高中數(shù)學導數(shù)專題講義（答案版）

1、第 PAGE140 頁 共 NUMPAGES140 頁高中數(shù)學導數(shù)專題講義（答案版）最新導數(shù)專題講座內(nèi)容 匯總 導數(shù)專題一、單調(diào)性問題 【知識結(jié)構(gòu)】 【知識點】 一、導函數(shù)代數(shù)意義：利用導函數(shù)的正負來判斷原函數(shù)單調(diào)性；二、分類討論求函數(shù)單調(diào)性：含參函數(shù)的單調(diào)性問題的求解，難點是如何對參數(shù)進行分類討論，討論的關(guān)鍵在于導函數(shù)的零點和定義域的位置關(guān)系.三、分類討論的思路步驟：第一步、求函數(shù)的定義域、求導，并求導函數(shù)零點；第二步、以導函數(shù)的零點存在性進行討論；當導函數(shù)存在多個零點的時，討論他們的大小關(guān)系及與區(qū)間的位置關(guān)系（分類討論）；第三步、畫出導函數(shù)的同號函數(shù)的草圖，從而判斷其導函數(shù)的符號（畫導圖、

2、標正負、截定義域）；第四步、（列表）根據(jù)第五步的草圖列出，隨變化的情況表，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；第五步、綜合上述討論的情形，完整地寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，寫出極值點，極值與區(qū)間端點函數(shù)值比較得到函數(shù)的最值.四、分類討論主要討論參數(shù)的不同取值求出單調(diào)性，主要討論點：1.最高次項系數(shù)是否為0；2.導函數(shù)是否有極值點；3.兩根的大小關(guān)系；4.根與定義域端點討論等。五、求解函數(shù)單調(diào)性問題的思路：（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為或恒成立；（2）已知區(qū)間上不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點，通常利用分離變量法求解參變量的范圍；（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或單調(diào)遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導函數(shù)

3、在區(qū)間上大于零或小于零有解.六、原函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導函數(shù)給區(qū)間正負問題的處理方法 （1）參變分離；（2）導函數(shù)的根與區(qū)間端點直接比較；（3）導函數(shù)主要部分為一元二次時，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題.這里討論的以一元二次為主。七、求解函數(shù)單調(diào)性問題方法提煉：（1）將函數(shù)單調(diào)增（減）轉(zhuǎn)化為導函數(shù)恒成立；（2），由（或）可將恒成立轉(zhuǎn)化為（或）恒成立；（3）由“分離參數(shù)法”或“分類討論”，解得參數(shù)取值范圍?！究键c分類】 考點一、分類討論求解函數(shù)單調(diào)性；【例1-1】（20_-20_朝陽一模理18）已知函數(shù) （）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）當時，都有成立，求的取值范圍；（）試問過點可作多少條直線與曲線相切？并說明

4、理由 【答案】（）函數(shù)的定義域為 （1）當時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）當時， 令，得 當時，函數(shù)為減函數(shù)；當時，函數(shù)為增函數(shù) 綜上所述，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為 （）由（）可知，（1）當時，即時，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)， 所以在區(qū)間上，顯然函數(shù)在區(qū)間上恒大于零；（2）當時，即時，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以 依題意有，解得，所以 （3）當時，即時，在區(qū)間上為減函數(shù)， 所以 依題意有，解得，所以 綜上所述，當時，函數(shù)在區(qū)間上恒大于零 （）設(shè)切點為，則切線斜率， 切線方程為 因為切線過點，則 即 令 ，則 （1）當時，在區(qū)間上， 單調(diào)遞增

5、；在區(qū)間上，單調(diào)遞減， 所以函數(shù)的最大值為 故方程無解，即不存在滿足式 因此當時，切線的條數(shù)為 （2）當時, 在區(qū)間上，單調(diào)遞減， 在區(qū)間上，單調(diào)遞增， 所以函數(shù)的最小值為 取，則 故在上存在唯一零點 取，則 設(shè)，則 當時，恒成立 所以在單調(diào)遞增，恒成立所以 故在上存在唯一零點 因此當時，過點P存在兩條切線 （3）當時，顯然不存在過點P的切線 綜上所述，當時，過點P存在兩條切線；當時，不存在過點P的切線 【例1-2】（20_-20_海淀一模理18）已知函數(shù)，. （）求函數(shù)的最小值；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；() 求證：直線不是曲線的切線.【答案】（）函數(shù)的定義域為， 當變化時，的變化情況如下表：遞

6、減 極小值 遞增 函數(shù)在上的極小值為， 所以的最小值為 （）解：函數(shù)的定義域為， 由（）得，所以 所以的單調(diào)增區(qū)間是，無單調(diào)減區(qū)間. （）證明：假設(shè)直線是曲線的切線. 設(shè)切點為，則，即 又，則. 所以, 得，與 矛盾 所以假設(shè)不成立，直線不是曲線的切線 【練1-1】（20_-20_西城一模理18）已知函數(shù)，且.() 求的值及的單調(diào)區(qū)間；() 若關(guān)于的方程存在兩個不相等的正實數(shù)根，證明：.【答案】（）對求導，得， 所以，解得. 故，. 令，得.當變化時，與的變化情況如下表所示：0 0 所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為. （）解：方程，即為， 設(shè)函數(shù).求導，得 由，解得，或. 所以當變化時，與

7、的變化情況如下表所示：0 所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 由，得.又因為， 所以.不妨設(shè)（其中為的兩個正實數(shù)根）， 因為函數(shù)在單調(diào)遞減，且， 所以. 同理根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且， 可得， 所以， 即 . 【練1-2】（2022-20_石景山一模文18）已知函數(shù). （）若函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，求實數(shù)的值；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（）1分 由已知，解得. 3分 （II）函數(shù)的定義域為.（1）當時, ，的單調(diào)遞增區(qū)間為；5分 （2）當時. 當變化時，的變化情況如下：- + 極小值 由上表可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是. 8分 （

