多準則決策(姜啟源敦煌)

1、多準則決策(juc)及其在數(shù)學建模中的應用 清華大學(qn hu d xu) 姜啟源共三十三頁 多準則決策(juc)概述 多屬性決策的一般(ybn)步驟 多屬性決策應用過程中幾種主要方法的比較 層次分析法與多屬性決策和多屬性效用理論的關系提要共三十三頁 多屬性(shxng)決策（MADM, Multiple Attribute Decision Making）多準則(zhnz)決策（MCDM, Multiple Criteria Decision Making） 多目標決策（MODM,Multiple Objective Decision Making ）【多屬性效用理論（MAUT, Mult

2、i-Attribute Utility Theory）】共三十三頁MADM ：為了一個特定的目的在若干備選方案中確定一個最優(yōu)的，或者對這些方案按照優(yōu)劣(yu li)進行排序，或者給出優(yōu)劣(yu li)程度的數(shù)量結果, 而方案的優(yōu)劣(yu li)由若干屬性給以定量或定性的表述。 MODM ：為了若干特定的（一般是相互矛盾的）目標在若干備選方案中確定一個一定意義(yy)下最優(yōu)的，而備選方案集合由一些約束條件給定。 MODM又稱多目標優(yōu)化或目標規(guī)劃 多屬性決策(MADM)與多目標決策(MODM)概述共三十三頁多屬性決策（MADM）與多目標決策（MODM）應用領域非常(fichng)廣泛 MODM：選

3、擇收益大且風險小的投資組合、照顧乘客和航空公司雙方利益的航班安排、 2011B題交警平臺設置要考慮出警時間和工作量均衡、2009B題病床安排方案要考慮公平和效率兩方面、2009 D題會議籌備要考慮預訂賓館、會議室的數(shù)量、費用(fi yong)、距離等 MADM ：國家綜合實力評價、大學排名榜、公司新廠址選擇、教師績效考核、2011B題各區(qū)交警平臺設置的合理性評價、2010D題學生宿舍設計方案的評價 、2009B題病床安排的合理性指標 共三十三頁多屬性決策(juc)(MADM)的一般步驟 要素：備選方案組與屬性集合、決策矩陣、屬性權重、綜合(zngh)方法.備選方案組：由實際問題決定.1. 備選

4、方案組與屬性集合確定屬性集合的原則： 全面考慮，選取影響力（或重要性）強的. 屬性間盡量獨立（至少相關性不太強）. 不選難以辨別方案優(yōu)劣的（即使影響力很強）. 若數(shù)量太多（如大于7個），應將它們分層. 盡量選可量化的，定性的也要能明確區(qū)分檔次.共三十三頁2決策矩陣備選(bi xun)方案對每一屬性的屬性值例 選擇(xunz)戰(zhàn)斗機 (4種型號) 備選方案屬性X1X2X3X4X5X6A1A2A3A4X1最高速度(馬赫), X2航程(千海里), X3最大載荷(千磅) X4價格(百萬美元), X5可靠性, X6 機動性. 各方案對屬性的定量取值或定性表述 2.02.51.82.21.5205.52.

5、7186.52.0214.51.8205.0中很高低中高高中中共三十三頁對X5, X6表述(bio sh)的量化： “很高”、“高”、“中”、“低”、“很低” 記分9,7,5,3,1， 設有m個備選(bi xun)方案A1, A2, Am, n個屬性X1, X2, , Xn 決策矩陣例 選擇戰(zhàn)斗機Ai對Xj的取值 dij 屬性值決策矩陣（屬性值）的獲取 調查、度量各方案對屬性的取值 (偏于客觀) 通過成對比較，從正互反陣解出特征向量 (偏于主觀) 層次分析法共三十三頁dij作比例(bl)尺度變換 決策矩陣標準化 R的列最大值為1最大化R的列和為1歸一化R的列模為1模一化dij作區(qū)間(q jin

6、)尺度變換 R的列最小值為0（最大值為1）屬性值的物理意義(包括量綱)各不相同 共三十三頁效益型屬性(shxng)值單調增 決策矩陣標準化時先對費用型屬性值作倒數(shù)(do sh)變換: 屬性值(對決策優(yōu)劣)的性質 單調性 線性性對于明顯呈非線性的屬性值（如邊際效益遞減），需先擬合合適的函數(shù)作變換. 歸一化最大化費用型屬性值單調減 注意非單調性屬性的標準化處理共三十三頁3屬性(shxng)權重X1, X2, , Xn的權重(qun zhn)， 屬性權重的獲取 層次分析法：用成對比較矩陣解出特征向量偏于主觀 根據(jù)決策目標通過經驗、調查等先驗地給出 信息熵法 (借用信息論中熵的概念)偏于客觀熵 信息論

