從一道高考題思考學生的數(shù)學核心素養(yǎng)

1、從一道高考題思考學生的數(shù)學核心素養(yǎng)摘要：2019年全國一卷理科數(shù)學：21題以數(shù)列加概率綜合的形式取代了以往函數(shù)與導數(shù)壓軸題的位置。在限定時間內(nèi)要快速理解題意并克服題型變換的壓力，無疑增加了考生答題的難度。筆者對此題及學生的答題情況進行具體分析，思考學生在數(shù)學核心素養(yǎng)上的缺失。關(guān)鍵詞：高考數(shù)學;解題;數(shù)學核心素養(yǎng)問題的呈現(xiàn)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗。試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗。對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥。一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗。當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停

2、止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效。為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈期兩種藥均得0分。甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和一輪試驗中甲藥的得分記為X。.略;.若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，Pi(i=0,1,，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則P0=0,P8=1,其中Pi=aPi-1+bPi+cPi+1(i=1,2,，7),其中a=P(x=-1),b=P(x=0),c=P(x=1).假設a=0.5,

3、3=0.8o(i)證明：Pi+1-Pi(i=0,1,，7)為等比數(shù)列；(ii)求P4,并本據(jù)P4的值解釋這種試驗方案的合理性。問題的難點難點一：無法適應試卷結(jié)構(gòu)，認為題目的閱讀量較大，對題目的信息理解不到位，覺得讀不懂題。難點二：目標不知如何轉(zhuǎn)化，證明等比數(shù)列的常規(guī)方法是證明Pi+1-PiPi-Pi-1=q(常數(shù))，但從題干的等式中難以得出需要的目標式。難點三：能證明出Pi+1-Pi(i=0,1,，7)為等比數(shù)列，但由于得不到P1而無法求得P4。難點四：無法根據(jù)P4的值解釋試驗方案的合理性。問題的分析與解決問題的分析本題通過概率為載體，考查了概率統(tǒng)計和數(shù)列的交匯，以及概率與統(tǒng)計的實際應用。在題

4、目的背后，需要學生具備數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學學科核心素養(yǎng)。問題的解決理解題目本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學抽象核心素養(yǎng)突破難點一由于本題題干較長，試驗的規(guī)則較復雜，學生在短暫的時間里可能摸不著頭腦。要有效地解決這個問題，需要對題干的信息進行簡單的整理和加工。從對試驗方案的理解中我們意識到一輪試驗是一次隨機試驗，即分配兩只小白鼠分別試驗甲藥和乙藥是隨機的，所以兩次試驗是獨立的。這樣一輪下來會得到四個結(jié)果，我們抽象成如下的表1（這里用符號，表示治愈，X表示未治愈）：對文字的抽象可以更清晰地幫助我們理解題意，方便后面解題，但是這種抽象更多的是一種翻譯，還停留在表層，我們需要進一步抽象。隨著試驗

5、的不斷進行，這就是獨立重復試驗，這個試驗結(jié)束的時刻是當其中的一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，如果還是不能理解，我們可以舉一個具體的例子看看甲有效的情況，如表2：通過上述例子可以發(fā)現(xiàn)要結(jié)束試驗，EXi=-EYi,更近一步，當且僅當匯Xi=4或-4時，試驗結(jié)束。到此，數(shù)學抽象幫助我們深刻地理清了題意及考查的大致知識情況。建立數(shù)學模型，培養(yǎng)數(shù)學建模核心素養(yǎng)突破難點二在清楚題意之后，難點就變成了如何證明等比數(shù)列。等比數(shù)列這個數(shù)學模型的本質(zhì)特點是：一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數(shù)q（qw0）,即aiwo,anan-1=q。如果能熟練運用這個模型，學生會知道要證明P

6、i+1-Pi（i=0,1,，7）為等比數(shù)列即要得到Pi+1-PiPi-Pi-1=q（常數(shù)）或Pi+2-Pi+1Pi+1-Pi=q（常數(shù)）。更近一步，觀察題干可以發(fā)現(xiàn)，與Pi相關(guān)的題設條件僅有遞推式Pi=aPi-1+bPi+cPi+1（i=1，2,，7）,所以我們下一步應該是要在求得a,b,c具體數(shù)值的基礎上得到Pi+1-PiPi-Pi-1=q（常數(shù)）這個目標式。由于Pi=0.4Pi-1+0.5Pi+0.1Pi+1（i=1,2,，7）,通過分析目標式結(jié)構(gòu)，移項與拼湊，可以得到0.1Pi+1-0.1Pi=0.4Pi-0.4Pi-1，即Pi+1-PiPi-Pi-1=4（常數(shù)），下面還需驗證首項不為零