8、II）由得，9分 由已知函數(shù)為上的單調(diào)減函數(shù)， 則在上恒成立， 即在上恒成立. 即在上恒成立. 11分 令，在上， 所以在為減函數(shù)., 所以. 14分 【練1-3】（20_-20_朝陽期末文19）已知函數(shù)，.（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）當時，試判斷函數(shù)是否存在零點,并說明理由；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】函數(shù)的定義域：.（）當時，.有，即切點（1,3）， .所以曲線在點處切線方程是， 即. （）若，. 令，得（舍），. 極小值 則.所以函數(shù)不存在零點. （）.當，即時， 極小值 當，即時，的單調(diào)增區(qū)間是，；當，即時， 極大值 極小值 當，即時， 極大值 極小值 綜上時，的單調(diào)增區(qū)間

9、是;減區(qū)間是.當時，的單調(diào)增區(qū)間是,;減區(qū)間是.當時，的單調(diào)增區(qū)間是; 當時，的單調(diào)增區(qū)間是，;減區(qū)間是. 【練1-4】（20_-20_豐臺期末文20）設(shè)函數(shù)的圖象與直線相切于點 （）求函數(shù)的解析式；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)函數(shù)，對于,，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（）函數(shù)的圖象與直線相切于點， ， ， 解得 （）， 令，得或；令，得 的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為 8分 （）記在上的值域為,在上的值域為， 對于，使得， 由（）得：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ， ， 當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 的最小值為或，的最大值為或 ，且， 或， 或， 即

10、或 又， 當時，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減， 的最小值為或，的最大值為 ，且， ， ，即 綜上所述：或 【練1-5】（20_-20_朝陽二模文20）已知函數(shù). ()求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）當時，若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍.【答案】() 函數(shù)的定義域為,.（1）當時，, 令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 令，解得，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當時，, 令，解得或，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；令，解得，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）當時，恒成立， 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（4）當時，, 令，解得或，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

11、；令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 （）依題意，在區(qū)間上. ，.令得，或.若，則由得，函數(shù)在上單調(diào)遞增. 由得，,函數(shù)在上單調(diào)遞減. 所以，滿足條件；若，則由得，或；由得，. 函數(shù)在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. ， 依題意 ，即，所以；若，則. 所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，不滿足條件；綜上，. 【練1-6】（20_-20_房山二模文19）已知函數(shù) （）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若直線與曲線沒有公共點，求實數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚ǎ?定義域為 ，令 極小值 所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為。（II）因為直線與曲線沒有公共點， 所以方程無實根，即無實根，等價于無實根 設(shè)，即

12、無零點。當時，顯然無零點，符合題意；當時，令 極小值 ，顯然不符合題意；當時，令 極大值 ，所以時，符合題意 綜上所述：【練1-7】（20_-20_朝陽一模文19）已知函數(shù).（）若求曲線在點處的切線方程；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，求的取值范圍.【答案】()若，函數(shù)的定義域為，.則曲線在點處切線的斜率為.而，則曲線在點處切線的方程為 （）函數(shù)的定義域為，.（1）當時，由,且此時，可得.令，解得或，函數(shù)為減函數(shù)；令，解得，但， 所以當，時，函數(shù)也為增函數(shù).所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為， 單調(diào)增區(qū)間為，.（2）當時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，.當時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，.當時，由，

13、所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，.即當時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，.（3）當時，此時.令，解得或，但，所以當，時，函數(shù)為減函數(shù)；令，解得，函數(shù)為增函數(shù).所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為， 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為. 9分 （）（1）當時，由（）問可知，函數(shù)在上為減函數(shù)， 所以不存在極值點; （2）當時，由（）可知，在上為增函數(shù)， 在上為減函數(shù). 若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，則， 解得或, 所以. 綜上所述，當時，函數(shù)在區(qū)間上存在極值點.【練1-8】（20_-20_東城期末理19）已知函數(shù) （）當時，試求在處的切線方程；（）當時，試求的單調(diào)區(qū)間；（）若在內(nèi)有極值，試求的取值范圍 【答案】（）當時， 方程為（）， 當時，對于，

14、恒成立， 所以 ； 0.所以 單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為 （）若在內(nèi)有極值，則在內(nèi)有解 令 . 設(shè) , 所以 , 當時，恒成立， 所以單調(diào)遞減. 又因為，又當時，, 即在上的值域為, 所以 當時， 有解.設(shè)，則 ， 所以在單調(diào)遞減.因為，, 所以在有唯一解.所以有：0 0 遞減 極小值 遞增 所以 當時，在內(nèi)有極值且唯一. 當時，當時，恒成立，單調(diào)遞增，不成立 綜上，的取值范圍為 【練1-9】（20_-20_大興期末理18）已知函數(shù).（）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若在上恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）當 時， 所以，函數(shù)在點處的切線方程為 即：()函數(shù)的定義域

15、為：當時，恒成立，所以，在和上單調(diào)遞增 當時，令，即：， , 所以，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為. （）因為在上恒成立，有 在上恒成立。所以，令， 則.令則 若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又 所以，在上恒成立；若，即時，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減 所以，在上的最小值為， 因為所以不合題意. 即時，當時，單調(diào)遞增， 當時，單調(diào)遞減， 所以，在上的最小值為 又因為，所以恒成立 綜上知，的取值范圍是. 考點二、已知函數(shù)單調(diào)求參數(shù)范圍；【例2-1】（20_-20_石景山期末文20）已知函數(shù) ,. （）若在處取得極小值,求的值；（）若在區(qū)間為增函數(shù),求的取值范圍；（）在（）的條件下,函數(shù)有三個零點,求

16、的取值范圍 【答案】（）由在處取得極大值,得, 所以(經(jīng)檢驗適合題意) （）,因為在區(qū)間為增函數(shù),所以在區(qū)間恒成立, 所以恒成立,即恒成立, 由于,得. 所以的取值范圍是.（）, 故,得或 當時, ,在上是增函數(shù),顯然不合題意. 當時, 隨的變化情況如下表: + 0 + 極大值 極小值 要使有三個零點,故需, 即 , 解得 所以的取值范圍是. 【例2-2】（20_-20_朝陽期中文19）已知函數(shù)， （）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（）當時，證明.【答案】（I）函數(shù)的定義域為. 因為. 又因為函數(shù)在單調(diào)減，所以不等式在上成立. 設(shè)，則，即即可，解得. 所以的取值范圍是. （）當時， .

