論文淺談集合語言和集合思想在高中數學中的應用

1、淺談集合語言和集合思想在高中數學中的應用目錄TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc11158 一、集合知識網絡清單 PAGEREF _Toc11158 2 HYPERLINK l _Toc16955 二、集合語言 PAGEREF _Toc16955 3 HYPERLINK l _Toc32350 （一）集合語言的概念 PAGEREF _Toc32350 3 HYPERLINK l _Toc24565 （二）集合語言在高中數學中的應用 PAGEREF _Toc24565 3 HYPERLINK l _Toc30364 （1）集合語言在平面幾何中的應用 PAGEREF _To

2、c30364 3 HYPERLINK l _Toc18445 （2）集合語言應用于三角函數周期、零點集、最值點集、單調區(qū)間等； PAGEREF _Toc18445 4 HYPERLINK l _Toc31865 三、集合思想 PAGEREF _Toc31865 5 HYPERLINK l _Toc27175 （一）集合思想的概念 PAGEREF _Toc27175 5 HYPERLINK l _Toc12474 （二）集合思想在高中數學中的應用 PAGEREF _Toc12474 5 HYPERLINK l _Toc23772 (1)用集合思想理解簡易邏輯 PAGEREF _Toc23772

3、5 HYPERLINK l _Toc3282 (2)用集合思想解排列組合和概率問題 PAGEREF _Toc3282 7 HYPERLINK l _Toc1039 (3)集合思想在函數、不等式中的運用 PAGEREF _Toc1039 9 HYPERLINK l _Toc23661 (4)集合思想在解析幾何中的運用 PAGEREF _Toc23661 11 HYPERLINK l _Toc24259 （5）集合思想在數列中的應用 PAGEREF _Toc24259 13 HYPERLINK l _Toc9316 四、結束語 PAGEREF _Toc9316 14 提綱集合的知識網絡清單。集合語

4、言 （一）集合語言的概念 （二）集合語言在高中數學中的應用 （1）集合語言在平面幾何中的應用 （2）集合語言應用于三角函數、零點集、最值點集、單調區(qū)間等 三、 集合思想 （一）集合思想的概念 （二）集合思想在高中數學中的應用 （1）用集合思想理解簡易邏輯 （2）用集合思想解排列組合和概率問題 （3）集合思想在函數、不等式中的應用 （4）集合思想在解析幾何中的應用 （5）集合思想在數列中的應用 四、結尾 淺談集合語言和集合思想在高中數學中的應用摘要：集合是近代數學中的一個重要概念，也是高中數學的基礎，集合語言是慎重地、是精心設計的,憑借集合語言的嚴密性和簡潔性,數學家們就可以表達和研究集合思想，

5、集合語言可以簡潔、準確地表達數學內容，許多數學問題都可歸結為集合問題來解決,用集合思想方法來處理數學問題表現得更直觀，更深刻，更簡捷。本文結合人教B版教材和教學實際，通過幾個典型例題的剖析談談集合語言和集合思想在高中數學中的應用。關鍵詞集合；集合語言；集合思想 引言：集合是近代數學中的一個重要概念，集合思想已成為現代數學的理論基礎，與高中數學的許多內容有著廣泛的聯(lián)系，中學數學所研究的各種對象都可以看作集合或集合中的元素，用集合語言可以明了地表述數學概念，準確、簡捷地進行數學推理。在高中階段,學生正處在形成連貫邏輯思維的時期,培養(yǎng)學生清晰而有條理地表達自己的數學思想,傾聽別人的意見,養(yǎng)成分析習慣

6、極為重要，他們應該學會正確使用數學符號和數學語言,他們應善于與他人進行合作，集合教學提供了這樣的機會， 我想這就是集合的教育價值。集合是高中數學教材中學生接觸到的第一個概念，集合語言是一種基本的數學語言，學生若能掌握好這章內容不僅能為今后的數學學習打下一個良好的基礎而且可以增進學習數學的信心，在讓學生掌握了集合語言的基礎上數學教師在教學中還可以運用集合思想建立數學概念系統(tǒng)，或在復習教學中幫助學生歸納、整理數學知識。對于數學學習來說，要幫助學生養(yǎng)成這樣一種集合的思維習慣：善于把在某些方面有類似性質的對象（或滿足某一條件的對象）放在一起視為一個集合，然后利用集合的有關概念或通過集合的有關計算來研究