7、，由于P1-P0=0.5P1+0.1P2,題上沒有給出P2,故“P1-P0是否為零”這個問題暫時還無法解決。但題上給出了P8=1,那是否可以根據(jù)這個條件得到P1呢？尋求數(shù)學聯(lián)系，提升邏輯推理核心素養(yǎng)突破難點三及首項P1-P0是否為零的問題現(xiàn)在，把相關(guān)信息進行整理：Pi+1-PiPi-Pi-1=4P0=0,P8=1我們要求的是P4和P1,那如何從這個一般式推得特殊值呢？從一般入手，等比數(shù)列Pi+1-Pi中，P1-P0,P2-P1P8-P7這八項后一項與前一項的比值都為4,可以根據(jù)等比數(shù)列前n項和的公式計算得到這八項之和。這樣有兩個好處，一是根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式得到(P1-P0)+(P2-P1

8、)+(P8-P7)=P1(1-48)1-4,二是把括號打開得到(P1-P0)+(P2-P1)+(P8-P7)=P8,由于P8已知，所以我們可以反推P1。值得注意的是，整個過程的前提都是首項不為0,數(shù)列Pi+1-Pi(i=0,1,，7)是等比數(shù)列的前提下進行的，如果首項為0，那整個過程將毫無意義，這實際上是一種邏輯假設，我們計算得到P1=348-1說明假設是成立的。在我們得到P1后，我們可以用剛才的方法求得P4,這里進一步地訓練邏輯思維，即順向思維和逆向思2I,我們要得到P4,需要從另一個角度進行構(gòu)造，即P4=(P1-P0)+(P2-P1)+(P3-P2)+(P4-P3)=1257。分析理解數(shù)據(jù)

9、，滲透數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。突破難點四計算出P4=1257后，根據(jù)這個數(shù)值解釋試驗方法白合理性，我們首先要弄清P4的具體含義。由題可知，Pi(i=0,1,，8)表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率。即1257代表的是甲藥比乙藥更有效的概率的大小。那如何根據(jù)概率的大小來判斷試驗方案的合理性呢？甲藥的治愈率是0.5，乙藥的治愈率是0.8，在這個前提下，我們得出甲藥比乙藥更有效的概率是1257(約為0.0039)，這個概率與0.05相比是很小的。所以甲藥比乙藥更有效的概率很小，這典兩種藥本身的治愈率的大小是相吻合的，故試驗方案是合理的。這里很多考生直接把0.0039與0.05相比較

10、，得出概率小所以不合理的結(jié)果，這是由于沒有真正理解“合理”二字的意義，數(shù)據(jù)分析不夠全面透徹。沒有弄清數(shù)據(jù)可能性大小代表的真正含義，只是單從數(shù)字大小本身進行解讀，這樣的結(jié)果往往都是片面的、易錯的。數(shù)據(jù)分析要想準確，離不開題目、數(shù)學學科、社會生活這些大環(huán)境，在我們學習數(shù)學的過程中，會出現(xiàn)一些特殊的數(shù)字或字母，這些數(shù)字和字母都具有豐富的含義，可以幫助我們更方便簡潔地分析理解數(shù)據(jù)。四、結(jié)語波利亞在怎樣解題中提供了一種解題的思路，學生可以通過思考“你以前見過此題嗎？你見過一道和它相關(guān)的題目嗎？”來找到解題的方法。但值得思考的是，隨著時代的發(fā)展，學科要求的不斷提高。學生面臨的是題量增大，題型多變，他可能很難通過一道題馬上聯(lián)想到其他與之相關(guān)的題，因為范圍太大，時間太短。筆者認為，學生應該在融會貫通的基礎上，通過數(shù)學學科核心素養(yǎng)來了解數(shù)學的基本特征，完善數(shù)學重要的思維品質(zhì)，提高自己的學科能力。如此，以不變應萬變，做好面對一切未知