7、中衡量不確定性的指標，信息量的(概率)分布越趨于一致，不確定性越大.將歸一化決策矩陣R列向量 A1, Am對Xj的屬性值視為信息量的分布共三十三頁A1, Am對屬性(shxng)Xj的熵為 rij越一致(yzh), Ej越接近1定義Xj對于方案的區(qū)分度 可用rij的均方差或極差代替Fj 屬性權重 信息熵法例不易區(qū)分方案優(yōu)劣 共三十三頁以上方法(fngf)的綜合記偏于主觀與偏于客觀的方法得到的權重(qun zhn)分別為, 綜合權重,根據(jù)決策者對w(1), w(2)的偏好程度進行調節(jié) 或共三十三頁各種方法的詳細步驟(bzhu)參看：Hwang C.L. and Yoon K. Multiple

8、Attribute Decision MakingMethods and Applications . Berlin/Heidelberg/New York Springer-Verlag ,19814綜合方法(fngf)-由決策矩陣與屬性權重得到最終決策徐玖平，吳巍編著 多屬性決策的理論與方法. 北京 清華大學出版社 2006粗糙 模糊確定隨機共三十三頁4綜合方法(fngf)-由決策矩陣與屬性權重得到最終決策按照決策者掌握的屬性信息量的多少將方法(fngf)分類 沒有任何屬性信息 占優(yōu)法最大最小法 給定各屬性的最低水平 合取法 析取法 已知各屬性權重的順序字典序法 排列法 已知各屬性權重的數(shù)

9、值簡單加權和法加權積法線性分配法 接近理想解的排序法刪除選擇法共三十三頁1. 簡單(jindn)加權和法（SAW, Simple Additive Weighting ） 隱含假設：屬性相互獨立，各屬性值對整體評價的影響可以疊加，因而(yn r)各個屬性具有互補性. 方案Ai 對n個屬性的綜合取值為 對決策矩陣采用不同的標準化方法（歸一化、最大化），得到的結果會有差別. 或共三十三頁2. 加權積法（WP, Weighted Product ） 可以直接用方案對屬性(shxng)的原始值dij，不需要標準化 若效益型屬性(shxng)的權重取正值，則費用型屬性的權重應取負值 .將SAW的算術加權

10、平均改為幾何加權平均：共三十三頁3. 接近理想(lxing)解的排序法（TOPSIS ）n個屬性、m個方案視為n維空間中m個點的幾何(j h)系統(tǒng) 每個點的坐標由 確定 在空間中定義歐氏距離，決策矩陣模一化 正理想解由所有最優(yōu)加權屬性值構成 負理想解由所有最劣加權屬性值構成 定義距正理想解近、距負理想解遠的數(shù)量指標 相對接近度 備選方案的優(yōu)劣順序按照相對接近度確定 共三十三頁4. 刪除(shnch)選擇法（ELECTRE） 比較每一對方案 Ai , Ak的加權屬性值vij和 vkj, 按照vijvkj和vijvkj 將屬性集分為一致(yzh)集和矛盾集. 利用屬性值和權重定義一致性指標cik和

11、矛盾性指標dik, cik越大, dik越小, Ai越優(yōu)于Ak .將歐氏距離改為街區(qū)距離, 且決策矩陣歸一化或最大化TOPSIS方法等價于簡單加權和法的情況: 確定度量cik ,dik的閾值 , 時Ai 優(yōu)于Ak, 由此決定刪除和選擇的方案. 共三十三頁應用過程中幾種(j zhn)主要方法的比較 方法方案SAWWPTOPSISELECTREA12211A24443A31121A43333例 選擇(xunz)戰(zhàn)斗機方案排序基本一致：A3，A1優(yōu)于A4，A2 4種方法對方案的優(yōu)劣排序 共三十三頁 方法方案SAW(R最大化)SAW(R歸一化)WPTOPSISA10.2660.2690.2690.35

12、0A20.2260.2230.2190.146A30.2720.2740.2760.334A40.2360.2340.2360.170用SAW，WP，TOPSIS 計算(j sun)的數(shù)值結果 例 選擇(xunz)戰(zhàn)斗機A3與A1（A4與A2）差別不大，A3，A1明顯優(yōu)于A4，A2 用各種方法得到的結果沒有顯著差別 共三十三頁幾種(j zhn)方法的集成 “多屬性(shxng)決策(MADM)方法選擇本身就是一個MADM問題” 甄選：利用占優(yōu)法、和取法、字典序法等將被占優(yōu)的、不可接受的方案刪除. 排序或計算：分別利用SAW, WP, TOPSIS等對方案按照優(yōu)劣排序或計算數(shù)值結果. 集成：對幾

13、種方法得到的排序或數(shù)值結果進行集成. 平均法 Borda數(shù)法 加權和法 與其尋找最好方法，不如將幾種方法的結果加以集成. 共三十三頁 簡單、方便的SAW適用(shyng)于日常生活中大多數(shù)多屬性決策問題. 一些重大決策不妨采用思路更縝密、計算手段(shudun)更全面的TOPSIS, ELECTRE方法，或者將幾種方法加以集成. 多數(shù)文獻通過實例進行對比，認為一些主要方法得到的結果沒有顯著差異，但不能得出一般的結論. 應當在確定屬性集合及屬性權重上多花些精力，它們對最終決策的影響比不同方法的選擇要大得多. 結論與建議共三十三頁AHP的基本(jbn)步驟1.建立(jinl)層次分析結構模型2.構