17、令，得或（舍）.當變化時，變化情況如下表：1 0 + 極小值 所以時,函數(shù)的最小值為. 所以成立. 【練2-1】（20_-20_海淀期中文18）已知函數(shù). （）若曲線在點處切線的斜率為，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍. 【答案】（）因為，所以曲線經(jīng)過點， 又， 所以， 所以. 當變化時，的變化情況如下表 0 0 極大值 極小值 所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為， 單調(diào)遞減區(qū)間為 .（）因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增， 所以對成立， 只要在上的最小值大于等于0即可. 因為函數(shù)的對稱軸為， 當時，在上的最小值為， 解，得或，所以此種情形不成立 當時，在上的最小值為， 解得，所以，

18、綜上，實數(shù)的取值范圍是. 【練2-2】（20_-20_豐臺一模文19）已知函數(shù) （1）求曲線：在處的切線的方程；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（3）當時，（1）中的直線與曲線：有且只有一個公共點，求的取值范圍?！敬鸢浮浚?）由已知得，切點坐標為， 所以切線方程為 （2）由已知得，函數(shù)的定義域為 ，又因為函數(shù)在定義域中是單調(diào)函數(shù)，所以有恒成立或者恒成立 1、當恒成立時，即恒成立， 恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定義域中單調(diào)遞減，無最大值，所以不存在滿足條件。2、當恒成立時，即恒成立， 恒成立，即小于的最小值 由上種情況可知，單調(diào)遞減，但恒有，因此的取值范圍為 （3）當時

19、，（1）中的直線與曲線：有且只有一個公共點 即只有一個根， 令，有只有一個零點 ， 1、當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、當時，解得， 1 - 0 + 0 - 減 極小值 增 極大值 減 易知 ，而當時，所以在只存在一個零點。3、當時，解得， 1 - 0 + 減 極小值 增 當時，所以若只有一個零點，必須有 即， 綜上所述，的取值范圍為和 【練2-3】（20_-20_朝陽期末理18）已知函數(shù),其中 （）若在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范 圍；（）當時，（）證明：；（）試判斷方程是否有實數(shù)解，并說明理由 【答案】函數(shù)定義域， （）因為在區(qū)間上為增函數(shù)，

20、所以在上恒成立， 即，在上恒成立， 則 （）當時，, （）令，得 令,得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增 令,得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減 所以， 所以成立 （）由（）知， ， 所以 設(shè)所以 令，得 令,得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增， 令,得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減；所以， 即 所以 ，即 所以，方程沒有實數(shù)解 【練2-4】（20_-20_海淀期中理18）已知函數(shù)，曲線在點處的切線為 （）若直線的斜率為，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍 【答案】（）因為直線的斜率為 所以 所以 所以 令解得 所以當和時， 當時， 所以的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為 （）要使在上單調(diào) 只需或在恒成立 （1）在恒

21、成立等價于，即 解得 （2）在恒成立， 當時，即，解得（舍）或（舍）當時，即，解得 綜上所述 考點三、已知函數(shù)不單調(diào)求參數(shù)范圍；【例3-1】已知函數(shù).當時，若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍. 【答案】解法一： 令，解得， 因為在區(qū)間上不單調(diào)， 所以區(qū)間上存在極值點， 所以，或 即，或 所以或 . 解法二: 因為函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，所以函數(shù)在上存在零點.令，解得，區(qū)間長為， 在區(qū)間上不可能有個零點. 所以 即：， ， 又， . 【例3-2】已知函數(shù)，若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍 【答案】 考點四、已知函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍；【例4-1】設(shè)函數(shù)，.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，試求實數(shù)的取值范圍.

22、【答案】解法一：設(shè)， 依題意，在區(qū)間上存在子區(qū)間使得不等式成立. 注意到拋物線開口向上，所以只要，或即可 由，即，得， 由，即，得， 所以， 所以實數(shù)的取值范圍是. 解法二：， 依題意得，在區(qū)間上存在子區(qū)間使不等式成立.又因為，所以. 設(shè)，所以小于函數(shù)在區(qū)間的最大值.又因為， 由解得；由解得. 所以函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.所以函數(shù)在，或處取得最大值.又，所以， 所以實數(shù)的取值范圍是. 【例4-2】（2022-2022朝陽二模理18）設(shè)函數(shù)，.（）若，求函數(shù)在上的最小值；（）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，試求實數(shù)的取值范圍；【答案】 【練4-1】已知函數(shù)，函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值

23、范圍 【答案 當時， 令，解得 則在上單調(diào)遞增區(qū)間，滿足題意.當時 當，即時， ，在上單調(diào)遞減(舍）當，即，且時 令，解得：， 當時， 則在上單調(diào)遞增區(qū)間，滿足題意 當時， 要使在上存在單調(diào)遞增區(qū)間， 則，即，解得 所以 綜上所述得：的取值范圍為：解法二：在上存在單調(diào)遞增區(qū)間等價于在存在區(qū)間使成立，即存在使成立 設(shè) 當時， 則 所以，的取值范圍為：考點五、兩個函數(shù)在具有相同的單調(diào)性求參數(shù)范圍；【例5-1】（20_-20_西城一模文18）已知函數(shù)，其中 （）求的極值；（）若存在區(qū)間，使和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，求的取值范圍 【答案】（）的定義域為， 且 2分 當時，故在上單調(diào)遞增 從而沒有極大

