二次函數(shù)中的新定義問(wèn)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【中考?jí)狠S題專題突破】二次函數(shù)中的新定義問(wèn)題1定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差yx稱為點(diǎn)P的“坐標(biāo)差”，而圖形G上所有點(diǎn)的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”（1）求點(diǎn)A（2，1）的“坐標(biāo)差”和拋物線yx2+3x+4的“特征值”（2）某二次函數(shù)x2+bx+c（c0）的“特征值”為1，點(diǎn)B與點(diǎn)C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等，求此二次函數(shù)的解析式（3）如圖所示，二次函數(shù)yx2+px+q

2、的圖象頂點(diǎn)在“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)的圖象上，四邊形DEFO是矩形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（7，3），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸上，當(dāng)二次函數(shù)yx2+px+q的圖象與矩形的邊有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求p的取值范圍2定義：我們把點(diǎn)（m，m）稱為直線yx+m（其中m為常數(shù)）的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”比如，直線yx+5的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”為（5，5）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，（1）若拋物線yax2經(jīng)過(guò)直線yx+3的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”A，請(qǐng)指出該拋物線的開口方向，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)點(diǎn)P在曲線y（x0）上，直線l：yx+m的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”為點(diǎn)B，連接PB，記點(diǎn)P到直線l的距離為d（d為正實(shí)數(shù)）當(dāng)m2，k2，且d時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)m1，k時(shí)，求BP的長(zhǎng)（

3、用含d的式子表示）3我們定義：兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對(duì)稱軸相同，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)例如：y2x2+4x5的友好同軸二次函數(shù)為yx22x5（1）請(qǐng)你分別寫出y，y+x5的友好同軸二次函數(shù)；（2）滿足什么條件的二次函數(shù)沒有友好同軸二次函數(shù)？滿足什么條件的二次函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)是它本身？（3）如圖，二次函數(shù)L1：yax24ax+1與其友好同軸二次函數(shù)L2都與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B、C分別在L1、L2上，點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)均為m（0m2），它們關(guān)于L1的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為B，C，連結(jié)BB，BC，CC，CB若a3，且四邊形BBCC為正方形，求m的值；若m1，且四邊形B

4、BCC的鄰邊之比為1：2，直接寫出a的值4定義：給定兩個(gè)函數(shù)，我們約定：任取自變量x的一個(gè)值，當(dāng)x0時(shí)，另一個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值比原函數(shù)的函數(shù)值大1；當(dāng)x0時(shí)，另一個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值比原函數(shù)的函數(shù)值小1，我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為伴隨函數(shù)例如：一次函數(shù)y2x+3它的伴隨為y（1）已知點(diǎn)M（3，6）在一次函數(shù)yax2的伴隨函數(shù)的圖象上時(shí)，求a的值；（2）已知二次函數(shù)yx2+4x3當(dāng)點(diǎn)N（m，3）在這個(gè)函數(shù)的伴隨函數(shù)的圖象上時(shí)，求m的值；當(dāng)2x3時(shí)，求函數(shù)yx2+4x3的伴隨函數(shù)的最大值和最小值；（3）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為（1，1）、（1，2），連接AD，以AD為邊向右作正方形AB

5、CD直接寫出正方形ABCD與二次函數(shù)yx2+4x+n的伴隨函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)n的取值范圍5定義：若函數(shù)yx2+bx+c（c0）與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)為xA，xB，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yC，若xA，xB中至少存在一個(gè)值，滿足xAyC（或xByC），則稱該函數(shù)為友好函數(shù)如圖，函數(shù)yx2+2x3與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3，滿足xAyC，稱yx2+2x3為友好函數(shù)（1）判斷yx24x+3是否為友好函數(shù)，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)?zhí)骄坑押煤瘮?shù)yx2+bx+c表達(dá)式中的b與c之間的關(guān)系；（3）若yx2+bx+c是友好函數(shù)，且ACB為銳角，求c的取值范圍6在平面直角坐標(biāo)系x