7、和解決問題。人教B版教材中更是注重了集合思想,下面談談集合語言和集合思想在高中數學的突出應用。一、集合知識網絡清單空集的性質集空集是任何非空集合的真子空集是任何集合的子集集合的分類： 有限集；無限集特殊集合的表示：復數集C；實數集R；整數集Z； 有理數集Q；自然數集N； 正整數集 元素的性質：確定性；無序性；互異性集合的概念集合的表示方法:列舉法；描述法；圖示法集合只有深刻理解集合概念，明確集合中元素的屬性，熟練地運用集合與元素、集合與集合的關系，形成知識網絡清單才能進一步應用集合語言和集合思想解決有關數學問題。集合與元素的關系：屬于或不屬于集合與集合的關系：包含與真包含兩個集合相互包含兩個集

8、合中的元素完全相同運算關系：交集：AB；并集AB； 全集I，A的補集為集合相等邏輯關系： 交集；并集；補集集合與元素、集合的關系 二、集合語言 （一）集合語言的概念數學語言與日常語言不同“日常語言是習俗的產物,也是社會和政治運動的產物,而數學語言是慎重地、是精心設計的，憑借數學語言的嚴密性和簡潔性,數學家們就可以表達和研究數學思想,”集合語言是現代數學的基本語言，集合語言的使用，有利于數學學習者和研究者之間簡潔、準確地表達數學內容。將集合作為一種語言來學習，可以促進學生運用數學語言進行交流的能力。 （二）集合語言在高中數學中的應用 （1）集合語言在平面幾何中的應用平面幾何與集合有著密切的聯(lián)系，

9、很多問題可以轉化為集合的觀點用集合語言翻譯成數學問題，教學實踐表明,指導學生用集合語言對平面幾何的有關問題進行翻譯，有利于加深學生對問題的理解，提高他們的判斷能力和分析解決問題的能力,建立嚴謹的數學思維。例1.用集合語言描述直線和平面的位置關系。（1）點A在平面內，記作A，點B不在平面內，記作B ；（2）直線n在平面內，記作n，直線m不在平面內，記作m；（3）平面與平面相交于直線n，記作=n；（4）直線n和m相交于點A，記作nm=A,簡記為nm=A；例2.立體幾何初步為例，用集合的包含關系建立概念系統(tǒng)，可以培養(yǎng)學生善于將概念推廣的研究精神，并能幫助學生對數學定理、法則、公式等的認識進一步系統(tǒng)化

10、，從而提高學習質量。如：正方體長方體直平行六面體平行六面體四棱柱棱柱（2）集合語言應用于三角函數周期、零點集、最值點集、單調區(qū)間等；以三角函數為例，把表示函數的共同屬性用集合語言表示出來，培養(yǎng)學生語言的翻譯能力，幫助學生對集合概念的理解，提高學生的學習興趣。的零點集為表示所有符合使正弦值等于零這一特征性質的元素構成一個集合。最值集為表示所有符合使正弦值取得最大值或最小值這一特征性質的元素構成一個集合，這也是正弦函數的對稱軸。的單調期間為表示所有符合使正弦值的單調區(qū)間的集合。 三、集合思想 （一）集合思想的概念所謂集合思想，就是運用集合的概念、邏輯語言、運算、圖形等來解決數學問題或非純數學問題的

11、思想方法。 （二）集合思想在高中數學中的應用 (1)用集合思想理解簡易邏輯簡易邏輯與集合有著密切的聯(lián)系，很多問題可以轉化為集合的觀點用集合思想來解決，教學實踐表明,指導學生用集合思想對簡易邏輯的有關問題進行解釋，有利于加深學生對有關邏輯問題的理解，提高他們的判斷能力和分析解決問題的能力,建立嚴謹的數學思維。例1.(2009重慶卷文）命題“若一個數是負數，則它的平方是正數”的逆命題是（ ）“若一個數是負數，則它的平方不是正數”“若一個數的平方是正數，則它是負數”“若一個數不是負數，則它的平方不是正數”若一個數的平方不是正數，則他不是正數”分析：因為一個命題的逆命題時將原命題的條件與結論進行交換，

12、因此逆命題為“若一個數的平方是正數，則它是負數”則選B例2.已知有兩個不相等負實根。無實根。求實數m的范圍。分析：，則必然與中有一真一假。分兩種情況：為真，為假；為真，為假。為真，為假。為真，有兩個不相等的負實數根成立，即，解得：。綜上兩式得到：為假，無實根不成立，即有實數根，。取交集得到，；為真，為假。為真，即無實根成立，為假有兩個不相等的負實數根不成立，即無實根或有兩個相等的實根，或有兩個不等的正實根，即。解得，：或。取交集得到：；綜上所述：。例3.已知函數（I）若能表示一個奇函數和一個偶函數的和，寫出，的解析式（不需要證明）；（）命題P:函數在區(qū)間上是增函數，命題q:函數是減函數。如果為