24、值，也沒有極小值 4分 當時，令，得 和的情況如下： 故的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為 從而的極小值為；沒有極大值 6分 （）解：的定義域為，且 8分 當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不合題意 9分 當時，在上單調(diào)遞減 當時，此時在上單調(diào)遞增，由于在上單調(diào)遞減，不合題意 11分 當時，此時在上單調(diào)遞減，由于在上單調(diào)遞減，符合題意 綜上，的取值范圍是 13分 【例5-2】已知函數(shù)，其中若存在區(qū)間，使和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，求的取值范圍 【答案】的定義域為， 當，在單調(diào)遞減， 當時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增, 的定義域為，且 當時，顯然 ，從而在上單調(diào)遞增 此時在上單調(diào)遞增，符合題意 當時，在上單

25、調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不合題意 當時，令，得 和的情況如下表： 當時，此時在上單調(diào)遞增，由于在上單調(diào)遞減，不合題意 當時，此時在上單調(diào)遞減，由于在上單調(diào)遞減，符合題意 綜上，的取值范圍是 導數(shù)專題二、極值問題 【知識點】 一、函數(shù)的極值定義 函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有點都有則稱是函數(shù)的一個極大值，記作；如果對附近的所有點都有則稱是函數(shù)的一個極小值，記作極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點 極值點出現(xiàn)在函數(shù)的駐點（導數(shù)為0的點）或不可導點處（導函數(shù)不存在，也可以取得極值，此時駐點不存在）?？蓪Ш瘮?shù)的極值點必定是它的駐點。但是反過來

26、，函數(shù)的駐點卻不一定是極值點，例如,點是它的駐點，卻不是它的極值點。極值點上的導數(shù)為零或不存在，且函數(shù)的單調(diào)性必然變化。極值問題主要建立在分類討論的基礎(chǔ)上， 二、求函數(shù)的極值點和極值注意事項：1.求極值或極值點，必須點明是極大還是極小。若沒有另一個，要說明沒有。2.要知道如何判斷是否存在極值或者極值點。3.如果已知極值或者極值點，求參數(shù)的時候，最后結(jié)果需要檢驗。4.極值點是導函數(shù)的根，如果有兩個根，要在合適的時候想到偉達定理。三、求函數(shù)極值的三個基本步驟 第一步、求導數(shù)；第二步、求方程的所有實數(shù)根；第三步、考察在每個根附近，從左到右，導函數(shù)的符號如何變化如果的符號由正變負，則是極大值；如果由負

27、變正，則是極小值如果在的根的左右側(cè)，的符號不變，則不是極值 【考點分類】 考點一、分類討論求函數(shù)極值（點）；【例1-1】（20_-20_海淀一模文19）已知函數(shù).()求曲線在點處的切線方程；()求函數(shù)的零點和極值；()若對任意，都有成立，求實數(shù)的最小值. 【答案】 （）設(shè)切線斜率為，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即。（）令，解得。當時，；時，所以函數(shù)零點有且只有一個，為1.令，即解得。當時，；當時，所以函數(shù)在處取得極小值，無極大值。（）由（II）知，當時，；時，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值。且。，所以只需。所以。所以的最小值為1?！纠?-2】（2022-2022朝陽二模

28、理18）設(shè)函數(shù)，.（）若，求函數(shù)在上的最小值；（）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，試求實數(shù)的取值范圍；（）求函數(shù)的極值點.【答案】 考點二、已知函數(shù)極值（點）情況求參數(shù)范圍；【例2-1】（20_-20_朝陽一模文19）已知函數(shù).（）若求曲線在點處的切線方程；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，求的取值范圍.【答案】()若，函數(shù)的定義域為，.則曲線在點處切線的斜率為.而，則曲線在點處切線的方程為 （）函數(shù)的定義域為，.（1）當時，由,且此時，可得.令，解得或，函數(shù)為減函數(shù)；令，解得，但， 所以當，時，函數(shù)也為增函數(shù).所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為， 單調(diào)增區(qū)間為，.（2）當時，函數(shù)的單調(diào)

29、減區(qū)間為，.當時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，.當時，由，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，.即當時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，.（3）當時，此時.令，解得或，但，所以當，時，函數(shù)為減函數(shù)；令，解得，函數(shù)為增函數(shù).所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為， 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為. 9分 （）（1）當時，由（）問可知，函數(shù)在上為減函數(shù)， 所以不存在極值點; （2）當時，由（）可知，在上為增函數(shù)， 在上為減函數(shù). 若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，則， 解得或, 所以. 綜上所述，當時，函數(shù)在區(qū)間上存在極值點.【例2-2】（20_-20_東城期末理19）已知函數(shù) （）當時，試求在處的切線方程；（）當時，試求的單調(diào)區(qū)間；（）若在內(nèi)有極值，試求的取值范

30、圍 【答案】（）當時， 方程為（）， 當時，對于，恒成立， 所以 ； 0.所以 單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為 （）若在內(nèi)有極值，則在內(nèi)有解 令 . 設(shè) , 所以 , 當時，恒成立， 所以單調(diào)遞減. 又因為，又當時，, 即在上的值域為, 所以 當時， 有解.設(shè)，則 ， 所以在單調(diào)遞減.因為，, 所以在有唯一解.所以有：0 0 遞減 極小值 遞增 所以 當時，在內(nèi)有極值且唯一. 當時，當時，恒成立，單調(diào)遞增，不成立 綜上，的取值范圍為 【練2-1】（20_-20_房山二模理18）已知函數(shù) （）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，若在區(qū)間上有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚ǎ┊敃r， 定義域為 令，