6、Oy中，對(duì)于點(diǎn)P（a，b）和點(diǎn)Q（a，b），給出如下定義：若b，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的限變點(diǎn)例如：點(diǎn)（3，2）的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，2），點(diǎn)（1，5）的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，5）（1）點(diǎn)（，1）的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；在點(diǎn)A（1，2），B（2，1）中有一個(gè)點(diǎn)是函數(shù)y圖象上某一個(gè)點(diǎn)的限交點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)是 ；（2）若點(diǎn)P在函數(shù)yx+3的圖象上，當(dāng)2x6時(shí)，求其限變點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)b的取值范圍；（3）若點(diǎn)P在關(guān)于x的二次函數(shù)yx22tx+t2+t的圖象上，其限變點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)b的取值范圍是bm或bn，其中mn令smn，求s關(guān)于t的函數(shù)解析式及s的取值范圍【中考?jí)狠S題專題突破】二次函數(shù)中的新定義問(wèn)題參考答案與試題解析1解：

7、（1）121，故“坐標(biāo)差”為1，yxx2+3x+4x（x1）2+5，故“特征值”為5；（2）由題意得：點(diǎn)C（0，c），故點(diǎn)B、C的“坐標(biāo)差”相等，故點(diǎn)B（c，0），把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入yx2+bx+c得：0（c）2+b（c）+c，解得：b1c，故：yx2+（1c）x+c，故拋物線的“特征值”為1，yxx2+（1c）x+cxx2cx+c，故1c2，b3，故拋物線的表達(dá)式為：yx2+3x2；（3）“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)為：yx+2，拋物線yx2+px+q的圖象的頂點(diǎn)在yx+2上，設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y（xm）2+m+2，當(dāng)拋物線與矩形有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，如圖1、2，對(duì)于圖1，直線與矩形邊的交點(diǎn)為：（1，3

8、），則對(duì)稱軸為：1，解得：p2，對(duì)于圖2，把點(diǎn)E（7，3）代入y（xm）2+m+2并解得：m5或10（舍去10），故5，解得：p10，故二次函與矩形的邊有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求p的取值范圍：2p102解：（1）點(diǎn)A（3，3），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解：a0，故拋物線的開口向上；（2）過(guò)點(diǎn)P作PHy軸交直線l于點(diǎn)H，則DPH45，則PHd，設(shè)點(diǎn)P（s，t），則點(diǎn)H（s，s+m），則stk，PHt（s+m），當(dāng)m2，k2，且d時(shí)，反比例函數(shù)表達(dá)式為：y，設(shè)點(diǎn)P（x，），d，PH2，即|+x2|2，解得：x2，故點(diǎn)P（2，2）；PHt+s1d，且st，則12st，PB2（s1）2+（t1）2s2+t

9、22（s+t）+2（s+t）22（s+t）+1（s+t1）2，故PBd3解：（1）1（），函數(shù)y的友好同軸二次函數(shù)為yx2；1，1（）2，函數(shù)y+x5的友好同軸二次函數(shù)為yx2+2x5（2）110，二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)沒有友好同軸二次函數(shù)；12，二次項(xiàng)系數(shù)為的二次函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)是它本身（3）二次函數(shù)L1：yax24ax+1的對(duì)稱軸為直線x2，其友好同軸二次函數(shù)L2：y（1a）x24（1a）x+1a3，二次函數(shù)L1：yax24ax+13x212x+1，二次函數(shù)L2：y（1a）x24（1a）x+12x2+8x+1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，3m212m+1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，2m2+8m+1

10、），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4m，3m212m+1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4m，2m2+8m+1），BC2m2+8m+1（3m212m+1）5m2+20m，BB4mm42m四邊形BBCC為正方形，BCBB，即5m2+20m42m，解得：m1，m2（不合題意，舍去），m的值為當(dāng)m1時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3a+1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，3a2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3a+1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3a2），BC|3a2（3a+1）|6a3|，BB312四邊形BBCC的鄰邊之比為1：2，BC2BB或BB2BC，即|6a3|22或22|6a3|，解得：a1，a2，a3，a4，a的值為、或4解：（1）由已知一次函數(shù)yax2的

