的定義性質(zhì)方程

1、專題 13 圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程 高考在考什么 【考題回放】21已知ABC 的頂點(diǎn) B、C 在橢圓 xy 21 上，頂點(diǎn) A 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦3點(diǎn)在 BC 邊上，則ABC 的周長是 (C ) （A）2 3 （B）6 （C）4 3 （D）12 2 2x y 42已知雙曲線a 2b 2 1 的一條漸近線方程為 y3x，則雙曲線的離心率為 (A) （A）53 (B) 43 (C) 54 (D) 323如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F 1 ( 3 0, )、F 2 ( ,3 0 )，一條漸近線方程為 y 2 x，那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是（C ）A 6 3 B 4 C 2 D

2、14拋物線 y=4x 2 上的一點(diǎn) M 到焦點(diǎn)的距離為 1，則點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)是 ( B) 17 15 7( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 0 16 16 85已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為 F（ 2 3 ，0），且長軸長是短軸長的 2 倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x 2 y 211 6 42 2x y6如圖， F 為雙曲線 C：2 2 1 a 0, b 0 的右焦點(diǎn)。 P 為雙曲線 C 右支上一點(diǎn)，且位于 xa b軸上方， M 為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知四邊形 OFPM 為平行四邊形，|PF|= |OF|。（）寫出雙曲線 C 的離心率 e 與 的關(guān)系式；（）當(dāng) =1 時(shí)

3、，經(jīng)過焦點(diǎn) F 且平行于 OP 的直線交雙曲線于 A、B 點(diǎn)，若 |AB|=12，求此時(shí)的雙曲線方程。y 【專家解答 】四邊形 OFPM 是， | OF | | PM | c，作雙曲線的右準(zhǔn)線交 PM 于 H，則 | PM | | PH | 2ac 2，M H P x 又 e | PF | | OF2 |2 c 22 2 e 2，O F | PH | c 2 a c 2 a e 2c2e e 2 0。2 2（）當(dāng) 1 時(shí)，e 2，c 2 a ，b 23 a ，雙曲線為 2 x2 y2 1 四邊形 OFPM 是菱形，所4 a 3 a以 直 線 OP 的 斜 率 為 3 ， 則 直 線 AB 的

4、方 程 為 y 3( x 2 )， 代 入 到 雙 曲 線 方 程 得 ：2 29 x 48 ax 60 a 0，2又 AB 12，由 AB 1 k 2( x 1 x 2 ) 24 x x 2 得：12 2 ( 48 a) 24 60 a，解得 a 2 9，則9 9 42 22 27 x yb，所以 1 為所求。4 9 274 高考要考什么 【考點(diǎn)透視】橢圓、雙曲線、拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單的幾何性質(zhì)，橢圓專題 13 圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程第 1 頁（共 8 頁）的參數(shù)方程?！緹狳c(diǎn)透析】 主要題型：（ 1）定義及簡單幾何性質(zhì)的靈活運(yùn)用；（2）求曲線方程（含指定圓錐曲線方程及軌跡方程）。

5、題型一般為二小一大，小題基礎(chǔ)靈活，解答題一般在中等難度以上，一般具有較高的區(qū)分度。 突破重難點(diǎn)【范例 1】過橢圓左焦點(diǎn)F，傾斜角為60 的直線交橢圓于A、B 兩點(diǎn)，若 |FA |=2|FB|，則橢圓的離心率為( B )(A) 2 (B) 2 (C) 13 3 2解：設(shè)點(diǎn) A、B 到橢圓左準(zhǔn)線的距離分別為2 (D)2d1，d2， FA=r 1， FB=r2，則 r 1 2 r 2=e，即 d1= 2r 2，同理 d2= 2r，兩式相減得 r 2 d 1 d 2 . d 1 d 1 e e e因?yàn)橹本€ AB 的傾斜角為 60 ，2|d1-d2|=|AB|=3 r 2，e=23【點(diǎn)晴】 本題關(guān)鍵在于

6、利用橢圓的第二定義將 60 傾斜角、 |FA|=2|FB|這兩個(gè)條件與橢圓的離心率建立聯(lián)系。2 2【文】 若 F 1、F 2 為雙曲線 x2 y2 1 的左、右焦點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) P 在雙曲線的左支上，點(diǎn) Ma b在雙曲線的右準(zhǔn)線上，且滿足：F 1 O PM , OP ( OF 1 OM) ( 0 )，則該雙曲線的離心率為OF 1 OM（）A 2 B3 C 2 D3 解：由 F1 O PM 知四邊形 F 1OMP 是平行四邊形，又 OP ( OF 1 OM )OF 1 OM知 OP 平分 F1OM，即 F1OMP 是菱形，設(shè) |OF1|=c，則 |PF 1|=c . 又|PF 2|-|