31、得 0 遞增 遞減 極小值 遞增 （）， 因為 所以令，只需 設(shè)， 若在區(qū)間上有兩個極值點，則在區(qū)間上有兩個零點 要使在區(qū)間上有兩個零點，的唯一根必須在區(qū)間 所以令，得，且 解得：【練2-2】已知函數(shù)，（為常數(shù)）.若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】 由題意可知，解得 所以，實數(shù)的取值范圍為.【練2-3】已知函數(shù)，其中且.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】在上有且僅有一個極值點， 在上有且僅有一個異號零點， 由二次函數(shù)圖象性質(zhì)可得， 即，解得或， 綜上，的取值范圍是. 【練2-4】已知函數(shù)，其中且.（）求證：函數(shù)在點處的切線與總有兩個不同的公共點；（

32、）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（）由已知可得.， 又 在處的切線方程為.令，整理得. 或， ， 與切線有兩個不同的公共點. -7分 （）在上有且僅有一個極值點， 在上有且僅有一個異號零點， 由二次函數(shù)圖象性質(zhì)可得， 即，解得或， 綜上，的取值范圍是. 【練2-5】（20_-20_海淀二模文18）已知函數(shù)， 其中且.（）求證：函數(shù)在點處的切線與總有兩個不同的公共點；（）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（）由已知可得. 1分 ， 2分 又 在處的切線方程為. 4分 令，整理得. 或， 5分 ， 6分 與切線有兩個不同的公共點.7分 （）在

33、上有且僅有一個極值點， 在上有且僅有一個異號零點， 9分 由二次函數(shù)圖象性質(zhì)可得， 10分 即，解得或， 12分 綜上，的取值范圍是.13分 【練2-6】（2022-2022年北京高考文18）設(shè)定函數(shù)，且方程的兩個根分別為1，4。（）當且曲線過原點時，求的解析式；（）若在無極值點，求的取值范圍?！敬鸢浮坑?得 因為的兩個根分別為1,4，所以 （_）（）當時，又由（_）式得 解得 又因為曲線過原點，所以 故 （）由于a0,所以“在（-，+）內(nèi)無極值點”等價于“在（-，+）內(nèi)恒成立”。由（_）式得。又 解 得 即的取值范圍 考點三、已知函數(shù)極值求參數(shù)值；【例3-1】已知函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）

34、是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的極大值等于？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（）的定義域為.， 即 . 令，解得：或.當時，故的單調(diào)遞增區(qū)間是. 當時，隨的變化情況如下：極大值 極小值 所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當時，隨的變化情況如下：極大值 極小值 所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是. （）當時，的極大值等于.理由如下：當時，無極大值.當時，的極大值為， 令，即 解得 或（舍）. 當時，的極大值為. 因為 ， 所以 .因為 ，所以 的極大值不可能等于. 綜上所述，當時，的極大值等于. 【例3-2】已知函數(shù)在處有極值10，求的值.【答案】 依題意得方程組

35、 解得. 當a=-3,b=3時， 令得_=1. (-,1) 1 (1,+) + 0 + 無極值 顯然不合題意，舍去. 當時， 令得或._ 1 （1，+）+ 0 - 0 + 極大值 極小值 在處有極小值10，合題意， . 導數(shù)專題三、最值問題 【知識結(jié)構(gòu)】 【知識點】 一、求解函數(shù)最值問題的步驟：對于函數(shù)的最值問題主要建立在前面的極值問題的基礎(chǔ)上；一般地，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：第一步、求函數(shù)在內(nèi)的極值；第二步、將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值 二、主要的問題類型：1.分類討論求函數(shù)最值；2.已知函數(shù)最值情況求參數(shù)范圍；3.已知函數(shù)最

36、值求參數(shù)值；4.其他的情況轉(zhuǎn)化為最值問題；【考點分類】 考點一、分類討論求函數(shù)最值；【例1-1】（20_-20_東城一模文19）已知函數(shù)， （1）若在處取得極值，求的值；（2）求在區(qū)間上的最小值；（3）在（1）的條件下，若，求證：當時，恒有成立.【答案】（1）定義域為 ，因為函數(shù)在處取得極值，所以有， 解得 （2）1）當時， 在單調(diào)遞增，所以該區(qū)間上的最小值為 2）當時， 在單調(diào)遞增，所以該區(qū)間上的最小值為 3）當時， - 0 + 減 極小值 增 所以在該區(qū)間的最小值為 綜上所述，當時，在的最小值為1；當時，在的最小值為.（3）由已知得，所以在時，恒有 若要證明當時，恒有成立，只需證明， 即證

37、明恒成立.令 令，有 當時，恒有，所以當時， 所以，所以在時，單調(diào)遞減， 因此恒成立，所以，當時，恒有成立.【例1-2】（20_-20_豐臺一模理18）設(shè)函數(shù)， （）當時，求曲線在點處的切線方程；（）在（）的條件下，求證：；（）當時，求函數(shù)在上的最大值 【答案】（）當時， 所以 因為，即切線的斜率為， 所以切線方程為，即 4 （）證明：由（）知 令，則 當時，在上單調(diào)遞減， 當時，在上單調(diào)遞增， 所以當時，函數(shù)最小值是命題得證.（）因為，所以 令，則 當時，設(shè)，因為， 所以在上單調(diào)遞增，且， 所以在恒成立，即 所以當，在上單調(diào)遞減；當，在上單調(diào)遞增 所以在上的最大值等于， 因為， 不妨設(shè)， 所

38、以 由（）知在恒成立， 所以在上單調(diào)遞增 又因為， 所以在恒成立，即 所以當時，在上的最大值為 【練1-1】（20_-20_西城期末文19）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）當時，求函數(shù)的最小值.【答案】（）解：因為， 所以 2 令，得 3 當變化時，和的變化情況如下： 5 故的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為 6 （）解：由（），得的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為 所以當，即時，在上單調(diào)遞增， 故在上的最小值為；當，即時， 在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增， 故在上的最小值為；當，即時，在上單調(diào)遞減， 故在上的最小值為. 所以函數(shù)在上的最小值為 【練1-2】（20_-20_海淀期

