函數(shù)的單調(diào)性凹凸性與極值PPT課件

1、函數(shù)的單調(diào)性凹凸性與極值12.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118) 在第一章, 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加(或減少)的幾何解釋: 在某個區(qū)間上對應(yīng)曲線是上升或下降的. 如 單調(diào)性是函數(shù)的重要性態(tài)之一. 它既決定著函數(shù)遞增和遞減的狀況, 又有助于我們研究函數(shù)的極值、證明某些不等式、分析描繪函數(shù)的圖形等.y= (x)oxxyyoy= (x)一、函數(shù)單調(diào)性的判別法22.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118) 用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性常用的有比較法、比值法等.但繁! 下面討論如何用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性.若 y = f (x)在區(qū)間(a, b)上單調(diào)遞增若y = f (x)在區(qū)間(a, b)上單調(diào)遞減各點處切線的斜率為正各點處切線的

2、斜率為負(fù)32.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118) 定理1 (函數(shù)單調(diào)性的判定方法) 設(shè) y =(x) 在區(qū)間a, b上連續(xù), 在區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 則對即函數(shù)導(dǎo)數(shù)在區(qū)間保號從而此函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)一定單調(diào).證則 (x) 在區(qū)間a, b內(nèi)單調(diào)遞增加;則 (x) 在區(qū)間a, b內(nèi)單調(diào)遞減少.根據(jù)拉格朗日中值定理, 有42.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118) 內(nèi)單調(diào)遞增;內(nèi)單調(diào)遞減.52.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)注1 研究函數(shù)的單調(diào)性, 就是判斷它在哪些區(qū)間內(nèi)遞增, 哪些區(qū)間內(nèi)遞減. 由定理 1 對可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性, 可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況予以確定. 注2 定理 1 的結(jié)論對其他各種區(qū)間 (包括無窮區(qū)間) 也成立.解例

3、162.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)注 函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性注 如果函數(shù)且等號僅在個別點處成立, 則定理1仍成立. 如oxy注 反過來, 若(x)在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)增加(或減少), 則(x)在(a, b)內(nèi)必有單調(diào)增加.若則稱點 x0 為函數(shù) f(x) 的駐點.72.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)利用定理1可以討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.問題 一般地,函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，如何判斷函數(shù)在各個部分區(qū)間上的單調(diào)性?若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點和不可導(dǎo)點是單調(diào)

4、區(qū)間的分界點方法注 不存在的點就是使導(dǎo)數(shù) 沒意義的點.82.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)(1) 確定函數(shù)定義域; (2) 確定函數(shù)的駐點 的點, 以這些點為分界點劃分定義域為多個子區(qū)間; (3)確定 在各子區(qū)間內(nèi)的符號, 從而定出(x)在各子區(qū)間的單調(diào)性.解 函數(shù) f(x) 定義域為 例2 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.確定函數(shù) y = (x) 的單調(diào)性的一般步驟是:92.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)x 列表討論如下: 故 是(x)的遞增區(qū)間. 1, 2 是遞減區(qū)間. (端點可包括也可不包括)將 分成 討論函數(shù) 的單調(diào)性.解 函數(shù)定義域為練一練102.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)x故在 內(nèi)(x)是遞增的, 在 內(nèi)遞減

5、.列表討論如下:不可導(dǎo)點.112.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)例3解單調(diào)區(qū)間為122.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)例4證注意: 區(qū)間內(nèi)個別點導(dǎo)數(shù)為零不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,132.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)小結(jié)與思考題1單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實根的個數(shù)和證明不等式.142.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)思考題152.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)思考題解答不能斷定.例但162.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)當(dāng) 時，當(dāng) 時，注意 可以任意大，故在 點的任何鄰域內(nèi)， 都不單調(diào)遞增172.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)課堂練習(xí)題1

6、82.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)192.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)課堂練習(xí)題答案202.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)212.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)三、函數(shù)的凹凸性與拐點 函數(shù)(x)的單調(diào)性與極值是函數(shù)的重要性態(tài).在研究了函數(shù)的單調(diào)性后, 若不知道曲線的彎曲方向, 仍不能準(zhǔn)確描繪曲線變化的特點. 一般地, 函數(shù)單調(diào)增加或單調(diào)減少都有兩種方式, 所以只討論函數(shù)的單調(diào)性是不夠的, 還必須討論它的凹凸性.222.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)BAC如圖中曲線弧AB是單增的曲線. 但從A 到 C 的曲線是向上凸的; 從 C 到 B 的曲線是向下凸的. C 恰好是上凸和下凸的分界點, 我們稱為拐點.顯然, 曲線的彎曲

