《數(shù)學(xué)物理方法》第十二章---積分變換法課件(126頁P(yáng)PT)

1、 耐心+堅持+努力 成功第1頁，共126頁。第十二章 積分變換法 積分變換法是物理學(xué)與其他應(yīng)用科學(xué)中求解數(shù)學(xué)物理方程的一種重要方法， 它適用于求解無界區(qū)域及半無界區(qū)域的定解問題。第2頁，共126頁。積分變換法是 通過對數(shù)理方程的積分變換，減少自變量的個數(shù)，直至化為常微分方程，使求解問題大為簡化。此外，積分變換法還可以用來計算定積分，求解常微分方程和積分方程本章介紹應(yīng)用最廣的傅里葉變換法及拉普拉斯變換法。3第3頁，共126頁。12. 1 傅里葉變換本節(jié)介紹傅里葉級數(shù)、傅里葉積分、傅里葉變換和傅里葉變換的性質(zhì)。第4頁，共126頁。12.1.1 傅里葉級數(shù)和復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)1.傅里葉級數(shù)一個以

2、2l 為周期的函數(shù)f (x)，若在區(qū)間-l, l上滿足狄利克雷條件（即連續(xù)或有有限個第一類間斷點，并只有有限個極大值和極小值），則在-l, l 上可展開為傅里葉級數(shù)5第5頁，共126頁。2.復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)它可由式(12.1.1)導(dǎo)出，為此令kn=np/l,則6第6頁，共126頁。用e-iknx乘上式兩邊，再對x從-l到l積分, 利用進(jìn)行求和之后，將所得公式的啞指標(biāo)m全部改用n表示，即得展開系數(shù)7第7頁，共126頁。12.1.2 傅里葉積分1. 傅里葉積分和傅里葉積分定理周期函數(shù)的性質(zhì)是f(x+2l)=f(x), x每增大2l，函數(shù)值就有一次重復(fù); 非周期函數(shù)沒有這個性質(zhì)，但可認(rèn)為它是周期

3、2l 的“周期函數(shù)”，從而可以由式 (12.1.4)和式(12.1.6)出發(fā)，利用l , 把符合一定條件的非周期函數(shù)展開為傅里葉積分8第8頁，共126頁?？梢宰C明，如果定義在(-,)的函數(shù)f(x) ,在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件，且絕 對可積 = 有界 ，則在 f(x) 的連續(xù)點處，傅里葉積分存在在f(x)的第一類間斷點處，積分等于 這稱為傅里葉積分定理9第9頁，共126頁。現(xiàn)在將傅里葉級數(shù)過渡到傅里葉積分由于l , 相鄰兩kn，值之差為將式(12.1.6)與式(12.1.8)代入式(12.1.4)，得后式利用了定積分的定義，上式就是傅里葉積分式(12.1.7).Cn1/l10第10頁，共

4、126頁。2. 三維形式的傅里葉積分現(xiàn)在，將傅里葉積分由一維推廣到三維則式(12.1.9)可寫成 采用矢量記號11第11頁，共126頁。3. 傅里葉積分的三角形式由式(12.1.7)出發(fā)，交換積分次序，并利用歐拉公式可得 被積函數(shù)的正弦項是k的奇函數(shù)，對k的積分為零；余弦項是k的偶函數(shù)，為(0,)積分值的2倍。故12第12頁，共126頁。13第13頁，共126頁。12.1.3 傅里葉變換1.傅里葉變換的定義在傅里葉積分公式(12.1.7)中，令這表明 f(x)與 是互相對應(yīng)的： f(x) 描述的物理問題，也可以等效地用 來描述14第14頁，共126頁。從數(shù)學(xué)上講，函數(shù)f(x)與 的關(guān)系就是一個