7、PF 1|=2a，|PF 2|=2a+c ，由雙曲線的第二定義知 e 2 a c 2 1 ,且 e1， e=2，故選 C. c e【范例 2】定長為 3 的線段 AB 的兩個(gè)端點(diǎn)在 y=x 2 上移動(dòng)， AB 中點(diǎn)為 M，求點(diǎn) M 到 x 軸的最短距離。分析： （1）可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè) A(x1，x1 2)，B(x2，x2 2)，又設(shè) AB 中點(diǎn)為 M(x0,y0)用弦長公式及中點(diǎn)公式得出 y0 關(guān)于 x0 的函數(shù)表達(dá)式，用函數(shù)思想求出最短距離。（2）M 到 x 軸的距離是一種“ 點(diǎn)線距離 ” ，可先考慮 M 到準(zhǔn)線的距離，想到用定義。解法一： 設(shè) A( x1，x1 2)，B(x2，x

8、2 2)，AB 中點(diǎn) M(x0，y0) 2 2 2 2( x 1 x 2 ) ( x 1 x 2 ) 9則 x 1 x 2 2 x 0 2 2x 1 x 2 2 y 0由得 (x1-x2) 21+( x1+x2) 2=9， 即(x1+x2) 2-4x1x2 1+( x1+x2) 2=9 由、得 2x1x2=(2x0) 2-2y0=4x0 2-2y0 代入得 (2 x0) 2-(8x0 2-4y0) 1+(2 x 0) 2=9 4 y 0 4 x 0 2 92，4 y 0 4 x 0 2 92 (4 x 0 21) 2 9 12 9 1 ,5 y 0 51 4 x 0 4 x 0 1 4 x 0

9、 1 4當(dāng) 4x0 2+1=3 即 0 x2 2時(shí)，( y 0 ) min 54 此時(shí) M (2 2 , 54 ) yM B法 2：如圖 2 MM 2 AA 2 BB 2 AF BF AB 3A3 1 3MM 22， 即 MM 14 2，A1 0 M1 B1 xMM 1 5， 當(dāng) AB 經(jīng)過焦點(diǎn) F 時(shí)取得最小值。A2 M2 B24專題 13 圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程第 2 頁（共 8 頁）M 到 x 軸的最短距離為 54【點(diǎn)晴】 解法一是列出方程組，利用整體消元思想消不求 ”的方法。 而解法二充分利用了拋物線的定義，x1， x2，從而形成 y0 關(guān)于 x0 的函數(shù)，這是一種“ 設(shè)而巧妙地將

10、中點(diǎn) M 到 x 軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為 A、B 到準(zhǔn)線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊（當(dāng)三角形“ 壓扁 ”時(shí)，兩邊之和等于第三邊）的屬性，簡捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點(diǎn)，即沒有驗(yàn)證 AB是否能經(jīng)過焦點(diǎn) F，而且點(diǎn) M 的坐標(biāo)也不能直接得出。請思考：當(dāng)|AB|在什么范圍內(nèi)取值時(shí)不能用解法二？2 2【文】（北京卷）橢圓 x2 y2 1( , a b 0) 的兩個(gè)焦點(diǎn)a b| PF 2|= 14.（I）求橢圓 C 的方程； （II）若直線 l 過圓 x 2+y3B 關(guān)于點(diǎn) M 對稱，求直線 l 的方程。F1、F2，點(diǎn) P 在橢圓 C 上，且

11、PF1PF2，| PF1|=4 ，32+4x-2y=0 的圓心 M 交橢圓于 A、B 兩點(diǎn)，且 A、解法一： ()因?yàn)辄c(diǎn) P 在橢圓 C 上，所以 2 a PF 1 PF 2 6，a=3. 2 2在 Rt PF 1F 2 中，F(xiàn) 1 F 2 PF 2 PF 1 2 5 , 故橢圓的半焦距 c= 5 , 2 2從而 b 2=a 2c 2=4, 所以橢圓 C 的方程為 x y1. 9 4()設(shè) A，B 的坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（ x2,y2）. 由圓的方程為 （x+2）2+(y1) 2=5,所以圓心 M 的坐標(biāo)為（ 2，1）. 從而可設(shè)直線 l 的方程為 y=k(x+2)+1, 代入橢圓 C