7、方向和彎曲方向(上凸和下凸)的分界點對我們研究函數(shù)的性態(tài)是十分重要的. 這就是下面討論的凸性與拐點.1. 曲線的凸性232.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)問題: 如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方242.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118) 定義 若曲線y = (x)在區(qū)間 I 內(nèi)連續(xù),則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是向上凹(或凸)的.oxyABy = (x)oxyABy = (x) 將曲線具有的向上凹或向上凸的性質(zhì)稱為曲線的凹凸性.252.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118) 定義2 設(shè)函數(shù) y = (x) 在區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo).若該函數(shù)曲線在 I 內(nèi)總是位于其上任意一點的切線上方 (

8、即曲線向下彎曲), 則稱該曲線在 I 內(nèi)是向上凹的; 區(qū)間 I 為該曲線的向上凹區(qū)間.用符號表示 .稱函數(shù) y = (x) 為在區(qū)間 I 內(nèi)的凸函數(shù).oxyy =(x)向上凹（或 凸）的另一種定義： 若該函數(shù)曲線在 I 內(nèi)總是位于其任意一點的切線下方(即曲線向上彎曲), 則稱該曲線在I 內(nèi)是向上凸的; 區(qū)間 I 為該曲線的向上凸區(qū)間. 用符號表示 . 稱函數(shù) y = (x) 為在區(qū)間 I 內(nèi)的凹函數(shù).oxyy=(x)262.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)2. 曲線凸性的判定AB 顯然, 用定義來判別曲線的凸性是極不方便的.由定義2知向上凸曲線從點A移到點B 時, 對應(yīng)的切線斜率 單調(diào)減少的.注 向上

9、凹凹向上凸凸AB向上凹曲線從點A移到點B時, 對應(yīng)的切線斜率 單調(diào)增加的. 272.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)從而, 當(dāng)存在時, 則可用二階導(dǎo)數(shù)的符號來判別曲線的凹凸性.于是利用二階導(dǎo)數(shù)可以判定函數(shù)的凹凸性.282.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)定理1 設(shè)函數(shù) y = (x)在 I 內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù), 則例1解注292.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)因而f(x)為向上凹的函數(shù);f(x)為向上凸的函數(shù).解練一練光滑曲線是指曲線上每一點都有切線且切線隨切點的移動連續(xù)移動, 即若 在a, b上連續(xù), 則曲線 在a, b上就是光滑曲線.302.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)oxyy= (x)aABbcC定義3 設(shè)函數(shù) y =

10、 (x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)連續(xù), 則曲線 y = (x) 在該區(qū)間內(nèi)向上凹部分與向上凸 部分的分界點C(c, (c)稱為曲線的拐點.C(c, (c)就是曲線的拐點.如右圖, 從 A到 C與從C到B的分界點3. 曲線拐點的定義 注 拐點是曲線上的點, 從而拐點的坐標(biāo)需用橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時表示, 不能僅用橫坐標(biāo)表示.這與駐點及極值點的表示方法不一樣.312.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)例2 判斷曲線 的凸性, 并求其拐點.oxyoxy解曲線故點(0, 0)是曲線的拐點的.4. 拐點的求法322.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)證 因為點是曲線的拐點, 則點 x0 的兩側(cè)異號, 且由已知 存在, 則定理2 (

11、拐點的必要條件)若函數(shù) y = (x)在 x0 處的二階導(dǎo)數(shù)存在, 且點為曲線 y = (x) 的拐點, 則條件而非充分條件. 存在的必要注在 存在時,有 , 但點 (0, 0) 不是該曲線的拐點.332.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)注 不存在的點也有可能成為拐點. 例如的二階導(dǎo)數(shù)在 x = 0不可導(dǎo), 但 (0, 0) 是該曲線的拐點.或 不存在. 綜上所述,若點是曲線 的拐點,則必有或 不存在時,但是, 若曲線上的點不一定是拐點, 或 不存在的點可能成為曲線所以 的拐點, 須用下面的定理進(jìn)一步判斷.342.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)曲線 y = (x) 的拐點. (1) 若在點 x = x0 的

12、兩側(cè), 異號, 則點為線 y = (x)的拐點.(2)若在點 x0 兩側(cè), 二階導(dǎo)數(shù)同號, 則點不為曲利用二階導(dǎo)數(shù)的符號可以判別曲線的拐點.定理2(拐點第一判別定理) 設(shè)函數(shù) y = (x)在 x0 的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)352.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)綜上所述, 確定曲線 y = f(x) 的拐點的一般步驟是:(1) 確定函數(shù)的定義域;(2) 求二階導(dǎo)數(shù), 在定義域內(nèi)求出使二階導(dǎo)數(shù)等于零的點和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點;(3) 用(2)中求出的點將函數(shù)定義域分成若干個部分區(qū)間,在各個部分區(qū)間內(nèi)討論二階導(dǎo)數(shù)的符號, 確定曲線是否存在拐點, 若在拐點, 求出拐點.例3 判斷曲線的凸性, 并求其拐點.解362