5、積分變換的關(guān)系我們稱 為f(x)的傅里葉變換，記作 = Ff(x)，即稱f(x)是 的傅里葉逆變換，這個運(yùn)算稱為反演，記作 ，即通常還把 稱為f(x)的像函數(shù)，把 f(x) 稱為 的像原函數(shù) 15第15頁，共126頁。由式(12.1.16)和式(12.1.17)可得， f(x)的傅里葉變換的逆變換等于f(x)的自身，即 在量子力學(xué)中，粒子的狀態(tài)是用波函數(shù)來描述的以粒子動量為自變量的波函數(shù)c(p, t)就是以粒子坐標(biāo)為自變量的波函數(shù)c(x, t)的傅里葉變換。16第16頁，共126頁。2.傅里葉的正弦變換和余弦變換若f(x)為奇函數(shù)，記作fs(x) ，代入式(12.1.12)和式(12.1.13

6、)，由被積函數(shù)的奇偶性易見A(k)=0，將B(k)記作 。 將結(jié)果代入式(12.1.11)，并采用記號上兩式稱為傅里葉正弦變換及其逆變換17第17頁，共126頁。2.傅里葉的正弦變換和余弦變換若f(x)為偶函數(shù)，記作fC(x) ，代入式(12.1.12)和式(12.1.13)，由被積函數(shù)的奇偶性易見B(k)=0，將A(k)記作 。 將結(jié)果代入式(12.1.11)，并采用記號上兩式稱為傅里葉余弦變換及其逆變換18第18頁，共126頁。3. 三維傅里葉變換正如由式(12.1.7)可以得到式(12.1.14)，式(12.1.15)一樣，由式(12.1.10)可得19第19頁，共126頁?！纠?2.1

7、.1】求 的傅里葉變換解 20第20頁，共126頁?！纠?2.1.2】求f(x)=exp2ax2 的傅里葉變換，其中a為正數(shù)解 由傅里葉變換的定義出發(fā)，并利用4.2節(jié)例4.2.7 的結(jié)果，便有21第21頁，共126頁。【例12.1.3】求單位階躍函數(shù)H(x-a) = 的傅里葉變換(a0)解 由定義由于積分不收斂, 故單位階躍函數(shù)的傅里葉變換不存在. 為改善其收斂性質(zhì), 考慮函數(shù)(b0)22第22頁，共126頁?！纠?2.1.4 】試證明解 題設(shè)的積分不易直接計算?？紤]到 是奇函數(shù)， 由傅里葉正弦變換的定義可見，只要證明 , 也即證明e-k滿足傅里葉正弦逆變換(見式(12.1.20)則本題得證2

8、3第23頁，共126頁。實際上，通過兩次分部積分可證，留給讀者作為練習(xí)24第24頁，共126頁。4. d函數(shù)的傅里葉展開d函數(shù)可以表示為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的傅里葉積分證明 令f(x)=d (x-x)代入式(12.1.14), 得將上式代入式(12.1.15) 即有(12.1.25b)25第25頁，共126頁。利用歐拉公式及奇函數(shù)的積分性質(zhì)，可得式(12.1.25a)的三維形式為 這幾個d公式(12.1.25)和 (12.1.26)在量子力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用26第26頁，共126頁。12.1.4 傅里葉變換的性質(zhì)假定下面需要取傅里葉變換的函數(shù)，均滿足傅里葉變換的條件27第27頁，共126頁。1.

9、線性定理若a1 、a2為任意常數(shù)，則對任意函數(shù)f1(x)及f2(x) ，有28第28頁，共126頁。證明 由定義出發(fā) 29第29頁，共126頁。 2.延遲定理設(shè)x0為任意常數(shù)，則 證明由定義出發(fā)，令u=x-x0可得 由式(12.1.16)可見,Ff(x)僅為k的函數(shù)，與x無關(guān)(x是定積分的積分變量)故 Ff(u)=Ff(x) (12.1.30)30第30頁，共126頁。 3.位移定理設(shè)ko為任意常數(shù)，則(見習(xí)題12.1.9)31第31頁，共126頁。 4.相似定理設(shè)a為不等于零的常數(shù)，則證明 令u=ax，分別討論a0與a0兩種情形注意當(dāng)a 0)若s足夠大，函數(shù) f1(t) 的傅里葉變換就有可能

