77楔形體頂端受集中力或集中力偶

1、7.6帶圓孔平板的均勻拉伸學(xué)習(xí)思路：平板受均勻拉力q作用，平板內(nèi)有半徑為a的小圓孔。圓孔的存在，必 然對(duì)應(yīng)力分布產(chǎn)生影響?？卓诟浇膽?yīng)力將遠(yuǎn)大于無孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔 口稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力。這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。孔口的應(yīng)力集中，根據(jù)局部性原理，影響主要限于孔口附近區(qū)域。根據(jù)上述分析，在與小圓孔同心的厚壁圓筒上，應(yīng)力可以分為兩部分：一部分是 沿外圓周作用的不變的正應(yīng)力，另一部分是以三角函數(shù)變化的法向力和切向力。 對(duì)于前者是軸對(duì)稱問題；或者根據(jù)問題性質(zhì)可以確定應(yīng)力函數(shù)后求解?？卓趹?yīng)力分析表明，孔口應(yīng)力集中因子為3。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：帶圓孔平板拉伸問題厚壁圓筒應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力與邊界條件孔口應(yīng)力設(shè)平板在X方向受均勻

2、拉力q作用，板內(nèi)有一個(gè)半徑為a的小圓孔。圓孔的 存在，必然對(duì)應(yīng)力分布產(chǎn)生影響。如圖所示?？卓诟浇膽?yīng)力將遠(yuǎn)大于無孔時(shí)的 應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔口稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力。這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。孔口的應(yīng)力集中，根據(jù)局部性原理，影響主要限于孔口附近區(qū)域。隨著 距離增加，在離孔口較遠(yuǎn)處，這種影響也就顯著的減小。根據(jù)上述分析，假如b與圓孔中心有足夠的距離，則其應(yīng)力與無圓孔平 板的分布應(yīng)該是相同的。因此= qco 伊=? (1 + cos2?)上述公式表明在與小圓孔同心的，半徑為b的圓周上，應(yīng)力可以分為兩部分：一部分是沿外圓周作用的不變的正應(yīng)力，其數(shù)值為；另一部分是隨中變化的法向力”cos2中和切向力sin2中。對(duì)于沿

3、厚壁圓筒外圓周作用的不變的正應(yīng)力，其數(shù)值。由此產(chǎn)生=Q2-Q1 + 9甘 _q擴(kuò)E1b2-a2_。書冬f 擴(kuò) 一 b2-a2 p2的應(yīng)力可用軸對(duì)稱應(yīng)力計(jì)算公式辨：計(jì)算。則這里，將均勻法向應(yīng)力作為外加載荷作用于內(nèi)徑為a，外徑為b的厚壁圓筒的外圓周處。使得問題成為一個(gè)典型的軸對(duì)稱應(yīng)力。對(duì)于厚壁圓筒的外徑作用隨2中變化的法向外力cos2中和切向外力sin2中,如圖所示根據(jù)面力邊界條件，厚壁圓筒的應(yīng)力分量也應(yīng)該是2中的函數(shù)。由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng) 力分量的關(guān)系可以看出，由此產(chǎn)生的應(yīng)力可以由以下形式的應(yīng)力函數(shù)求解，即件 3*）二伊將上述應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式代入變形協(xié)調(diào)方程布肋# W瀝# W ，可得f（p）所要滿足的方

4、程（喪一+-&客+-與二。dp p p d/? P P即。學(xué)睥*#9年=。dp dp ap dp上述方程是歐拉（Euler）方程，通過變換可成為常系數(shù)常微分方程，其通 解為因此，將其代入公式片3沖）=伊，可得應(yīng)力函數(shù)為啊 3,時(shí)=p2 + C*7 + 2?)cos2因此，應(yīng)力分量為11 SVf s SCcb/一 聲+ n 成二一(柵+ + n)海*p &p p a 乎p p% 二(M+12M + 箏*r = -A(1M)二(n + 6&?寫-當(dāng))sin 2(p應(yīng)力分量表達(dá)式中的待定常數(shù)A, B, C, D可用邊界條件確定，本問題 的面力邊界條件為叫風(fēng)=S喝保=Jg喝卷=一 |sin羽將應(yīng)力分量

5、代入上述邊界條件，則2+ 6酣字號(hào)駕2A + 6Ba2 竺竺二。聯(lián)立求解上述方程，并且注意到對(duì)于本問題，a/bf,可得婦普 5 = 0? C= D = y將計(jì)算所得到系數(shù)代入應(yīng)力分量公式_ 1 d% 上 1 泌 _ 兒6。上 41bq -+ - -(2+ +)cos2 p ap p a(pp p% 二= S+ 12軟衛(wèi) +)cos2W-射景EE亍*心sin2中的計(jì)算所得結(jié)果與將隨中變化的法向力/2 cos2中和切向力 沿外圓周作用的不變的正應(yīng)力%結(jié)果相疊加，則上述應(yīng)力分量表達(dá)式表明，如果P相當(dāng)大時(shí)，上述應(yīng)力分量與均勻拉伸 的應(yīng)力狀態(tài)相同。對(duì)于孔口應(yīng)力，即P =a時(shí)，有叫四=殊如=口 = ，=q

