2．2《平面向量的線性運(yùn)算》

1、平面向量的線性運(yùn)算1.向量、平行向量、相等向量的含義分別是什么？2.用有向線段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和單位向量？3.兩個(gè)實(shí)數(shù)可以相加，從而給數(shù)賦予了新的內(nèi)涵.如果向量?jī)H停留在概念的層面上，那是沒(méi)有多大意義的.我們希望兩個(gè)向量也能相加，拓展向量的數(shù)學(xué)意義，提升向量的理論價(jià)值，這就需要建立相關(guān)的原理和法則.探究一：向量加法的幾何運(yùn)算法則 思考1：如圖，某人從點(diǎn)A到點(diǎn)B，再?gòu)狞c(diǎn)B按原方向到點(diǎn)C，則兩次位移的和可用哪個(gè)向量表示？由此可得什么結(jié)論？A B C思考2：如圖，某人從點(diǎn)A到點(diǎn)B，再?gòu)狞c(diǎn)B按反方向到點(diǎn)C，則兩次位移的和可用哪個(gè)向量表示？由此可得什么結(jié)論？A B C探

2、究二：向量減法的含義思考1：兩個(gè)相反向量的和向量是什么？向量a的相反向量可以怎樣表示？思考2：a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.（a）=aa在實(shí)數(shù)的運(yùn)算中，減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).據(jù)此原理，向量ab可以怎樣理解？?jī)蓚€(gè)向量的差還是一個(gè)向量嗎？向量a加上向量b的相反向量，叫做a與b的差向量，求兩個(gè)向量的差的運(yùn)算叫做向量的減法，對(duì)于向量a，b，c，若a+cb，則c等于什么？ 定義：aba（b）.a+c b c = b a探究三：向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義已知非零向量a，如何求作向量aaa和（a）（a） （a）？aaaaOMNP （a）（a）（a）

3、向量aaa和（a）（a）（a）分別如何簡(jiǎn)化其表示形式？ aaa記為3a，（a）（a）（a）記為3a.向量3a和3a與向量a的大小和方向有什么關(guān)系？aaOaaABCaaaOMNP設(shè)a為非零向量，那么 a和 a 還是向量嗎？它們分別與向量a有什么關(guān)系？aaa一般地，我們規(guī)定：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘.記作a，該向量的長(zhǎng)度與方向與向量a有什么關(guān)系？（1）|a|=|a|；（2）0時(shí),a與a方向相同； 0時(shí),a與a方向相反； =0時(shí),a =0.探究四:向量的數(shù)乘運(yùn)算性質(zhì) 你認(rèn)為2（5a），2a2b， a可分別轉(zhuǎn)化為什么運(yùn)算？-2 (5a)= -10a ；2a 2b = 2(a+

4、b)； (3 )a =3a a.一般地，設(shè)，為實(shí)數(shù)，則(a)，() a，(ab)分別等于什么？(a)=() a ；() a =a a； (a b)=ab.對(duì)于向量a（a0）和b，若存在實(shí)數(shù)，使b=a，則向量a與b的方向有什么關(guān)系？若向量a（a0）與b共線，則一定存在實(shí)數(shù)，使b=a成立嗎？綜上可得向量共線定理：向量a（a0）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使b=a. 若a0，上述定理成立嗎？若存在實(shí)數(shù) ，使 ，則A、B、C三點(diǎn)的位置關(guān)系如何？如圖，若P為AB的中點(diǎn)，則 與 的關(guān)系如何？ABPO向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a、b，以及任意實(shí)數(shù)、x、y，(xayb）可轉(zhuǎn)化為什么運(yùn)算？ (xayb）=xayb. 理論遷移 例1 計(jì)算（1）（3）4a； （2）3（ab）2（ab）a；（3）（2a3bc）（3a2bc）.2b3babO例2 如圖，已知任意兩個(gè)非零向量a， b，試作 =ab， =a2b， =a3b.你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？abABC課堂小結(jié)：1.實(shí)數(shù)與向量可以相乘，其積仍是向量，但實(shí)數(shù)與向量不能相加、相減.實(shí)數(shù)除以向量沒(méi)有意義，向量除以非零實(shí)數(shù)就是數(shù)乘向量.2.若a=0，則可能