39、末文18）已知函數(shù)與函數(shù)在點處有公共的切線，設(shè).（I）求的值 （）求在區(qū)間上的最小值.【答案】（I）因為所以在函數(shù)的圖象上 又，所以 所以 3 （）因為，其定義域為 5 當時， 所以在上單調(diào)遞增 所以在上最小值為 7 當時，令，得到(舍) 當時，即時，對恒成立， 所以在上單調(diào)遞增,其最小值為 當時，即時, 對成立， 所以在上單調(diào)遞減， 其最小值為 當,即時, 對成立, 對成立 所以在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 其最小值為 綜上，當時， 在上的最小值為 當時，在上的最小值為 當時, 在上的最小值為.【練1-3】（20_-20_豐臺一模理18）已知函數(shù)，.()若曲線在點（1，0）處的切線斜率為0，求a

40、,b的值；()當，且ab=時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)在區(qū)間-2，-1上的最小值.【答案】()函數(shù)h(_)定義域為_|_-a，1 則， 3 h(_)在點（1，0）處的切線斜率為0， 即,解得或6 ()記(_)= ，則(_)=(_+a)(b_2+3_)(_-a), ab=，所以，(_-a), , 令，得，或, 因為，所以， 故當，或時，當時， 函數(shù)(_)的單調(diào)遞增區(qū)間為， 單調(diào)遞減區(qū)間為, ,， 當，即時, (_)在-2,-1單調(diào)遞增, (_)在該區(qū)間的最小值為， 當時,即, (_)在-2,單調(diào)遞減, 在單調(diào)遞增， (_)在該區(qū)間的最小值為， 當時,即時, (_)在-2,-1單調(diào)遞減, (_)

41、在該區(qū)間的最小值為， 綜上所述，當時，最小值為；當時，最小值為；當時，最小值為. （不綜述者不扣）【練1-4】（20_-20_延慶一模理18）已知函數(shù).() 討論函數(shù)的單調(diào)性；（）當時，求函數(shù)在區(qū)間的最小值.【答案】函數(shù)的定義域為， 1 ()， 4 （1）當時，所以在定義域為上單調(diào)遞增；5 （2）當時，令，得（舍去）， 當變化時，的變化情況如下：此時，在區(qū)間單調(diào)遞減， 在區(qū)間上單調(diào)遞增；7 （3）當時，令，得，（舍去）， 當變化時，的變化情況如下：此時，在區(qū)間單調(diào)遞減， 在區(qū)間上單調(diào)遞增. （）由()知當時，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（1）當，即時，在區(qū)間單調(diào)遞減， 所以，；（2）當，

42、即時，在區(qū)間單調(diào)遞減， 在區(qū)間單調(diào)遞增，所以， （3）當，即時，在區(qū)間單調(diào)遞增， 所以. 【練1-5】（20_-20_東城期末理18）已知，函數(shù) （）當時，求曲線在點處的切線方程；（）求在區(qū)間上的最小值 【答案】（）當時， 所以，.2 因此 即曲線在點處的切線斜率為.4 又， 所以曲線在點處的切線方程為， 即6 （）因為，所以 令，得 若，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時函數(shù)無最小值 若，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減， 當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增， 所以當時，函數(shù)取得最小值 若，則當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減， 所以當時，函數(shù)取得最小值 綜上可知，當時，函數(shù)在區(qū)間上無最小值；當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為

43、；當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 【練1-6】（20_-20_西城二模理18）已知函數(shù)，其中 （）若，求曲線在點處的切線方程；（）求在區(qū)間上的最大值和最小值 【答案】的定義域為， 且 2 當時， 所以曲線在點處的切線方程為 ， 即 4 （）解：方程的判別式為 （）當時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間 上的最小值是；最大值是6 （）當時，令，得 ，或 和的情況如下： 故的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為 當時，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間 上的最小值是；最大值是 當時，此時在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 所以在區(qū)間上的最小值是 因為 ， 所以 當時，在區(qū)間上的最大值是；當時，在區(qū)間上的最大

44、值是 當時，此時在區(qū)間上單調(diào)遞減， 所以在區(qū)間上的最小值是；最大值是 綜上， 當時，在區(qū)間上的最小值是，最大值是；當時，在區(qū)間上的最小值是，最大值是；當時，在區(qū)間上的最小值是，最大值是；當時，在區(qū)間上的最小值是，最大值是 【練1-7】（20_-20_豐臺一模文19）已知函數(shù),.(1)設(shè)函數(shù),且求a,b的值; (2)當a=2且b=4時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并求該函數(shù)在區(qū)間(-2,m 上的最大值.【答案】()函數(shù)h(_)定義域為_|_-a, 則, 因為所以解得,或 ()記(_)= ,則(_)=(_+a)(b_2+3_)(_-a) , 因為a=2,b=4,所以(_-2), , 令,得,或, 當,或時,

45、當時, 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為, 單調(diào)遞減區(qū)間為, 當-20 解得 所以 ，f（_）在（0，1）上遞增，（1，e）上遞減，且 f（1）此時（0，e）上不可能有零點 綜上a=-1或者 【練2-7】（20_西城二模文）已知函數(shù)，其中.（）當時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（）當時，證明：存在實數(shù)，使得對任意的，都有成立；（）當時，是否存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程僅有負實數(shù)解？當時的情形又如何？(只需寫出結(jié)論) 【答案】（）解：當時，函數(shù)， 求導，得， 2分 因為， 3分 所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.4分 （）證明：當時，的定義域為. 求導，得， 5分 令，解得， 6分 當變化時，與的變化情況如下