6、-2q cos2最大環(huán)向應(yīng)力發(fā)生在小圓孔的邊界上的中二兀/2和中二3兀/2處，其值為這表明，當(dāng)板很大而孔很小時(shí)，則圓孔的孔口將有應(yīng)力集中現(xiàn)象。通常 把最大應(yīng)力與平均應(yīng)力的比值用于描述應(yīng)力集中的程度。即K稱為應(yīng)力集中因子。對(duì)于平板受均勻拉伸問題，K=3。7.7楔形體頂端受集中力或集中力偶學(xué)習(xí)思路：本節(jié)將推導(dǎo)有關(guān)楔形體的幾個(gè)有實(shí)用價(jià)值的解答。對(duì)于彈性力學(xué)問題的求解，重要的問題是確定應(yīng)力函數(shù)的形式。由于楔 形體幾何形狀的特殊性，本身沒有任何描述長度的幾何參數(shù)，借助于幾何特性， 可以找到應(yīng)力函數(shù)的基本形式，然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)方程得到應(yīng)力函數(shù)。楔形體彈性力學(xué)解答可以推廣為半無限平面應(yīng)力的解答，這對(duì)于工程問

7、 題的求解具有指導(dǎo)意義。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：楔形體作用集中力問題的應(yīng)力函數(shù)楔形體邊界條件楔形體應(yīng)力；半無限平面作用集中力楔形體受集中力偶作用楔形體受集中力偶作用的應(yīng)力討論題：楔形體頂端應(yīng)力和無窮遠(yuǎn)應(yīng)力分析設(shè)有一楔形體，其中心角為以，下端可以認(rèn)為是伸向無窮遠(yuǎn)處。首先討論楔形體在其頂端受集中力作用，集中力與楔形體的中心線成。角。 設(shè)楔形體為單位厚度，單位厚度所受的力為四，極坐標(biāo)系選取如圖所示。通過量綱分析可以確定本問題應(yīng)力函數(shù)的形式。由于楔形體內(nèi)任一點(diǎn)的 應(yīng)力分量將與F成正比，并與以，。，p和中有關(guān)。由于F的量綱為MT-2, p 的量綱為L-1，而以，P和中是無量綱的，因此各個(gè)應(yīng)力分量的表達(dá)式只能取p 的負(fù)

8、一次幕。而根據(jù)應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式，其p的幕次應(yīng)比各應(yīng)力分量p的幕次高兩次。因此可以假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為中的某個(gè) 函數(shù)乘以p的一次幕。有例頃，伊)二 (?)將上 述應(yīng)力 函數(shù)表 達(dá)式代 入 變形協(xié) 調(diào)方程(21+1A+J_21xl + 1M + J_l) = 0布 Q% pF 布 E pF，可得f()所要滿足的方程。即與如2普+加=。/? d 礦 d2W + 2 紂 6 d歸d歹求解上式，可得f(p) = Acos(p+ Esin 一+ 伊(Ceos+ Dsin 伊)其中A，B，C和D為待定常數(shù)，將上式代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式可得，% (p師)-Apcos q) + 牛win q? + p(p(Cp + Dsi

9、n = Ax + By _ ez , _ ,八曰由于為線性項(xiàng)，不影響應(yīng)力分量的計(jì)算，因此可以刪去。因此應(yīng)力函數(shù)為如（P,研 -Q伊（Cc眼歹 + Isin p）由應(yīng)力分量表達(dá)式，可得楔形體的應(yīng)力分量現(xiàn)在的問題是利用面力邊界條件確定待定常數(shù)。楔形體左右兩邊的面力邊界條件為b =0, 丁 =0Pl?-y網(wǎng)I心亍已經(jīng)自然滿足。此外還有一個(gè)應(yīng)力邊界條件：在楔形體頂端附近的一小 部分邊界上有一組面力，它的分布沒有給出，但已知它在單位寬度上的合力為F。如果取任意一個(gè)截面，例如圓柱面ab，如圖所示。則該截面的應(yīng)力分量必然和上述面力合成為平衡力系，因此也就必然和力F 形成平衡力系。于是得出由應(yīng)力邊界條件轉(zhuǎn)換而

