函數(shù)及其圖像(課堂PPT)課件

1、第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù) 研究對(duì)象 研究方法 研究橋梁1函數(shù)與極限第一章 函數(shù)與極限1.1 函數(shù)及其圖像1.2 函數(shù)極限1.3 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量1.4 數(shù)列的極限1.5 兩個(gè)重要極限1.6無(wú)窮小的比較1.7 連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì) 2函數(shù)與極限1.1 函數(shù)及其圖像一、集合二、常量、變量、函數(shù)三、函數(shù)的初等性質(zhì)四、函數(shù)的初等運(yùn)算五、基本初等函數(shù)與初等函數(shù)六、函數(shù)關(guān)系的建立重點(diǎn)：函數(shù)的概念、初等函數(shù)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)3函數(shù)與極限1.1.1 基礎(chǔ)知識(shí)回顧1.集合:具有某種特定性質(zhì)的對(duì)象（事物）的總體.組成這個(gè)集合的對(duì)象稱為該集合的元素.有限集（列舉表示）無(wú)限集（命題式表示）集合：A，B，

2、C表示；元素：a，b，c表示4函數(shù)與極限2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸O1-1x實(shí)數(shù)系的連續(xù)性：實(shí)數(shù)的集合與數(shù)軸上的點(diǎn)的 集合一一對(duì)應(yīng)5函數(shù)與極限例如不含任何元素的集合稱為空集例如規(guī)定 空集為任何集合的子集.A是 B 的子集 , 或稱 B 包含 A ,若且則稱 A 與 B 相等,例如 , ,記作記作定義2 .若設(shè)有集合A，B，必有3.集合之間的關(guān)系則稱6函數(shù)與極限定義 3 . 給定兩個(gè)集合 A, B, 定義下列運(yùn)算:并集交集且差集且余集直積記為平面上的全體點(diǎn)集或AB7函數(shù)與極限4.區(qū)間:是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).稱為開(kāi)區(qū)間, 記作 （a, b）稱為閉區(qū)間,記作 a, b8函數(shù)

3、與極限稱為半開(kāi)區(qū)間, 記作a, b)稱為半開(kāi)區(qū)間, 記作 (a, b有限區(qū)間無(wú)限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.9函數(shù)與極限5.鄰域:點(diǎn) a的去心的鄰域，記作設(shè)a和數(shù)集稱為點(diǎn) a的鄰域.是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且點(diǎn) a叫做這鄰域的中心，叫做這鄰域的半徑.10函數(shù)與極限幾個(gè)邏輯符號(hào)表示對(duì)“任意一個(gè)”、“對(duì)每一個(gè)”表示“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”使得“”表示“蘊(yùn)含”，“可推出”“” “”表示“當(dāng)且僅當(dāng)”、“充分必要”、“等價(jià)”“滿足方程”11函數(shù)與極限在邏輯推理過(guò)程中最常用的兩個(gè)邏輯記號(hào)“ ”表示 “對(duì)每一個(gè)”, 或“任取 ”, 或“任意給定”;“ ”表示 “存在 ”, 或“至

4、少存在一個(gè)”,或“能夠找到”.如實(shí)數(shù)的阿基米德 (Archimedes) 公理:任意給定兩個(gè)正的實(shí)數(shù) a,b,都存在一個(gè)自然數(shù)n,用邏輯符號(hào)將阿基米德公理改寫(xiě):練習(xí)12函數(shù)與極限6.絕對(duì)值:運(yùn)算性質(zhì):絕對(duì)值不等式:13函數(shù)與極限1.1.2 函數(shù) 在某過(guò)程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對(duì)“過(guò)程”而言的.通常用字母 a, b, c 等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母 x, y, t 等表示變量.常量 變量14函數(shù)與極限因變量自變量數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域函數(shù)定義：設(shè)是一個(gè)非空集合，f 是一個(gè)確定的法則，如果通過(guò)法則 f，存在唯一的則稱由 f 確定了一