46、表：+ 0 0 + 8分 所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 又因為，當時，；當時， 所以當時，；當時，. 記，其中為兩數(shù)， 中最大的數(shù)， 綜上，當時，存在實數(shù)，使得對任意的實數(shù)，不等式 恒成立. 10分 （）解：當與時，不存在實數(shù)，使得關(guān)于實數(shù)的方程僅 有負實數(shù)解. 13分 考點三、已知函數(shù)不存在零點求參數(shù)范圍；【例3-1】（20_-20_石景山一模文19）已知函數(shù) （）求函數(shù)的極值；（）證明：當時，；（）當時，方程無解，求的取值范圍 【答案】（）， 令解得， 易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 故當時，有極小值 （）令，則， 由（）知， 所以在上單調(diào)遞增， 所以， 所以. （）方程，整理

47、得， 當時，. 令， 則， 令，解得， 易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 所以時，有最小值， 而當越來越靠近時，的值越來越大， 又當，方程無解， 所以. 【例3-2】（20_-20_海淀期末理18）已知關(guān)于的函數(shù) （）當時，求函數(shù)的極值；（）若函數(shù)沒有零點，求實數(shù)取值范圍.【答案】（），. 2分 當時，,的情況如下表：2 0 極小值 所以，當時，函數(shù)的極小值為. 6分 （）. 當時，的情況如下表：2 0 極小值 7分 因為, 8分 若使函數(shù)沒有零點，需且僅需，解得,9分 所以此時；10分 當時，的情況如下表：2 0 極大值 11分 因為,且,12分 所以此時函數(shù)總存在零點. 13分 綜上所述，

48、所求實數(shù)的取值范圍是. 【練3-1】（20_-20_朝陽一模文18）設(shè)函數(shù)，記.（）求曲線在處的切線方程；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）當時，若函數(shù)沒有零點，求的取值范圍.【答案】(I)，則函數(shù)在處的切線的斜率為.又， 所以函數(shù)在處的切線方程為,即 4分 （）， ，（）.當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，令，解得；令，解得.綜上所述，當時，函數(shù)的增區(qū)間是；當時，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是.9分 （）依題意，函數(shù)沒有零點，即無解.由（）知，當時，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),區(qū)間上為減函數(shù)， 由于，只需， 解得.所以實數(shù)的取值范圍為. 13分 綜上所述，所求實數(shù)的取值范圍是. 【練3-2】（20_-20_通州期末

49、理18）已知函數(shù) ， （）求的單調(diào)區(qū)間；（）若方程沒有實數(shù)根，求取值范圍 【答案】（）因為函數(shù)，所以 1分 （1）當時，所以的遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間. 3分 （2）當時，令，得，令，得 所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是 5分 綜上，當時，的遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間， 當時，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是 （）（1）當時， 在上顯然無零點， 所以方程沒有實數(shù)根. 6分 （2）當時，在上單調(diào)遞增， 因為，所以 所以在上有零點.所以方程有實數(shù)根. 8分 （3）當時，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是， 所以是的極小值，也是的最小值.所以沒有實數(shù)根等價于 11分 所以所以 所以所以. 12分 綜上，的取值范圍是 13分 考

50、點四、證明函數(shù)零點情況；【例4-1】（20_-20_海淀期末理18）已知函數(shù). （）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（）求證：當時，關(guān)于的不等式在區(qū)間上無解.（其中）【答案】（）因為, 所以， 當時，.令 ， 得 ， 所以隨的變化情況如下表：極大值 極小值 所以在處取得極大值， 在處取得極小值. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，, 的單調(diào)遞減區(qū)間為 （）證明：不等式在區(qū)間上無解，等價于在區(qū)間上恒成立， 即函數(shù)在區(qū)間上的最大值小于等于1. 因為， 令，得. 因為時，所以. 當時，對成立，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減， 所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為, 所以不等式在區(qū)間上無解；當時，隨的變化情況如下表： 極小值 所以函數(shù)

51、在區(qū)間上的最大值為或. 此時, ， 所以 . 綜上，當時，關(guān)于的不等式在區(qū)間上無解. 【例4-2】（20_-20_房山一模文19）已知函數(shù)， （I）求曲線在處的切線方程；（II）求的單調(diào)區(qū)間 （III）設(shè)，其中，證明：函數(shù)僅有一個零點 【答案】（I）其中， 所以曲線在處的切線方程 （II）的定義域為 ， 令，解得 令，解得 所以，的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為 （III），定義域為 又 當時，恒成立，即在上單調(diào)遞增 又 即 可知函數(shù)僅有一個零點 時， 令，解得或 令，解得 所以，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 又 又， 可知在有一個零點，即函數(shù)僅有一個零點 綜上所訴，函數(shù)僅有一個零點 【練4-1】（2

52、0_-20_房山一模文19）已知函數(shù)， （I）求曲線在處的切線方程；（II）求的單調(diào)區(qū)間 （III）設(shè)，其中，證明：函數(shù)僅有一個零點 【答案】（I）其中， 所以曲線在處的切線方程 （II）的定義域為 ， 令，解得 令，解得 所以，的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為 （III），定義域為 又 當時，恒成立，即在上單調(diào)遞增 又 即 可知函數(shù)僅有一個零點 時， 令，解得或 令，解得 所以，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 又 又， 可知在有一個零點，即函數(shù)僅有一個零點 綜上所訴，函數(shù)僅有一個零點 考點五、函數(shù)交點問題；【例5-1】（20_-20_東城期末文19）已知函數(shù)，.（）當時，求曲線在點處的切線的方程；（）

53、若曲線與軸有且只有一個交點，求的取值范圍；（）設(shè)函數(shù)，請寫出曲線與最多有幾個交點.（直接寫出結(jié)論即可）【答案】（）當時，.當時，又， 所以曲線在點處的切線方程為. （）由，得.當時，此時在上單調(diào)遞增.當時，當時， 所以當時，曲線與軸有且只有一個交點；當時，令，得.與在區(qū)間上的情況如下：極大值 若曲線與軸有且只有一個交點， 則有，即.解得.綜上所述，當或時，曲線與軸有且只有一個交點. （）曲線與曲線最多有4個交點. 【例5-2】（20_-20_豐臺一模文19）已知函數(shù) （1）求曲線：在處的切線的方程；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（3）當時，（1）中的直線與曲線：有且只有一個公

