73簡單線性規(guī)劃

1、7.3簡單線性規(guī)劃一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)理解二元一次不等式表示平面區(qū)域了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用二，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)有直線Ax + By + C = 0（B不為0）及點(diǎn)P（x0, y0），貝ij（1）若B0, Ax 0 + By 0 + C 0,則點(diǎn)P在直線的上方，此時不等式Ax + By + C 0表示直線Ax + By + C = 0的上方的區(qū)域；（2）若B0, Ax0 + By0 + C 0，則點(diǎn)P在直線的下方，此時不等式Ax + By + C 0表示直線Ax + By + C = 0的下方的區(qū)域；（3）若B0 （或V0）中y項(xiàng)的系數(shù)

2、B化為正值.線性規(guī)劃：（1）滿足線性約束條件Ax+By+C0 （或V0）的解（x,y）叫可行解；所有可行解組成 的集合叫可行域；（2）在數(shù)學(xué)或?qū)嶋H中，常需要求出滿足不等式組的解中，使目標(biāo)函數(shù)z=ax+by取得最大值或 最小值的解（乂了）,（叫最優(yōu)解）,這里約束條件和目標(biāo)函數(shù)都是x,y的一次式，所以我們把這類問 題叫線性規(guī)劃.解線性規(guī)劃問題，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，必須認(rèn)真分析題目，理清頭緒，量多 時可以列成表格,找出所有約束條件，列出不等式組，再結(jié)合圖形求出最優(yōu)解.若實(shí)際問題要求最優(yōu)解必為整數(shù)，而我們利用圖解法得到的解不是整數(shù)解，應(yīng)作適當(dāng)?shù)?調(diào)整，方法是以“與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離”，

3、在直線附近找出與此直線距離最近的點(diǎn).三、雙基題目練練手y x1.（2006天津）設(shè)變量x、y滿足約束條件j x + y 2，則目標(biāo)函數(shù)z = 2 x + y的最小 y 3 x - 6值為（）A. 2B. 3C. 4D. 9x 0y 02. （2006廣東）在約束條件j, 下，當(dāng)3 s 5時，x+y sy + 2 x 4目標(biāo)函數(shù)z = 3尤+ 2 y的最大值的變化范圍是A 6,15 B 7,15 C 6,8 D 7,8（2006湖北9）已知平面區(qū)域D由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部 和邊界組成.若在區(qū)域D上有無窮多個點(diǎn)（x，y）可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值，則

4、m=（）A. -2B. -1C. 1D. 4不等式I x -11 + I y -11 2表示的平面區(qū)域的面積等于；某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料A和原料B分別為。千克，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料A和原料B分別為a、b千克甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤分別為d、d元.月初一次2212性購進(jìn)本月用原料A、B各罕C2千克.要計劃本月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少千克才能使 月利潤總額達(dá)到最大.在這個問題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x千克、y千克， 月利潤總額為z元，那么，用于求使總利潤z = d1 x + d2y最大的數(shù)學(xué)模型中，約束條件為；y x ，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么IPO I、x N1的最小值等于,最大

5、值等于.x - y - 2 ,則的最大值是.x2 y - 3 不等式組 表示的平面區(qū)域的面積等于。1 |x - 2| 3簡答：1-3. BDA;2.由|x+ y =得交點(diǎn)為： y + 2 x = 4A（2,）, B（4 - s,2 s - 4）, C（, s）, C（,4），（1）當(dāng)3s4時可行域是四邊形OABC，此時，7 z 8（2）當(dāng) 4 s 5 時可行域是OAC，zmax= 8.a x + a y c , TOC o 1-5 h z 121_ao.eb x + b y 。，2y 四、經(jīng)典例題做一做、十 4 J 、【例 1】設(shè) x,y 滿足約束條件 3工 + 5y 1（x,y均為整數(shù)）的最

6、大值，最小值。解：（1）先作出可行域，如圖所示中AABC的區(qū)域，且求得 A(5,2),B(1,1),C(1，m )作出直線L0： 6x+10y=0，再將直線L0平移當(dāng)L0的平行線過B點(diǎn)時，當(dāng)L0的平行線過A點(diǎn)時，所以 zmin=16;z=50max（2）同上，作出直線L0： 當(dāng)L0的平行線過C點(diǎn)時， 當(dāng)L0的平行線過A點(diǎn)時，12所以 zmin= - 5 16；zmax=8可使z=6x+10y達(dá)到最小值可使z=6x+10y達(dá)到最大值2x-y=0，再將直線L0平移，可使z=2x-y達(dá)到最小值可使z=2x-y達(dá)到最大值（3）同上，作出直線L0： 2x-y=0，再將直線L0平移，12當(dāng)L0的平行線過C