14、造成對比較陣3.計算權向量（主右特征向量）并作一致性檢驗4.由各層的權向量計算組合權向量層次分析法(AHP)與多屬性決策(MADM)和多屬性效用理論(MAUT) 的關系 AHP的提出（20世紀80年代）比MAUT稍晚. AHP的應用領域與MAUT相近. AHP可視為MADM的方法之一，MADM的加權和法是AHP的特例. AHP與MAUT在學術上的爭論一直存在.共三十三頁AHP應用中的幾個(j )問題1.決策矩陣中屬性(shxng)值的獲得 相對度量對每一準則由各方案的成對比較陣和特征向量得到. 絕對度量按每一準則的特性劃分為若干等級，各方案“對號入座”博士碩士學士高中初中教育經驗品質職員晉升杰

15、出豐富中等較少無優(yōu)秀良好中等偏下差按每位職員的教育、經驗、品質、情況劃入相應的等級適用于了解不夠的新問題適用于了解充分的老問題共三十三頁2.決策矩陣中屬性(shxng)值的標準化 分配模式 (Distributive Mode), 即歸一化當某一方案的屬性(shxng)值改變時，其他方案的屬性(shxng)值隨之改變 理想模式 (Ideal Mode), 即最大化任一方案的屬性值獨立于標準方案外的其他方案決策者關心每個方案支配（占優(yōu)）其他方案的程度決策者關心每個方案相對標準方案的優(yōu)劣getting a well performing cargetting a car that stands o

16、ut among the alternativespurchased by co-workers共三十三頁當新方案加入(jir)（或舊方案退出）時原方案的優(yōu)劣排序是保持還是會逆轉？3.方案排序的保持或逆轉（準則(zhnz)權重不變）模擬實驗（29個準則、 29個方案加入一新方案，每種情況模擬1000次）表明：對分配模式(DM)原方案屬性值改變，排序可能改變.對理想模式(IM)原方案排序不變，但當新方案屬性值高于原方案時，原方案排序可能改變.原方案優(yōu)劣排序不變的占80%以上.用絕對量測，新方案加入時原方案優(yōu)劣排序不變.共三十三頁排序保持(boch)或逆轉的算例 準則方案X1w1=0.6X2w2=

17、0.4A51B15 準則方案X1w1=0.6X2w2=0.4A51B15C (=A)51DMIMDMIM 準則方案X1w1=0.6X2w2=0.4A51B15C81IM屬性(shxng)值可大于1逆轉保持逆轉保持共三十三頁4.分配模式 (DM) 與理想(lxing)模式 (IM) 的選用 分配模式(DM)用于資源固定(gdng)的封閉系統(tǒng)，新用戶（方案）的加入會稀釋資源，需重新分配. 理想模式(IM)用于資源不定的開放系統(tǒng)，新用戶的加入一般不會稀釋資源，原用戶不需重新分配. 對固定方案集合的選優(yōu)(只選一個)、定性評價(只考慮優(yōu)劣順序)等問題，兩種模式均可但多用IM. 對固定方案集合的資源分配、

18、定量評價(考慮數(shù)值大小)等問題，易用DM.注 區(qū)間尺度變換 在排序保持比例上少于IM和DM(模擬)，尤其不適用于資源分配問題.共三十三頁資源分配問題(wnt)的算例績效獎金分配教學w=0.5科研w=0.5AB目標準則教師教師A教師B教學分科研分51 149 99問：1萬元獎金如何(rh)分配？DMIM經驗：教學5千元平分，科研5千元給B與經驗一致與經驗有別區(qū)間尺度嚴重不妥!共三十三頁5. AHP與MAUT的爭論(zhngln)二者的公理化系統(tǒng)有區(qū)別 AHP允許(ynx)排序逆轉而MAUT不允許(ynx).Saaty: From its axioms to its procedures, the

19、 AHP has turned out to be historically and theoretically a different and independent theory of decision making from utility theory. MAUT需要偏好排序的傳遞性而AHP不需要.Because the AHP is not an extension of MAUT, why is it criticized for not adhering to axioms of MAUT? Must all procedures for resolving multiattri

20、bute problems follow the rules of MAUT? Are the axioms of MAUT sacrosanct? S.I. Gass, Model World: The Great Debate?MAUT Versus AHP, Interfaces Vol. 35, No. 4, 2005, p308 共三十三頁AHP 新的參考文獻T.L.Saaty, L.G.Vargas, Models, Methods, Concepts & Applications of the Analytic Hierarchy Process (Second Edition),Spr