12、的方程得（4+9k 2）x2+(36k 2+18k)x+36k 2+36k27=0. 2因?yàn)?A，B 關(guān)于點(diǎn) M 對稱 . 所以 x 1 x 2 18 k 92 k 2 . 解得 k 8，2 4 9 k 9所以直線 l 的方程為 y 8 x 2 ) ,1 即 8x-9y+25=0. (經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意 ) 9解法二： ()同解法一 . ()已知圓的方程為（x+2）2+(y1) 2=5,所以圓心 M 的坐標(biāo)為（ 2， 1）. 設(shè) A，B 的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意 x1 x2且2 2x 1 y 1,1 9 42 2x 2 y 2,1 9 4由得 ( x 1 x 2 )(

13、x 1 x 2 ) ( y 1 y 2 )( y 1 y 2 ) 0 . 9 4因?yàn)?A、B 關(guān)于點(diǎn) M 對稱，所以 x1+ x2=4, y1+ y2=2, 代入得 y 1 y 28 ，即直線 l 的斜率為 8 ，所以直線 l 的方程為 y18（x+2），即 8x9y+25=0. x 1 x 2 9 9 9(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意 .)【范例 3】如圖 1，已知 A、B、C 是長軸為 4 的橢圓上三點(diǎn)，點(diǎn) A 是長軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC 過橢圓中心 O，且 AC BC 0，BC 2 AC 。（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；（2）如果橢圓上兩點(diǎn)P、Q 使直線 CP、CQ 與 x 軸圍圖 1

14、 3 頁（共 8 頁）成底邊在x 軸上的等腰三角形， 是否總存在實(shí)數(shù)使 PQAB ？請給出證明。解：（ 1）以 O 為原點(diǎn)， OA 所在的直線為x 軸建立如圖直角坐標(biāo)系，則A（2，0），橢圓方程可設(shè)為專題 13 圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程第2 2x y2 1(0 b 2)。而 O 為橢圓中心，由對稱性知 |OC|=|OB|4 b又 AC BC 0，所以 ACBC 又 BC 2 AC ，所以 |OC| |AC| ，所以 AOC 為等腰直角三角形，所以點(diǎn) C 坐標(biāo)為（ 1， 1）。將（ 1，1）代入橢圓方程得 b 2 4，則32 2x 3 y橢圓方程為 1。4 4（2）由直線 CP、CQ 與 x

15、軸圍成底邊在 x 軸上的等腰三角形，設(shè)直線 CP 的斜率為 k，則直線 CQ 的斜率為 k，直線 CP 的方程為 y=k (x-1)，直線 CQ 的方程為 y=-k (x-1)。由橢圓方程與直線 CP 的方程聯(lián)立，消去 y 得 (1+3k 2)x 2-6k(k-1) x+3k 2-6k-1=0因?yàn)?C（1，1）在橢圓上，所以x1 是方程的一個(gè)根，于是xP3 k26k1同理x Q3 k26k1AB1，13 k213k2這樣，k PQy Py Q1， 又 B（ 1， 1），所以kx Px Q33即 kAB=k PQ。所以 PQ AB，存在實(shí)數(shù)使 PQAB ?！军c(diǎn)晴】 利用斜率互為相反數(shù)關(guān)系，整體替

16、換，可簡化解題過程?！疚摹浚?06 上海春 ） 學(xué)校科技小組在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn) . 設(shè)計(jì)方案如圖：航天器運(yùn)行（按順時(shí)針方向）的軌跡方程為 x 2 y 21，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌100 2564跡 是 以 y 軸 為 對 稱 軸 、M 0 , 為 頂 點(diǎn) 的 拋 物 線 的 實(shí) 線 部 分 ， 降 落 點(diǎn) 為 D ( 8 , 0 ) . 觀 測 點(diǎn)7A ( 4 , 0 )、B ( 6 , 0 ) 同時(shí)跟蹤航天器 . （1）求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程；（2）試問：當(dāng)航天器在 x 軸上方時(shí)，觀測點(diǎn) A、B 測得離航天器的距離分別為多少時(shí)，應(yīng)向航