7、點(diǎn)時，可使z=2x-y達(dá)到最小值-y當(dāng)L0的平行線過A點(diǎn)時，可使z=2x-y達(dá)到最大值822但由于M不是整數(shù)，而最優(yōu)解（x,y）中，x,y必須都是整數(shù)22所以可行域內(nèi)的點(diǎn)。（1,石）不是最優(yōu)解當(dāng)L0的平行線經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)（1,4）時，可使z=2x-y達(dá)到最小值所以 zmin=-2.幾個結(jié)論：（1）、線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲狄话阍诳尚杏虻捻旤c(diǎn)處取得，也可能在 邊界處取得。（如：上題第一小題中z=6x+10y的最大值可以在線段AC上任一點(diǎn)取到）（2）、求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義在y軸上的截距或其相反數(shù)。3、線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用【例2】某人上午7時，乘摩托艇以

8、勻速v n mile/h（4WvW20）從A港出發(fā)到距50 n mile 的B港去，然后乘汽車以勻速w km/h （30WwW100）自B港向距300 km的C市駛?cè)?yīng)該在同一天下午4至9點(diǎn)到達(dá)C市設(shè)乘汽車、摩托艇去所需要的時間分別是x h、j h作圖表示滿足上述條件的x、j范圍；如果已知所需的經(jīng)費(fèi)p=100+3X(5x) +2X(8j)(元)，那么小w分別是多少時走得最經(jīng)濟(jì)?此時需花費(fèi)多少元？分析：由p=100+3X(5x) +2X(8j)可知影響花費(fèi)的是3x+2j的取值范圍解：(1)依題意得 u=四，w= , 4WuW20, 30WwW100 j x TOC o 1-5 h z HYPER

9、LINK l bookmark120 o Current Document 一一 5 一一 25-.3WxW10,WjW22由于乘汽車、摩托艇所需的時間和x+j應(yīng)在9至14個小時之間，即 9Wx+jW14因此，滿足的點(diǎn)(x, j)的存在范圍是圖中陰影部分(包括邊界)(2)V p=100+3 -(5x) +2 (8j),3x+2j=131p設(shè)131 p=k，那么當(dāng)k最大時，p最小在通過圖中的陰影部分區(qū)域(包括邊界)且斜率為,的直線3x+2j=k中，使k值最大的直線必通過點(diǎn)10, 4),即當(dāng)x=10, j=4時，p最小2此時，*125, w=30, p的最小值為93元點(diǎn)評：線性規(guī)劃問題首先要根據(jù)實(shí)

10、際問題列出表達(dá)約束條件的不等式然后分析要求量 的幾何意義【例3】某公司計劃在今年內(nèi)同時出售變頻空調(diào)機(jī)和智能洗衣機(jī)，由于這兩種產(chǎn)品的市 場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實(shí)際情況(如資金、勞動力)確 定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤達(dá)到最大已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和 勞動力，通過調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:(表中單位:百元)資金單位產(chǎn)品所需資金月資金供應(yīng)量空調(diào)機(jī)洗衣機(jī)成本3020300勞動力：工資510110單位利潤68試問：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤達(dá)到最大，最大利潤是多少?解：設(shè)空調(diào)機(jī)、洗衣機(jī)的月供應(yīng)量分別是x、j臺，總利 潤是P,則

11、P=6x+8j,由題意有 30 x+20jW300, 5x+10jW110, x30, j30, x、j 均為整數(shù)31由圖知直線j= 4x+ P過M (4, 9)時，縱截距最大這時P也取最大值Pma=6 X 4+8 X 9=96 (百元)故當(dāng)月供應(yīng)量為空調(diào)機(jī)4臺，洗衣機(jī)9臺時，可獲得最大利潤9600元【例4】某礦山車隊(duì)有4輛載重量為10 t的甲型卡車和7輛載重量為6 t的乙型卡車， 有9名駕駛員此車隊(duì)每天至少要運(yùn)360 t礦石至冶煉廠已知甲型卡車每輛每天可往返6次， 乙型卡車每輛每天可往返8次甲型卡車每輛每天的成本費(fèi)為252元，乙型卡車每輛每天的成本費(fèi)為160元問每天派出甲型車與乙型車各多少輛

