1087數(shù)學(xué)分析專題研究-國(guó)家開放大學(xué)2020年1月至2020年7月期末考試試題及答案（202001-202007共2套）

1、試卷代號(hào)：1087 座位號(hào)口口國(guó)家開放大學(xué)2 0 1 9年秋季學(xué)期期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)分析專題研究試題（半開卷） 2020年1月一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共20分）1f:X Y是雙射當(dāng)且僅當(dāng)f( ) A是單射 B. 是滿射 C. 既是單射又是滿射 D既不是單射又不是滿射2平面上任意兩條直線l1與l2具有關(guān)系R定義為：(l1，l2)R當(dāng)且僅當(dāng)l1與Z l2平行則關(guān)系R( ) A僅有反身性 B. 僅有對(duì)稱性 C. 僅有傳遞性 D是等價(jià)關(guān)系3自然數(shù)集具有而整數(shù)集不具有的性質(zhì)是( ) A. 良序性質(zhì) B. 稠密性質(zhì) C完備性質(zhì) D有限性質(zhì)4把有理數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集是( )運(yùn)算封閉的需要 A加法 B. 乘法

2、 C. 開方 D極限5.( )是方程x6=1的根， A.x=12+32iB. x=32C. x=12i Dx=32+12i二、填空題（每小題4分，共20分） 6.(A U B)-C=(A -C)U_ 7設(shè)f:XY,A,B X,則f(A B) f(A) f(B). 8若sinx=k=0a2k+1x2k+1，則a2k+1=_ 9設(shè)A是一非空數(shù)集，則x0= supA當(dāng)且僅當(dāng)1）aA,ax0,2） .10設(shè)x0，定義L(x)=1x1tdt.則對(duì)于x0，y=0，有L(xy)=L(x) L(y)三、計(jì)算題（每小題15分，共30分）11求f(x)=3x2+12x+1的斜漸近線方程12.求y=3x+sinx，

3、x=0，x=2，y=0所圍成的曲邊梯形的面積13.設(shè) O x1 x2 x2 sinx3-sinx2x3-x2 .X2 14設(shè)，y=f(x)是定義在0，1上且取值于0，1上的連續(xù)函數(shù)證明，存在x00，1，使得f(x0)+x03=1試卷代號(hào)：1087國(guó)家開放大學(xué)2 0 1 9年秋季學(xué)期期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)分析專題研究試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（半開卷）（供參考） 2020年1月一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共20分） 1. C 2.D 3.A 4.D 5.A二、填空題（每小題4分，共20分） 6.(B -C)7.8.(-1)k2k+1! 9.E0，aA，使得x0-10.+三、計(jì)算題（每小題15分，共30分） 1

4、1.求fx=3x2+12x+1的斜漸近線方程. 解 設(shè)所求f(x)的斜漸近線方程為y=ax+b，則 =limxf(x)x=limx1x3x2+12x+1=32 (7分) b=limxfx-ax=limx3x2+12x+1-32x =limx6x2+2-6x2-3x2(2x+1)=-34 (14分) 故所求的漸近線方程為y=32x-34. （15分） 12.求y=3x+sinx，x=0，x=2，y=0所圍成的曲邊梯形的面積. 解 設(shè)所求曲邊梯形面積為S，則 S=02(3x+sinx)dx （8分） =(32x2-cosx)20 (12分)=382+1 (15分)四、證明題（每小題15分，共30分

5、） 13.設(shè)0 x1x2x3sinx3-sinx2x3-x2. 證明 由拉格朗日中值定理可得sinx2-sinx1x2-x1=sinxx=c1=cosc1 (5分) sinx3-sinx2x3-x2=sinxx=c2=cosc2 （10分）其中，0 x1c1x2c2x3cosc2 (12分)故有 sinx2-sinx1x2-x1sinx3-sinx2x3-x2 (15分) 14.設(shè)y=f(x)是定義在0，1上且取值于0，1上的連續(xù)函數(shù).證明，存在x0，1，使得f(x0)+x03=1. 證明設(shè)x=1-x3，令gx=x-fx，則g(x)在0，1上連續(xù)，且 g0=1-f00，g1=-f(1)0. （

6、10分） 若g0=0或g1=0，則選取x0=0或x0=1即可 （12分） 否則，g(0)0，g(1)0，定義Lx=1x1tdt，則對(duì)于x0，y0，有Lxy=L(x) _L(y)三、計(jì)算題（每小題15分，共30分）11已知x+2x-y+4y=2，求dydx12已知2f2-x+fx=3x+6，求f(x)四、證明題（每小題15分，共30分）13證明：limn01xn1+xdx=0 14設(shè)f(x)是a,b上的連續(xù)函數(shù)，x1，x2，x3a,b，證明，至少存在一點(diǎn)x0a,b，使得fx0=16f(x1)+13f(x2)+12f(x3)試卷代號(hào)：1087國(guó)家開放大學(xué)2 0 2 0年春季學(xué)期期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)分析

7、專題研究 試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（供參考） 2020年7月一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共20分） 1A 2B 3D 4A 5C二、填空題（每小題4分，共20分） 6(B-C) 7 8(-1)k2k! 90，aA，使得ax0+ 10. -三、計(jì)算題（每小題15分，共30分） 11已知x+2x-y+4y=2，求dydx 解 對(duì)等式x+2x-y+4y=2兩端關(guān)于x求導(dǎo)得 （5分） 1+（x-y）-121-yx+4yx=0 （10分） 由此解得 yx= l+（x-y）-12（x-y）-12-4 =x-y+11-4x-y （15分） 12.已知2f2-x+fx=3x+6，求f(x) 解 對(duì)等式2f2-x+f

8、x=3x+6 (1) 做變量替換，令t=2-x，則x=2-t，得 2f(t) +f(2-t)=6-3t+6 (2) (5分) 再令(2)式中x=t，得 2fx+f2-x=12-3x (3) （10分） 由(1)式和(3)式得 -3f(x)=-18+9x f(x)=-3x+6 （15分）四、證明題（每小題15分，共30分） 13.證明limn01xn1+xdx=0 證明 001xn1+xdx （5分）又有 01xn1+xdx01xndx （10分）01xndx=1n+1xn+1|01=1n+1 （12分） 故0limn01xn1+xdxlimn01xndx=limn1n+1=0故limn01xn1+xdx=0 （15分）14設(shè)f(x)是a，b上的連續(xù)函數(shù)，x1，x2，x3a，b，證明，至少存在一點(diǎn)x0a，b，使得f(x0)=16f(x1)+13f(x2)+12f(x3) 證明 因f(x)在a，b上連續(xù)，故有最大值M與最小值m，使得 16m1