17、天器發(fā)出變軌指令？解：（ 1）設(shè)曲線方程為 y ax 2 64，由題意可知，0 a 64 64. a 1. 7 7 71 2 64曲線方程為 y x . 7 7（2）設(shè)變軌點(diǎn)為 C ( x , y )，根據(jù)題意可知x 2 y 2,1 ( 1 )100 25y 1 x 2 64 , ( 2 )7 7得 4 y 2 7 y 36 0，y 4 或 y 9（不合題意，舍去）. 4y 4 . 得 x 6 或 x 6（不合題意，舍去）. C 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 6 , 4 )，| AC | 2 5 , | BC | 4 . 答：當(dāng)觀測點(diǎn) A、B 測得 AC、BC 距離分別為 2 5、4 時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出指令

18、 . 【范例 4】過拋物線 x2=4y 上不同兩點(diǎn) A、B 分別作拋物線的切線相交于 P 點(diǎn)，PA PB 0 .（1）求點(diǎn) P 的軌跡方程；2（2）已知點(diǎn) F（0，1），是否存在實(shí)數(shù) 使得 FA FB ( FP ) 0？若存在，求出 的值，若不存在，請說明理由。專題 13 圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程第4 頁（共 8 頁）解法（一）：（1）設(shè)A (x 1,2 x 1),B(x2,x2 2),(x 1x2)由x24y ,得：yxR ).2 x 2kPA)x 1,kPBx 244222PAPB0 ,PAPB ,x 1x 24直線 PA 的方程是y2 x 1x 1(xx 1)即yx 1x2 x 142

19、24同理，直線PB 的方程是：yx 2xx2 224由得：yxx 12x 2,1(x 1,x 2R )點(diǎn) P 的軌跡方程是y(1xx 1x 24（2）由（ 1）得：FA(x 1,2 x 11 ),FB(x2,2 x 21 ),P(x 12x2,1 )2 x 144FP(x 12x2,2 ),x 1x24，F(xiàn)AFBx 1x2(2 x 11 )(x2 21 )2444(FP)2(x 1x2)242 x 14x22，所以FAFB(FP)2024故存在=1 使得FAFB(FP)20解法（二）：（1）直線 PA、PB 與拋物線相切，且PAPB,0直線 PA、PB 的斜率均存在且不為0，且PAPB,設(shè) P

20、A 的直線方程是ykxm (k,mR ,k0 )由y2 xkxm得：x24kx4m04y16k216m0即mk2即直線 PA 的方程是：ykxk2同理可得直線PB 的方程是：y1x1kk2由yykx 1 x kk2得：xk1R1k1yk2故點(diǎn) P 的軌跡方程是y1 (xR).（2）由（ 1）得：A(2k,k2),B(2,1),P(k1,1 )k22(k21kkFA(2k,k21 ),FB(2,11 )，F(xiàn)P(k1,2 )kk2kFAFB4(k21 )(11 )2(k21)(FP)2(1k)24k2k2kk2故存在=1 使得FAFB(FP)20【點(diǎn)晴】 拋物線的切線方程成了近幾年高考試題中的一個(gè)

21、考查亮點(diǎn)。解法一、解法二是解決拋物線切 線問題的常用方法，應(yīng)熟練掌握?！疚摹?已知 ABC 的兩頂點(diǎn) A、B 分別是雙曲線差中項(xiàng) . （）求頂點(diǎn) C 的軌跡 T 的方程；2x 2-2y 2=1 的左、右焦點(diǎn) , 且 sinC 是 sinA、 sinB 的等（）設(shè) P(-2,0), 過點(diǎn) E（2 0，）作直線 l 交軌跡 T 于 M、N 兩點(diǎn)，問 MPN 的大小是否為定值？證7專題 13 圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程第 5 頁（共 8 頁）明你的結(jié)論 . 解： () 由條件知 A (-1 , 0 ) , B (1 , 0 )，且 sinA + sinB = 2sinC|BC| + |AC| = 2

22、|AB| = 4 點(diǎn) C 的軌跡是以A、B 為焦點(diǎn)，長軸長2a = 4 的橢圓（不包括x 軸上兩點(diǎn)） . 2,12），而點(diǎn) C 的軌跡 T 的方程是x2y2=1 (x 2) 43() 當(dāng) lx 軸時(shí)，直線l 的方程為 x =2 ，代入 7x2y2=1 解得 M、N 的坐標(biāo)為（4377|PE| =12 ， MPN = 90 ，猜測 MPN = 90 為定值 . 7證明：設(shè)直線 l 的方程為 my = x + 2 ，x = my 2 7由 7，得 (3m 2 + 4) y3x 2 + 4y 2 = 12 12 m 576y1 + y2 = 2， y1 y2 = 27 ( 3 m 4 ) 49 (