12、，車隊(duì)所花成本費(fèi)最低？分析：弄清題意，明確與運(yùn)輸成本有關(guān)的變量的各型車的輛數(shù)，找出它們的約束條件， 列出目標(biāo)函數(shù)，用圖解法求其整數(shù)最優(yōu)解解：設(shè)每天派出甲型車x輛、乙型車j輛，車隊(duì)所花成本費(fèi)為z元，那么j - 910 x 6 x + 6 x 8 j 360 x 4, x e N5x+4y=30j 7, j e Nz=252x+160j， 沖 作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖_作出直線撲252x+160j=0，把直線l向右上方平移，二宇+尸9 .使其經(jīng)過可行域上的整點(diǎn)，且使在j軸上的截距最小觀察圖形，可見當(dāng)直線252x+160j= 經(jīng)過點(diǎn)（2, 5）時，滿足上述要求此時，z=252x+

13、160j 取得最小值，即 x=2，j=5 時，zmin=252X 2+160X5=1304答：每天派出甲型車2輛，乙型車5輛，車隊(duì)所用成本費(fèi)最低解題回顧：用圖解法解線性規(guī)劃題時，求整數(shù)最優(yōu)解是個難點(diǎn)，對作圖精度要求較高， 平行直線系f（x，j） =t的斜率要畫準(zhǔn)，可行域內(nèi)的整點(diǎn)要找準(zhǔn)，最好使用“網(wǎng)點(diǎn)法”先作 出可行域中的各整點(diǎn)五.提煉總結(jié)以為師1.二元一次不等式表示的區(qū)域,線性規(guī)劃等；2解線性規(guī)劃問題的步驟：（1）設(shè):先設(shè)變量，列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)；（2）畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；（3）移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共 點(diǎn)且縱截距最大或最小的

14、直線；（4）求：通過解方程組求出最優(yōu)解；（5）答：作出答案。同步練習(xí)7.3簡單線性規(guī)劃【選擇題】下列命題中正確的是A.點(diǎn)（0，0）在區(qū)域x+j30內(nèi) B.點(diǎn)（0，0）在區(qū)域x+j+12x內(nèi) D.點(diǎn)（0，1）在區(qū)域x-j+10內(nèi)x - j +1 0（2006安徽）如果實(shí)數(shù)x、j滿足條件j +1 0 ，那么2x- j的最大值為（）x + j +1 0,3. (2006浙江)在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組 0,表示的平面區(qū)域的面積、X 2是(_)_A. 42B.4C. 2(2D.2【填空題】設(shè)集合 A= (x, y) I x, y,1 - X - y是三角形的三邊長，則A所表示的平面區(qū)域的面積是(20

15、06重慶)已知變量X , y滿足約束條件1 X + y 4,-2 X- y 0 )僅在點(diǎn)(3,1)處取得最大值，則a的取值范圍為。(2005湖北)某實(shí)驗(yàn)室需購某種化工原料106千克，現(xiàn)在市場上該原料有兩種包裝， 一種是每袋35千克，價格為140元；另一種是每袋24千克，價格為120元.在滿足需要的 條件下，最少要花費(fèi) 元.簡答.提示： 1-3.ABB；4. 1 ；5. a 1 ；6. 5008【解答題】1)內(nèi)，另一個根在(1, 2)內(nèi)，求:a+b+2 1)；(2)(8, 17)；(3)7.實(shí)系數(shù)方程f (x) =x2+ax+2=0的一個根在(0, b 2史2的值域；a 1 (a1) 2+ (b

16、2) 2的值域；a+b3的值域解：由題意知f (0)0, f (1)V0, f (2)0n b0, a+b+1V0,0如圖所示 A (3, 1)、B (2, 0)、C ( 1, 0)又由所要求的量的幾何意義知，值域分別為(1) (5，4)8畫出以A (3,1)、B ( 1, 1)、C (1, 3)為頂點(diǎn)的ABC的區(qū)域(包括各邊)， 寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域?yàn)榭尚杏虻哪繕?biāo)函數(shù)z=3x2y的最 大值和最小值分析：本例含三個問題：畫指定區(qū)域；寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達(dá)式一一不等式組； 求以所寫不等式組為約束條件的給定目標(biāo)函數(shù)的最值解：如圖，連結(jié)點(diǎn)A、B、C,則直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域?yàn)樗驛BC區(qū)域直線AB的方程為x+2y1=0, BC及CA的直線方程分別為xy+2=0, 2x+y5=0在 ABC 內(nèi)取一點(diǎn) P (1, 1),分別代入 x+2y 1, xy+2, 2x+y5得 x+2y 10, xy+20, 2x+y 5 122 x + y 15- 一 一X + 3 y 27x 0, y 0, x, y g N一9 15作出可行域，得Z1與13的交點(diǎn)為A（ 2, 2）當(dāng)直線