10、存在(見拉氏變換存在定理)，于是它的傅里葉逆變換為 73第73頁，共126頁。作變量變換 p = s+iw (12.3.4) 定義函數(shù) 為f1(t) 的傅里葉變換將式(12.3.5)，式(12.3.4)代入式(12.3.2)在0,內(nèi)，fl(t)e-s t f(t) ，將式(12.3.1)、式(12.3.4)、式(12.3.5)代入式74第74頁，共126頁。兩邊乘 e-s t 這樣，式(12.3.6 )與式(12.3.7)構(gòu)成一對新的積分變換，并稱 為 f(t) 的拉氏變換，記作式(12.3.7) 稱為梅林(Mellin)反演公式，亦即 的拉氏逆變換，記作 稱 為f(t)的像函數(shù), f(t)為

11、 的像原函數(shù)75第75頁，共126頁。12.3.2 拉氏變換的存在定理若函數(shù)f(t)滿足下述條件(1) 當(dāng)ts0上存在且解析圖12.376第76頁，共126頁。證明 (1) 證明 存在。由所以積分式(12.3.6)絕對收斂，且 在右半平面Re p = ss0存在.(2) 證明 解析。在式(12.3.12)的積分號內(nèi)對p求偏導(dǎo)，并取 (s1為任意實常數(shù))，則有(12.3.12)77第77頁，共126頁。這表明 在半平面Re p = ss0上一致收斂，交換積分與微商的次序，得既然 的導(dǎo)數(shù)在Re p = ss0上存在且有限，故 在Re p = ss0內(nèi)解析.78第78頁，共126頁。12.3.3 常

12、用函數(shù)的拉氏變換(1) 若f(t)Ceat (a為復(fù)數(shù))，則(12.3.13) (2) 若f(t)sinbt 或 cosbt (b為復(fù)數(shù))，則(12.3.14) (12.3.15) 79第79頁，共126頁。(3) 若 f(t) = tb (Reb -1)，則分別令b =-1/2 及b =n (式中n=0,1,2,), 則Rep 0 (12.3.16)80第80頁，共126頁。其他函數(shù)的拉氏變換可以通過上述函數(shù)的拉氏變換及拉氏變換的性質(zhì)求得，也可直接由定義出發(fā)計算，還可直接查閱拉氏變換表(表12-1).表 12-181第81頁，共126頁。表 12-1 續(xù)82第82頁，共126頁。12.3.4

13、 拉氏變換的性質(zhì)假定取拉氏變換的函數(shù)，均滿足拉氏變換的條件(見拉氏變換的存在定理) 1. 線性定理若al、 a2為任意常數(shù)，則(12.3.20) (12.3.19) 83第83頁，共126頁。證明 只證明式(12.3.19)，第二式的證明留作練習(xí). 由定義出發(fā) 84第84頁，共126頁。【例12.3.1】求Lshat和Lchat的值. 解 85第85頁，共126頁。2.延遲定理設(shè) t 為非負(fù)實數(shù)，則Lf(t-t) = e-pt Lf(t) (12.3.21)證明 由定義出發(fā)u = t-t , 可得利用us0是一致收斂的，上面交換積分次序是“合法的 ”94第94頁，共126頁。 9.卷積定理L

14、f1(t)f2(t) = L f1(t)L f2(t) (12.3.31)證明 由卷積及拉氏變換的定義出發(fā)，交換積分次序，作變量代換 u = t-t ，可得95第95頁，共126頁。下限可寫成零，將exp(-pt)提出積分號外，有計算 對上式作逆變換，即有由于當(dāng)u0時f(u)=0 的積分96第96頁，共126頁。根據(jù)梅林定理導(dǎo)出拉普拉斯變換普遍的反演公式-展開定理10.展開定理展開定理若當(dāng) 一致地趨于零， 且 只有有限個孤立奇點bk( k =1,2,)，則97第97頁，共126頁。證明 梅林公式為梅林公式的積分路線是p平面上與虛軸平行的直線 l (圖12.4)為了運(yùn)用留數(shù)定理進(jìn)行計算，選擇一條