11、伴隨函數(shù)為yM（3，6）代入yax3，得63a3a3（2）由已知二次函數(shù)yx2+4x3的伴隨函數(shù)為y當(dāng)m0時(shí)，代入yx2+4x2，得3m2+4m2解得m12+（舍去），m22當(dāng)m0時(shí)，代入yx2+4x2，得3m2+4m4解得m32+m32故m的值為2、2+或2當(dāng)3x0時(shí)，拋物線yx2+4x4的頂點(diǎn)為最高點(diǎn)函數(shù)最大值為0當(dāng)a1拋物線開口向下當(dāng)2x0時(shí)，x2函數(shù)有最小值為（2）2+4（2）214（3）3n6或0n1或4n2理由：由已知二次函數(shù)yx2+4x+n的伴隨函數(shù)為y設(shè)AB邊、DC邊與y軸交點(diǎn)為分別為F、E則E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）若yx2+4x+n+1過(guò)點(diǎn)D，則代入D（1，

12、2）求得n6，則x0時(shí)，yx2+4x+n1x2+4x+5與y軸交點(diǎn)為（0，5）此時(shí)二次函數(shù)yx2+4x+n的伴隨函數(shù)與正方形ABCD有一個(gè)交點(diǎn)若yx2+4x+n+1過(guò)點(diǎn)A，則代入A（1，1）可求得n3，則x0時(shí)，yx2+4x+n1x2+4x+2與y軸交點(diǎn)為（0，2）則此時(shí)二次函數(shù)yx2+4x+n的伴隨函數(shù)與正方形ABCD有3個(gè)交點(diǎn)若yx2+4x+n+1過(guò)點(diǎn)E（0，2），則代入E（0，2）則n1，則x0時(shí)，yx2+4x+n1x2+4x與y軸交點(diǎn)為（0，0）則此時(shí)，此時(shí)二次函數(shù)yx2+4x+n的伴隨函數(shù)與正方形ABCD有3個(gè)交點(diǎn)若yx2+4x+n1過(guò)點(diǎn)F（0，1），則代入F（0，1）則n0，則x0

13、時(shí)，yx2+4x+n+1x2+4x+1與y軸交點(diǎn)為（0，1）則此時(shí)二次函數(shù)yx2+4x+n的伴隨函數(shù)與正方形ABCD有3個(gè)交點(diǎn)若yx2+4x+n+1過(guò)點(diǎn)F（0，1），則代入F（0，1）則n2，則yx2+4x+n1x2+4x3與y軸交點(diǎn)為（0，3）則此時(shí)二次函數(shù)yx2+4x+n的伴隨函數(shù)與正方形ABCD有3個(gè)交點(diǎn)若yx2+4x+n1過(guò)點(diǎn)B（2，1），則代入B（2，1）則n4則x0時(shí)，yx2+4x+n+1x2+4x3y軸交點(diǎn)為（0，3）則此時(shí)二次函數(shù)yx2+4x+n的伴隨函數(shù)與正方形ABCD有1交點(diǎn)綜上所述，正方形ABCD與二次函數(shù)yx2+4x+n的伴隨函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的n取值范圍為3n6

14、或0n1或4n25解：（1）yx24x+3是友好函數(shù)，理由如下：當(dāng)x0時(shí)，y3；當(dāng)y0時(shí)，x1或3，yx24x+3與x軸一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是3，yx24x+3是友好函數(shù)；（2）當(dāng)x0時(shí)，yc，即與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c，yx2+bx+c是友好函數(shù)，xc時(shí)，y0，即（c，0）在yx2+bx+c上，代入得：0c2+bc+c，0c（c+b+1），而c0，b+c1；（3）如圖1，當(dāng)C在y軸負(fù)半軸上時(shí)，由（2）可得：cb1，即yx2+bxb1，顯然當(dāng)x1時(shí)，y0，即與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），則ACO45，只需滿足BCO45，即BOCOc1；如圖2，當(dāng)C在y軸正半軸上，且A與B不重合時(shí)，顯然都滿足ACB為銳角，c0，且c1；當(dāng)C與原點(diǎn)重合時(shí)，不符合題意，綜上所述，c1或c0，且c1 6解：（1）根據(jù)限變點(diǎn)的定義可知點(diǎn)點(diǎn)（，1）的限變點(diǎn)的坐標(biāo)為（，1）；故答案是：（，1）；（1，2）限變點(diǎn)為（1，2），即這個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)A故答案是：A；（2）依題意，yx