5、個(gè)定義于D上，取值于R的函數(shù)，記作與x相對(duì)應(yīng)，當(dāng)時(shí)，稱為函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值.函數(shù)值全體組成的數(shù)集稱為函數(shù)的值域.15函數(shù)與極限函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.16函數(shù)與極限約定: 如無(wú)特別指出，定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值（自然定義域）.定義:17函數(shù)與極限說(shuō)明：18函數(shù)與極限不同的對(duì)應(yīng)法則表示不同的函數(shù) , 如)(xfy=、)(xgy=、)(xyj=等等。 函數(shù)有三種表示法：圖象法、表格法. 在解析法中 ,函數(shù)的解析式有兩類：一個(gè)解析式表示的函數(shù) , 例如 :圓的面積S與半徑R的關(guān)系是 、解析法一類僅只有另一類是由一個(gè)以上的解析式表示的函數(shù),在定義域內(nèi)的不同范圍用不同的解析

6、式表示,這種函數(shù)稱為分段函數(shù)。這種函數(shù)例如 ，某市出租車(chē)的乘車(chē)費(fèi)y(元)與里程x(公里)之間的關(guān)系是：注意：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù) ， 而不是幾個(gè)函數(shù)。19函數(shù)與極限函數(shù)的定義域1. 函數(shù)中有分式,要求分母不能為零2. 函數(shù)中根式,要求負(fù)數(shù)不能開(kāi)偶次方3. 函數(shù)中有對(duì)數(shù)式,要求真數(shù)必須大于零4. 函數(shù)中有對(duì)數(shù)式和反三角函數(shù)式,要求符合它們定義域若函數(shù)式是上述各式的混合式,則應(yīng)取各部分定義域 的交集20函數(shù)與極限例1 求下列函數(shù)的定義域21函數(shù)與極限練解22函數(shù)與極限 (2) 符號(hào)函數(shù)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyo(1) 絕對(duì)值函數(shù)xyO23函數(shù)與極限 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2

7、-1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xyo(4) 狄利克雷函數(shù)(3) 取整函數(shù) y=xx表示不超過(guò) 的最大整數(shù)5.3=5, -4.5= -5.24函數(shù)與極限(5) 取最值函數(shù)yxoyxo25函數(shù)與極限在自變量的不同變化范圍中, 對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).26函數(shù)與極限例1 解下列各題27函數(shù)與極限例2解:故定義域是-3, -1.因?yàn)?f(x) 的定義域是0, 2,所以對(duì)f(x+3)的有0 x+32,即 -3x-1,故f(x+3)的定義域是-3, -1.28函數(shù)與極限例3脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖,其波形如圖所示,寫(xiě)出電壓U與時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系式.

8、解單三角脈沖信號(hào)的電壓29函數(shù)與極限30函數(shù)與極限例4. 已知函數(shù)解:及寫(xiě)出 f (x) 的定義域及值域, 并求f (x) 的定義域 值域 31函數(shù)與極限1.1.3 函數(shù)的幾種特性1函數(shù)的有界性(bounded) :M=1-M=-132函數(shù)與極限有界的充分必要條件是既有上界又有下界。xyo33函數(shù)與極限例.34函數(shù)與極限 注有界的幾何意義如左下圖.有界無(wú)界:無(wú)界35函數(shù)與極限2函數(shù)的單調(diào)性(monotonicity) :xyo當(dāng)時(shí), 恒有稱 f(x)為 I上的單調(diào)增函數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是 D，且有區(qū)間若36函數(shù)與極限xyo當(dāng)時(shí), 恒有稱 f(x)為 I上的單調(diào)減函數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)的定

9、義域是 D，且有區(qū)間若37函數(shù)與極限 注 2. 應(yīng)指明單調(diào)區(qū)間 ,否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤, 例:解.00? 0?38函數(shù)與極限容易看出:不難驗(yàn)證:39函數(shù)與極限3函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x40函數(shù)與極限yxox-x奇函數(shù)41函數(shù)與極限如xycos=在區(qū)間),(+-上是偶函數(shù)(如圖2.1)如3xy=在),(+-上是奇函數(shù)(如圖2.2)函數(shù)xxy2sin4+=在),(+-上是非奇非偶函數(shù)(如圖2.3)圖2.1圖2.2圖2.342函數(shù)與極限4函數(shù)的周期性(periodicity) :（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.周期為43函數(shù)與極限例狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)狄利克雷(德)1805