15、閉合回路L：以坐標(biāo)原點為圓心, R為半徑作一圓弧CR，使CR與L構(gòu)成一閉合回路L = CR + l98第98頁，共126頁。仿照若當(dāng)引理，可以證明回路L由 l +CR構(gòu)成，由上式及留數(shù)定理可得式中bk為 在p平面上有限遠(yuǎn)處的全部奇點。拉普拉斯變換的存在定理指出， 在直線L的右側(cè)解析99第99頁，共126頁。【例12.3.4】已知 解 首先將 之積，其中 由式(12.3.13)得 其拉氏逆變換為100第100頁，共126頁。由例12.3.3得其拉氏逆變換為 差一個因子p，利用微分定理于g(t) =te-b t ,便有其拉氏逆變換為101第101頁，共126頁。將式(12.3.33)及式(12.3

16、.35)代入卷積定理對上式作拉氏逆變換，因為已假設(shè)作拉氏變換的函數(shù)滿足存在定理的條件(1)，即函數(shù)的宗量小于零時, 該函數(shù)為零.由t-t0及t0得t 的積分區(qū)域為0到 t102第102頁，共126頁。據(jù)此得最后的等式是利用分部積分法求得的.103第103頁，共126頁?！纠?2.3.5】求解常微分方程的初值問題(1)對初值問題作拉氏變換.利用微分定理及初始條件可得 (2)求解像函數(shù) 解上述代數(shù)方程，得 104第104頁，共126頁。(3) 對像函數(shù)作拉氏逆變換.利用卷積定理可得由例12.3.1得 C0ch(at) 及 C0/ach(at) 105第105頁，共126頁。將以上三式代入式(12.

17、3.36)，得106第106頁，共126頁?！纠?2.3.6】已知解 f(p)為多值函數(shù)，支點為-1到。從-1到-沿負(fù)實軸作割線，規(guī)定割線上岸 (p+1)的輻角值為p，割線下岸輻角為-p：選擇積分回路L如圖12.5所示.試?yán)谜归_定理，求 f(t).107第107頁，共126頁。對于圓弧Ce上的p，有|p+1|=e由小圓弧引理得由 在回路L內(nèi)部解析, 故回路積分為零108第108頁，共126頁。根據(jù)梅林公式及留數(shù)定理得109第109頁，共126頁。作變量代換u=x2，利用歐拉積分 110第110頁，共126頁。作業(yè)- 12.3 第271頁1組2組3組12.3.412.3.612.3.712.3

18、.212.3.612.3.712.3.312.3.612.3.7111第111頁，共126頁。12.4 拉普拉斯變換法本節(jié)應(yīng)用拉氏變換求解波動方程與熱傳導(dǎo)方程的定解問題.無論方程與邊界條件是否為齊次，其求解步驟均為：對方程及邊界條件作拉氏變換；求解象函數(shù)，對象函數(shù)作拉氏逆變換得解.第112頁，共126頁。采用拉氏變換法求解定解問題時, 往往是針對時間變量t進(jìn)行的, 特別是對帶有邊界條件的定解問題.在解題時，采用簡寫記號 113第113頁，共126頁。12.4.1 波動方程的定解問題【例 12.4.1】求解半無界波動方程的混合問題解 1. 對方程和邊界條件作關(guān)于t 的拉氏變換.由拉氏變換的定義、微分定理及初始條件可得帶參數(shù) p 的常微分方程的邊值問題114第114頁，共126頁。2. 求解象函數(shù)u(x,p)方程 (12.4.4)的通解是相應(yīng)的齊次方程的通解與(12.4.4)式的特解之和, 即 將式(12.4.6)代入式(12.4.5), 得C10, C2 代入上式，便有115第115頁，共126頁。 (3) 對像函數(shù)作拉氏逆變換. 利用12.3節(jié)的式(12.3.18)及延遲定理 其中，