54、共點，求的取值范圍?！敬鸢浮浚?）由已知得，切點坐標為， 所以切線方程為 （2）由已知得，函數(shù)的定義域為 ，又因為函數(shù)在定義域中是單調(diào)函數(shù)，所以有恒成立或者恒成立 1、當恒成立時，即恒成立， 恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定義域中單調(diào)遞減，無最大值，所以不存在滿足條件。2、當恒成立時，即恒成立， 恒成立，即小于的最小值 由上種情況可知，單調(diào)遞減，但恒有，因此的取值范圍為 （3）當時，（1）中的直線與曲線：有且只有一個公共點 即只有一個根， 令，有只有一個零點 ， 1、當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、當時，解得， 1 - 0 + 0 -

55、減 極小值 增 極大值 減 易知 ，而當時，所以在只存在一個零點。3、當時，解得， 1 - 0 + 減 極小值 增 當時，所以若只有一個零點，必須有 即， 綜上所述，的取值范圍為和 【練5-1】（20_-20_西城期末理18）已知函數(shù) (,為自然對數(shù)的底數(shù)). （）若曲線在點處的切線平行于軸,求的值；（）求函數(shù)的極值；（）當時,若直線與曲線沒有公共點,求的最大值 【答案】()由,得.又曲線在點處的切線平行于軸, 得,即,解得. (), 當時,為上的增函數(shù), 所以函數(shù)無極值. 當時,令,得,. ,;,. 所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 故在處取得極小值,且極小值為,無極大值. 綜上,當時,函數(shù)

56、無極小值 當,在處取得極小值,無極大值. ()當時, 令, 則直線:與曲線沒有公共點, 等價于方程在上沒有實數(shù)解. 假設(shè),此時, 又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,由零點存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒有實數(shù)解”矛盾,故. 又時,知方程在上沒有實數(shù)解. 所以的最大值為. 解法二: ()()同解法一. ()當時,. 直線:與曲線沒有公共點, 等價于關(guān)于的方程在上沒有實數(shù)解,即關(guān)于的方程: (_) 在上沒有實數(shù)解. 當時,方程(_)可化為,在上沒有實數(shù)解. 當時,方程(_)化為. 令,則有. 令,得, 當變化時,的變化情況如下表: 遞減 遞增 當時,同時當趨于時,趨于, 從而的取值范圍為. 所以當

57、時,方程(_)無實數(shù)解, 解得的取值范圍是. 綜上,得的最大值為. 【練5-2】（20_-20_豐臺期末理18）已知函數(shù) （）求函數(shù)的極小值；（）如果直線與函數(shù)的圖象無交點，求的取值范圍 【答案】（）函數(shù)的定義域為R 因為 ， 所以 令，則 0 - 0 + 極小值 所以 當時函數(shù)有極小值 6分 （）函數(shù) 當時， 所以要使與無交點，等價于恒成立 令，即， 所以 當時，滿足與無交點；當時， 而， 所以，此時不滿足與無交點 當時，令 ， 則， 當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時， 由 得， 即與無交點 綜上所述 當時，與無交點 導數(shù)專題五、恒成立問題和存在性問題 【知識結(jié)構(gòu)】 【知識點】

58、求解函數(shù)的恒成立問題和存在性問題首先轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，主要的方法提煉：一、已知不等式恒成立，求參數(shù)取值范圍：分參法；（1）分離參數(shù)，使不等式轉(zhuǎn)化為（）恒成立；（2）求導函數(shù)；（3）找出的最大（?。┲担ǎ?；（4）解不等式（），得出參數(shù)取值范圍 二、已知不等式恒成立，求參數(shù)取值范圍：討論法；（1）構(gòu)造新函數(shù)，使不等式轉(zhuǎn)化為（）恒成立；（2）求導函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）找出的最?。ù螅┲担ǎ?；（4）解不等式（），得出參數(shù)取值范圍 【考點分類】 考點一、單變量單函數(shù)的不等式型；，即求 ，即求 【例1-1】（20_-20_朝陽期中文19）已知函數(shù)， （）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（

59、）當時，證明.【答案】（I）函數(shù)的定義域為. 因為. 又因為函數(shù)在單調(diào)減，所以不等式在上成立. 設(shè)，則，即即可，解得. 所以的取值范圍是. （）當時， .令，得或（舍）.當變化時，變化情況如下表：1 0 + 極小值 所以時,函數(shù)的最小值為. 所以成立. 【例1-2】（20_-20_海淀二模理18）已知函數(shù).（）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍；（）若曲線存在兩條互相垂直的切線，求實數(shù)的取值范圍.（只需直接寫出結(jié)果） 【答案】（）時且， ， 令則或；令則， 遞增區(qū)間為和；遞減區(qū)間為。（）在有解，在有解， 令，則在有解，即， 且， ， 當即時 在上遞增，在上遞減

60、，在上遞增， 若，則，則， 則在上遞減，在上遞增， 則恒成立， 滿足條件。若，則，則，則在上遞增， 則， ，又， 當即時，在上遞增， 在上遞增，由知與矛盾， 當即時，在上遞增， 由知與矛盾， 綜上所述： （）?！揪?-1】（20_-20_東城一模理18）設(shè)函數(shù)， （）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（）當時，恒成立，求的取值范圍；（）求證：當時， 【答案】（）當時，則， 則. 令得 + 所以 當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時， （）因為， 所以恒成立，等價于恒成立 設(shè)， 得， 當時， 所以在上單調(diào)遞減， 所以時， 因為恒成立， 所以 （）當時，等價于 設(shè)， 求導，得 由（）可知，時， 恒成立