10、-1859有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xyo(當(dāng)x是有理函數(shù)時(shí))(當(dāng)x是無(wú)理函數(shù)時(shí))這是一個(gè)周期函數(shù),任何正有理數(shù)r都是它的周期.因?yàn)椴淮嬖谧钚〉恼欣頂?shù),所以沒(méi)有最小正周期.44函數(shù)與極限1.1.4 函數(shù)的初等運(yùn)算1. 函數(shù)的四則運(yùn)算 45函數(shù)與極限46函數(shù)與極限D(zhuǎn)WDW2. 反函數(shù)(inverse function)運(yùn)算47函數(shù)與極限注48函數(shù)與極限習(xí)慣上,的反函數(shù)記成1.反函數(shù)的求法：先由y=f(x)解出根據(jù)習(xí)慣，f(x)的反函數(shù)記為49函數(shù)與極限 2.函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對(duì)稱.即即3.反函數(shù)與函數(shù)的關(guān)系50函數(shù)與極限51函數(shù)與極限3 復(fù)合函數(shù)手電筒D復(fù)合函數(shù) 52函數(shù)與極限復(fù)合函數(shù)也可以

11、看作是產(chǎn)品的二次加工（多次加工）53函數(shù)與極限xuy定義: 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是而函數(shù)的值域?yàn)槿魟t可確定y為x的函數(shù),稱為 f 與的復(fù)合函數(shù)，記為即54函數(shù)與極限注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成；3.復(fù)合運(yùn)算不滿足交換性,55函數(shù)與極限例2解56函數(shù)與極限綜上所述57函數(shù)與極限1) 冪函數(shù)(power function)1.1.5 基本初等函數(shù)與初等函數(shù)基本初等函數(shù)（6類）：常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。 58函數(shù)與極限2) 指數(shù)函數(shù)(exponential function)定義域?yàn)橹涤驗(yàn)?/p>

12、59函數(shù)與極限3) 對(duì)數(shù)函數(shù)(logarithm function)定義域?yàn)橹涤驗(yàn)?0函數(shù)與極限4) 三角函數(shù)(trigonometric function)正弦函數(shù)定義域?yàn)橹涤驗(yàn)?1函數(shù)與極限余弦函數(shù)定義域?yàn)橹涤驗(yàn)?2函數(shù)與極限正切函數(shù)余切函數(shù)定義域值域定義域值域63函數(shù)與極限5) 反三角函數(shù)(inverse trigonometric function)定義域值域 主值反正弦函數(shù)64函數(shù)與極限定義域值域 主值反余弦函數(shù)65函數(shù)與極限 主值定義域值域反正切函數(shù)反余切函數(shù) 主值定義域值域 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).66函數(shù)與極限(2) 初等函數(shù)(ele

13、mentary function)及其分解初等函數(shù).如都是初等函數(shù).不是初等函數(shù). 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算(加、減、乘、除)和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù), 稱為67函數(shù)與極限又如2321+=+xxey等都是初等函數(shù)。如+=0,0,3)(2xxxxxf不是初等函數(shù)。2x=如：+xsin1xxxxy32logtan4cos1-+-+= ,分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)注意：是初等函數(shù)。-=0,0,xxxx而68函數(shù)與極限雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù):奇函數(shù).偶函數(shù).1、雙曲函數(shù)69函數(shù)與極限奇函數(shù),有界函數(shù),70函數(shù)與極限雙曲函數(shù)常用公式71函數(shù)與極限反雙曲函數(shù)奇函數(shù),72函數(shù)與極限奇函數(shù),73函數(shù)與極限74函數(shù)與極限1.1.6 函數(shù)關(guān)系的建立例1 函數(shù)的列表表示：某公司一年中月銷(xiāo)售個(gè)統(tǒng)計(jì)月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 銷(xiāo)售額 25 24 18 17 16 17 17 18 19 21 23 24 例2 函數(shù)的圖像表示：某氣象觀察點(diǎn)24小時(shí)氣溫觀察資料圖O tT75函數(shù)與極限例3 函數(shù)關(guān)系的解析式表示：某人從美國(guó)到加拿大去旅游，他把美元換成加拿大元時(shí)幣面數(shù)值增加了12%，回國(guó)時(shí)又把加拿大元換成美元，幣面數(shù)值減少12%，把兩次兌換后的幣面數(shù)值用函數(shù)表示出來(lái)。這樣兩種兌