23、3 m2 4)12 my 7576 = 0 49PMPN= (x1 + 2 , y1) (x2 +2 , y2 ) = (x1 + 2 ) (x2 +2) + y1 y2= (my1 +12 ) (my2 + 712 ) + y1 y2 = (m 2 +1) y1 y2 +712 m (y1 + y2) + 714449=(m2 +1)5764)+12 m 712m4)+144 = 0 MPN = 90 ，為定值 . 4949(3 m27(3m2 自我提升1. 若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為 F1（1，0）， F2（， 0），則其離心率為（C ）3 2 1 1A. B. C. D.4 3 2 42.

24、 雙曲線的虛軸長為 4，離心率 e 6，F(xiàn)1、F2分別是它的左，右焦點(diǎn)，若過 F 1的直線與雙曲線的左2支交于 A、B兩點(diǎn)，且 |AB|是|AF 2|與|BF2|的等差中項(xiàng)，則 |AB|為（ A ）. A 、8 2 B、4 2 C、2 2 D、8 3. F 1、F2為橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，Q為橢圓上任一點(diǎn)，以任一焦點(diǎn)作F 1QF 2的外角平分線的垂線，垂足為 P，則P點(diǎn)軌跡為（ A）.A、圓 B、橢圓 C、雙曲線 D、拋物線4雙曲線a x 22 b y2 21 的左支上一點(diǎn) P， O為 PF 1F2的內(nèi)切圓，則圓心 O的橫坐標(biāo)為（ B）. c a a cA 、a B、-a C、D、2 25. 已知點(diǎn)

25、F 1(-4,0)，F(xiàn) 2(4,0), 又 P(x,y)是曲線| x | | y | 1 上的點(diǎn) , 則 (C) 5 3A. |PF 1|+|PF2|=10 B. |PF 1|+|PF2|b 0）的兩焦點(diǎn)，過 F1的弦 AB 與 F2組成等腰直角三角形 ABF 2，其中 BAF 2=90 0，則橢圓的離心率是 _ 6 37已知橢圓 E 的離心率為 e，左、右焦點(diǎn)為 F 1、F2，拋物線 C 以 F2為焦點(diǎn)， F1為其頂點(diǎn)，若 P 為兩3曲線的公共點(diǎn)，且 e|PF2|=|PF 1|，則 e_。38已知 O：x 2+y 2=4，一動(dòng)拋物線過 A（ 1，0）、 B（1，0）兩點(diǎn)，且以圓的切線為準(zhǔn)線，

26、則動(dòng)拋2 2物線的焦點(diǎn) F 的軌跡方程為 _x y1， 04 3專題 13 圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程第 6 頁（共 8 頁）9如圖，已知三點(diǎn) A(7, 0)，B(7,0)，C(2,12). 若橢圓過 A、B 兩點(diǎn)，且 C 為其一焦點(diǎn)，0) ；求另一焦點(diǎn)P 的軌跡方程； 若雙曲線的兩支分別過A、B 兩點(diǎn)，且 C 為其一焦點(diǎn)，求另一焦點(diǎn)Q 的軌跡方程。解析： 由橢圓定義知，|AP|AC|BP|BC|，即 |PB| |PA | |AC| |BC|2|AB|142故 P 的軌跡為 A（ 7，0）、B（ 7，0）為焦點(diǎn)實(shí)軸長為 2 的雙曲線的一支， 其方程為 x 2 y48 經(jīng)討論知，無論 A 在雙曲線的哪一支上 , 總有 |QA|QB| |AC|BC|28|AB|14 1 (x故點(diǎn) Q 的軌跡為以A（ 7， 0）、 B（7，0）為焦點(diǎn)長軸長為28 的橢圓，其方程為x2y21。1961472 210已知橢圓 x y1 ( 2 m 5 ) 過其左焦點(diǎn)且斜率為 1 的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次變m m 1于 A、B、C、D，設(shè) f(m)=|AB|-|CD |,（1）求 f(m),（ 2）求 f(m)的最值。2 2解： （1）橢圓 x ym m 1則 BC:y=x +1,代入橢圓方程即1中， a2=m，b2=m-1，c 2=1，左焦點(diǎn) F1(