13、.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)x 結(jié)論: 曲線在拐點為(0, 0)和 內(nèi)是上凸的; 內(nèi)是下凸的; 曲線在372.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)解下凸上凸下凸拐點拐點練一練382.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)定理3(拐點第二判別定理) 設(shè)函數(shù) y = (x)在 x0 的某鄰域內(nèi)注 拐點第二判別定理對于 的點不適用.例3解392.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)402.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)練一練設(shè)三次函數(shù) 在 x=-1 處取極大值, 點(0, 3)是拐點, 則求a, b, c的值.略解由極值的必要條件由拐點的必要條件412.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)思考題解答例422.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)課堂練習(xí)題432.4 導(dǎo)

14、數(shù)的應(yīng)用(118)三 函數(shù)的極值及求法442.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)極值的定義：452.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.函數(shù)極值的求法：定理(必要條件)注意:462.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)例如,定理 (第一充分條件)472.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)(是極值點情形)(非極值點情形)如圖所示：482.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟:492.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)例 9解列表討論極大值極小值502.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)圖形如下512.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)定理(第二充分條件)證522.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)532.4

15、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)例10解圖形如下542.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)注意:552.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)例11解注意: 函數(shù)的不可導(dǎo)點也可能是函數(shù)的極值點.562.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)求函數(shù)極值的步驟：函數(shù)的駐點和不可導(dǎo)點同稱為函數(shù)的臨界點.(2)求函數(shù)的臨界點；572.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點和不可導(dǎo)點統(tǒng)稱為臨界點.函數(shù)的極值必在臨界點取得.判別法第一充分條件;第二充分條件.(注意使用條件) 小結(jié)與思考題3582.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)思考題下命題正確嗎？592.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)思考題解答不正確例602.

16、4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)在1和1之間振蕩故命題不成立612.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)課堂練習(xí)題622.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)632.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)課堂練習(xí)題答案642.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118) 定義3 當(dāng)曲線 y = (x)上動點M沿著曲線無限遠(yuǎn)離原點移動時, 若該動點M到某直線L的距離無限趨近于零 (如右圖), 則稱此直線L是曲線 y = (x) 的漸近線.oxyy=(x)MQL: y=ax+b 曲線 y = (x) 的漸近線按其與 x 軸的位置關(guān)系, 可分為以下三種:四 函數(shù)的漸近線652.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)則稱直線 y = c 為曲線 y = (x)的水平漸近線 (c為

17、常數(shù)) .因為1. 水平漸近線如果曲線 y = (x)的定義域是無限區(qū)間, 且有 問題:曲線是否有水平漸近線？分別是什么？所以曲線 y = arctan x有水平漸近線662.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)2.垂直(鉛垂)漸近線如果曲線 y = (x) 在 x0 處無定義(或不連續(xù)), 且則稱直線 x = x0 為曲線 y = (x) 的垂直漸近線.因為oxy所以曲線有一條垂直漸近線 x = 0. 問題:曲線是否有垂直漸近線？分別是什么？672.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)3. 斜漸近線則稱直線 y = ax + b為曲線 y =(x) 的斜漸近線. (如圖)oxyy=(x)MQL:y=ax+b682.

18、4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)斜漸近線求法:注1注2 注1中兩種情況只能得到不存在斜漸近線, 但不能排除有水平或垂直漸近線. 692.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)例1解702.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118) 求下列函數(shù)的漸近線:故垂直漸近線: x = 0 斜漸近線: y = x +2 解 因為練一練712.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)故斜漸近線:y = x + / 2 及 y = x / 2解 因為722.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)練一練(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4.B曲線 有( )漸近線.解為水平漸近線.令732.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)為垂直漸近線.函數(shù)沒有斜漸近線.742.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)

19、用(118)思考題752.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)思考題解答762.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118) 五 函數(shù)圖形的描繪利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形，步驟如下：第一步第二步772.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)第三步第四步 確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢;第五步782.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)作圖舉例：例13解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.792.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:不存在拐點極小值間斷點802.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)作圖812.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)822.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)例14解偶函數(shù), 圖形關(guān)于y軸對稱.832.4 導(dǎo)數(shù)的

20、應(yīng)用(118)拐點極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:拐點842.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)852.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)例15解無奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降、 凹凸區(qū)間及極值點與拐點:862.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)拐點極大值極小值872.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)882.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)函數(shù)圖形的描繪綜合運(yùn)用函數(shù)性態(tài)的研究,是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合考察.最大值最小值極大值極小值拐點凹的凸的單增單減小結(jié)與思考題5892.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)思考題902.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)思考題解答912.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)課堂練習(xí)題922.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)課堂練習(xí)題答案932.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)942.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)*補(bǔ)充1：最值的求法952.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(118)求最值的步驟:1. 求函數(shù)的臨界點;2. 求區(qū)間端點及臨界點的函數(shù)值,比較大小,最大者即最大值,最小者即最小值 .注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個極(大或小)值,則這個極(大或小)