1數(shù)學(xué)類線性代數(shù)課件ds4-nxpowerlite

1、1第四章 相似矩陣及二次型1 向量的內(nèi)積、長度及正交性2 方陣的特征值與特征向量3 相似矩陣4 對(duì)稱矩陣的相似矩陣5 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形6 正定二次型2在空間解析幾何中，設(shè)向量則數(shù)量積為且1 向量的內(nèi)積、長度及正交性長度為：3定義1設(shè)有 n 維向量稱為向量 與 的內(nèi)積.即：設(shè) x , y , z 為 n 維向量，為實(shí)數(shù).(i)(ii)(iii)性質(zhì)()且當(dāng) 時(shí)有4.1.1 向量的內(nèi)積與長度定義1設(shè)有 n 維向量稱為向量 與 的內(nèi)積.定義1設(shè)有 n 維向量稱為向量 與 的內(nèi)積.4當(dāng) 時(shí)，稱 為單位向量.定義2 稱為n 維向量 x 的長度.或范數(shù).性質(zhì)：1.非負(fù)性當(dāng)x 0時(shí)，當(dāng)x =0時(shí)，2.齊次性

2、3.三角不等式當(dāng) 時(shí)，稱為 n 維向量 與 的夾角. 與 正交：若 ，則 與任何向量都正交.-施瓦茨不等式于是4.1.1 向量的內(nèi)積與長度定義35例4-2 已知 3 維向量空間 R3 中兩個(gè)向量之間的夾角 .解：根據(jù)公式：即6解：由即例4-3 求5 維向量空間中兩向量之間的夾角 ，并將其單位化.由時(shí)7于是有：84.1.2 正交向量與正交向量組 與 正交：定義5若 n 維向量 是一組兩兩正交的非零向量，則該向量組稱為正交向量組定義5若 n 維向量 是一組兩兩正交的非零向量，則該向量組稱為正交向量組定義4 9（正交向量組）定理1若 n 維向量 是一組兩兩正交的非零向量，則線性無關(guān).證 設(shè)有 使類似

3、可證 因此向量組 線性無關(guān).4.1.2 正交向量與正交向量組10如是 R4 的一個(gè)規(guī)范正交基.定義6（正交基）如果 兩兩正交，且都是單位向量，則稱是 V 的一個(gè)規(guī)范正交基.設(shè) n 維向量 是向量空間 的一個(gè)基，11例4-4 已知 3 維向量空間 R3 中兩個(gè)向量正交，試求一個(gè)非零向量 ,使 兩兩正交.解設(shè)則得基礎(chǔ)解系令 ，取即所求.12若 是 V 的一個(gè)規(guī)范正交基，那么 V 中的任一向量應(yīng)能由 線性表示，設(shè)表示式為如何求 V 的規(guī)范正交基？設(shè) 是向量空間 V 的一個(gè)基，要求 V 的一個(gè)規(guī)范正交基，也就是要找一組兩兩正交的單位向量 ，使與等價(jià).這樣一個(gè)問題，稱為把這個(gè)基規(guī)范正交化.證：則13施密

4、特正交化方法第一步：顯然 兩兩正交，且 與 等價(jià)，14第二步：再把 單位化：取就得到 V 的一個(gè)規(guī)范正交基.15例4-5 設(shè) 用施密特正交化過程把這組向量規(guī)范正交化.解 取16再把它們單位化，取即為所求.17補(bǔ)充 已知 求一組非零向量 使 兩兩正交. 解應(yīng)滿足方程 ，即得基礎(chǔ)解系：取及及把基礎(chǔ)解系正交化：取即所求.18定義7：如果 n 階矩陣 A 滿足（即 ），那么稱 A 為正交矩陣.亦即即由于 與 等價(jià)，結(jié)論定理2 方陣 A 為正交矩陣的充分必要條件是A 的列向量都是單位向量，且兩兩正交.推論 方陣 A 為正交矩陣的充分必要條件是A 的行向量都是單位向量，且兩兩正交.結(jié)論4.1.3 正交矩陣與正交變換19補(bǔ)充 驗(yàn)證矩陣是正交矩陣.A 的每個(gè)列向量都是單位向量,且兩兩正交, 故A是正交矩陣.注正交矩陣A的n個(gè)列（行）向量構(gòu)成向量空間Rn的一個(gè)規(guī)范正交基.20定義8若 P 為正交矩陣，則線性變換 稱為正交變換.設(shè) 為正交變換，則有正交變換不改變線段的長度.正