數(shù)學(xué)中考因式分解培優(yōu)專題

1、 .精心整理初三數(shù)學(xué)因式分解培優(yōu)專題（一）一、用提公因式法把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解【知識(shí)精讀】如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，根據(jù)乘法分配律的逆運(yùn)算，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫(xiě)成因式乘積的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理論依據(jù)就是乘法分配律。多項(xiàng)式的公因式的確定方法是：（1）當(dāng)多項(xiàng)式有相同字母時(shí)，取相同字母的最低次冪。（2）系數(shù)和各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，公因式可以是數(shù)、單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。下面我們通過(guò)例題進(jìn)一步學(xué)習(xí)用提公因式法因式分解【分類解析】1.把下列各式因式分解（1）（2）分析：（1）若多項(xiàng)式的第一項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，一般要提出“”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)

2、，在提出“”號(hào)后，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。解：（2）有時(shí)將因式經(jīng)過(guò)符號(hào)變換或?qū)⒆帜钢匦屡帕泻罂苫癁楣蚴?，如：?dāng)n為自然數(shù)時(shí)，是在因式分解過(guò)程中常用的因式變換。解：2.利用提公因式法簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程例：計(jì)算分析：算式中每一項(xiàng)都含有，可以把它看成公因式提取出來(lái)，再算出結(jié)果。解：3.在多項(xiàng)式恒等變形中的應(yīng)用例：不解方程組，求代數(shù)式的值。分析：不要求解方程組，我們可以把和看成整體，它們的值分別是3和，觀察代數(shù)式，發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)都含有，利用提公因式法把代數(shù)式恒等變形，化為含有和的式子，即可求出結(jié)果。解：4.在代數(shù)證明題中的應(yīng)用例：證明：對(duì)于任意自然數(shù)n，一定是10的倍數(shù)。分析：首先利用因式分解把代數(shù)式恒等變形，

3、接著只需證明每一項(xiàng)都是10的倍數(shù)即可。解：5、中考點(diǎn)撥：例1。因式分解解：說(shuō)明：因式分解時(shí)，應(yīng)先觀察有沒(méi)有公因式，若沒(méi)有，看是否能通過(guò)變形轉(zhuǎn)換得到。例2分解因式：解：說(shuō)明：在用提公因式法分解因式前，必須對(duì)原式進(jìn)行變形得到公因式，同時(shí)一定要注意符號(hào)，提取公因式后，剩下的因式應(yīng)注意化簡(jiǎn)。舉一反三：1、分解因式：（1）（2）（n為正整數(shù)）（3）2.計(jì)算：的結(jié)果是（）A.B.C.D.3.已知x、y都是正整數(shù)，且，求x、y。4.證明：能被45整除。二、運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解【知識(shí)精讀】把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式完全平方公式立方和、立方差公式補(bǔ)充：歐拉公式：特別地：（1

4、）當(dāng)時(shí)，有（2）當(dāng)時(shí)，歐拉公式變?yōu)閮蓴?shù)立方和公式。運(yùn)用公式法分解因式的關(guān)鍵是要弄清各個(gè)公式的形式和特點(diǎn)，熟練地掌握公式。但有時(shí)需要經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕M合、變形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代數(shù)式的值，解方程、幾何綜合題中也有廣泛的應(yīng)用。因此，正確掌握公式法因式分解，熟練靈活地運(yùn)用它，對(duì)今后的學(xué)習(xí)很有幫助。下面我們就來(lái)學(xué)習(xí)用公式法進(jìn)行因式分解【分類解析】1.把分解因式的結(jié)果是（）A.B.C.D.分析：。再利用平方差公式進(jìn)行分解，最后得到，故選擇B。說(shuō)明：解這類題目時(shí)，一般先觀察現(xiàn)有項(xiàng)的特征，通過(guò)添加項(xiàng)湊成符合公式的形式。同時(shí)要注意分解一定要徹底。2.在簡(jiǎn)便計(jì)算、求代數(shù)式的值、解方程、判斷多項(xiàng)式的

5、整除等方面的應(yīng)用例：已知多項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求的值。分析：由整式的乘法與因式分解互為逆運(yùn)算，可假設(shè)另一個(gè)因式，再用待定系數(shù)法即可求出的值。解：3.在幾何題中的應(yīng)用。例：已知是的三條邊，且滿足，試判斷的形狀。分析：因?yàn)轭}中有，考慮到要用完全平方公式，首先要把轉(zhuǎn)成。所以兩邊同乘以2，然后拆開(kāi)搭配得完全平方公式之和為0，從而得解。解：4.在代數(shù)證明題中應(yīng)用例：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)。分析：先根據(jù)已知條件把奇數(shù)表示出來(lái)，然后進(jìn)行變形和討論。解：5、中考點(diǎn)撥：例1：因式分解：_。說(shuō)明：因式分解時(shí)，先看有沒(méi)有公因式。此題應(yīng)先提取公因式，再用平方差公式分解徹底。例2：分解因式：_。說(shuō)明：先提取公

6、因式，再用完全平方公式分解徹底。題型展示：例1.已知：，求的值。解：說(shuō)明：本題屬于條件求值問(wèn)題，解題時(shí)沒(méi)有把條件直接代入代數(shù)式求值，而是把代數(shù)式因式分解，變形后再把條件帶入，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。例2.已知，求證：證明：說(shuō)明：利用補(bǔ)充公式確定的值，命題得證。例3.若，求的值。解：說(shuō)明：按常規(guī)需求出的值，此路行不通。用因式分解變形已知條件，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。舉一反三：1.分解因式：（1）（2）（3）2.已知：，求的值。3.若是三角形的三條邊，求證：4.已知：，求的值。5.已知是不全相等的實(shí)數(shù)，且，試求（1）的值；（2）的值。因式分解練習(xí)題1、若是完全平方式，則m=_。2、3、已知?jiǎng)t4、若是完全平方式M=_。，5、若是完全平方式，則k=_。6、若的值為0，則的值是_。7、若則=_。8、若則_。9、方程，的解是_。二、選擇題：（10分）1、多項(xiàng)式的公因式是（）A、a、B、C、D、2、若，則m，k的值分別是（）A、m=2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、Dm=4，k=12、3、下列名式中能用平方差公式分解因式的有（）A、1個(gè)，B、2個(gè)，C、3個(gè)，D、4個(gè)4、計(jì)算的值是（）A、B、三、分解因式：（30分）1、2、3、4、5、6、7、3