10、來的平衡條件 此二 0 jcos(ppA(p + F cosg = 0立Z 馬二。 I sin 9+ Z7 sin = 0將應(yīng)力分量表達(dá)式代入上式，則2 J (Deos2 tp- C sin ?cos+ F cos - 02 J (Deos2 尹一。sin 夕cos夕)d伊 + Fsin =0積分可得D(sin a + a) + F cos /? = 0C(sin a -a)+ F sin = 0Fsin/Ja -sm aID _F cosJsinff +將常數(shù)C和D代入應(yīng)力分量表達(dá)式，則本問題的解答為_ 277cosJcos + sin/?sin p sin or + or a - sin

11、a % 二上述楔形體應(yīng)力在 等于0時(shí)，將趨于無限大。即在載荷作用點(diǎn)的應(yīng)力 無限大，解答是不適用的。但是如果外力不是作用于一點(diǎn)，而是按照上述應(yīng)力分 布作用于一個(gè)小圓弧區(qū)域，上述解答則為精確解。根據(jù)圣維南原理，除了力的作用點(diǎn)附近，解答是有足夠精度的。在上述楔形體問題中，如果令a=兀，p = 0,則轉(zhuǎn)化為彈性半無限平面作用集中力問題。將以=兀，。=0代入楔形體應(yīng)力表達(dá)式_ 2F（0夕（:瞞夕 * sin 點(diǎn)sin 夕）* p sina a a - sin a% 二 = ,則彈性半無限平面作用集中力作用的應(yīng)力表達(dá)式為2FCF = 8S 伊7TQ弓二0彈性半無限平面作用集中力作用的應(yīng)力場(chǎng)具有以下特點(diǎn)：b

12、p為主應(yīng)力,其余主應(yīng)力為0。在直徑為d,圓心在x軸并且與y軸相切于原點(diǎn)O的圓上，由于該圓 上任意一點(diǎn)滿足p = dcos中，所以，圓上任意一點(diǎn)應(yīng)力為b =-2F/兀d。這就是說，圓上任意一點(diǎn)應(yīng)力，除載荷作用點(diǎn)以外， p各點(diǎn)應(yīng)力和。相同。p此圓為等徑向應(yīng)力的軌跡線，稱為壓力泡。3.為等色線。由于此圓最大切應(yīng)力cma疔bp/2=const，因此在光彈性實(shí)驗(yàn)中，又稱主應(yīng)力軌跡為一組以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的放射線。最大切應(yīng)力軌跡為一組與主應(yīng)力軌跡夾45度角的曲線，其軌跡為對(duì)數(shù) 螺線。以下討論楔形體的頂端受有集中力偶作用問題，如圖所示設(shè)單位寬度的力偶矩為M。根據(jù)和楔形體受集中力相同的量綱分析，可見在各應(yīng)力分量

13、的表達(dá)式中， 只能是以p負(fù)二次幕出現(xiàn)，因此應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式應(yīng)該與p無關(guān)。也就是%二狗（時(shí)將上式代入變形協(xié)調(diào)方程（2L+4里+土2L）（性l+Jl西1 + 土性1）二。布Q*布E，可得?。ㄎ锼獫M足的方程W黑心牛二0p d歹d歹求解這一關(guān)于中的常微分方程，可得?。ú剑?A cos2? + 召 win 2 歹 + C（p + D其中A, B, C和D為待定常數(shù)。求解前，首先作結(jié)構(gòu)分析。由于楔形體頂端作用集中力偶，因此為反對(duì) 稱結(jié)構(gòu)。其正應(yīng)力應(yīng)為中的奇函數(shù)，而切應(yīng)力分量應(yīng)為中的偶函數(shù)。由此可見，A = D = 0，則應(yīng)力函數(shù)簡化為（夕）=召sin 2伊 + Cp則由極坐標(biāo)應(yīng)力分量表達(dá)式，楔形體的應(yīng)力分

14、量為對(duì)于楔形體問題，邊界條件要求CT = 0pp = r占=C網(wǎng)舊=尋由應(yīng)力分量表達(dá)式可見，前一條件總能滿足，而后一條件要求C = -2Bcos 以同樣考慮ab以上部分的平衡條件，則Z虬=0j膈妒傾+M 5積分后可得2B = -sins - cosff將計(jì)算所得的系數(shù)回代應(yīng)力分量表達(dá)式_ 2M sin2j* (sin a - tzcoscr)/?2% 二_ M(zqs2(p - cosct)徹 (sin a - or cosct)/?2大家可以自己證明上述應(yīng)力分量也可滿足以上部分的另外兩個(gè)平衡條件，即兀=。，孔=塞在楔形體問題中，我們?cè)俣ㄐㄐ误w頂端所受的力或力偶是集中作用的， 因此計(jì)算所得的應(yīng)力分量在 =0處成為無限大。實(shí)際上，集中在一點(diǎn)的力