13、真，為假，求的取值范圍；（）在（）的條件下比較的大小。分析：（I）為奇函數，為偶函數 （）已知函數在區(qū)間上是增函數可知， 為二次函數：對稱軸：（前提條件） ；為減函數：為真，為假，分兩類討論：P為正為假是：P為假為真是：綜上：（）=即：(2)用集合思想解排列組合和概率問題排列組合和概率問題類型較多，限制條件往往又很復雜，初學者往往眼花繚亂，理不清思路，若運用集合思想，將問題中的復雜限制條件間的關系轉化為集合間的運算，可以防止在分類或分步的過程中出現重復和遺漏問題，且思路清晰，層次分明，使問題得到更全面地解決，在利用集合思想求解時，要借助于下列一組公式，它們容易用文氏圖來驗證。1.（反演律）摩根

14、定律： 2. 容斥原理： 若用表示有限集合A中的元素的個數，則對于任意集合A、B，有。特殊的，。例1.若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數m,n作為點P的坐標，求點P落在圓x2+y2=16內的概率。(人教B版必修3 P108 頁習題3-2B第3題)分析：記點P落在圓內為事件A，則A是基本事件空間的子集。 例2.高一（3）班的學生中，參加課外語文小組的有20人，參加數學小組的有22人，既參加語文又參加數學小組的有10人，既未參加語文又未參加數學小組的有15人，問高一（3）班共有多少學生？解：設，由容斥原理及德摩根定律答：高一（3）班共有學生47人例3.由數字1、2、3、4、5可以組成多少個無重復數字

15、且2、3都與4不相鄰的五位數。分析：設則原題即求，由容斥原理及德摩根定律：注：表示2與4相鄰且3與4相鄰的五位數的個數，那么4一定排在2與3之間，且2、3、4相鄰，故有種排法。(3)集合思想在函數、不等式中的運用集合與函數、方程、不等式等有著千絲萬縷的聯(lián)系，將集合的知識與函數、不等式等綜合也是近年來高考考查的一個重要方面用集合思想解答與函數、不等式等有關的綜合問題，有利于提高分析和解決問題的能力。例1.已知集合，試問是否存在實數使得，若存在，求出a的值，若不存在請說明理由。分析：假設存在實數滿足條件,則有當集合中的元素為非正數，設方程的兩個根為，則由根與系數的關系得 當由、知，存在滿足條件的實

16、數，其取值范圍方法二：假設存在實數滿足條件則方程因為，所以兩根均為正數。得：或 又集合的補集為存在滿足條件的實數，其取值范圍是在使用集合思想解題的過程中還要培養(yǎng)學生一題多解的數學思想方法，有助于提高學生的數學思維。例2.已知兩個集合和，集合，集合且滿足，則實數的取值范圍是分析：由已知得，又由，則若若則即綜合，有在做該題時存在的誤區(qū)：容易漏掉的情況從而得的范圍是誤區(qū)：時易漏掉這一隱含條件，得(4)集合思想在解析幾何中的運用集合思想溝通了數和形的內在聯(lián)系，使得由某個圖形性質給出的點集和滿足某性質P的實數對組成的集合建立起一一對應的關系，進而使中學數學能夠用代數方法解答幾何問題，能夠對代數命題給出幾

17、何解釋，還能夠通過幾何圖形來解決代數問題，因此集合思想在解析幾何中也有著廣泛的應用。例1. =y0 xy=x(x0)分析：如圖所示，U表示直線上的點的集合，A表示直線上除原點外的點的集合，所以 例2：已知集合，且集合中的有且只有兩個元素，求實數K的取xP（2,2）y21分析：集合A表示的圖形是曲線即以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方（包括x軸）的部分，集合B表示的圖形直線，是過定點P（2，2）、斜率為k的直線，集合AB中有且只有兩個元素，即半圓與直線有兩個交點，在同一直角坐標系中，分別作出它們的圖形，觀察圖4，符合要求的直線L介于直線之間（包括，不包括），其中與半圓相切，過原點。通過

18、計算容易求得的斜率為1，的斜率為所以 ： （5）集合思想在數列中的應用用集合概念，數列的項數是正整數集，將它與集合的概念聯(lián)系起來，轉化為集合思想來解決特殊數列，可以培養(yǎng)學生善于將概念推廣的研究精神，并能幫助學生數學知識之間是相互聯(lián)系，從而提高學習興趣。例1.數列an是等差數列，a1=50,d= -0.6，求此數列的前n項和的最大值。解析：值數列的定義域是正整數集（或它的有限子集）轉化為集合的思想來解。 方法一： 即從第85項起以后各項均小于0，方法二：等差數列的前項和是關于n的二次函數,可用二次函數的方法處理 。，當n取接近于的自然數，即 時，達到最大值該題又充分體現了一題多解的思想，有助于提高學生的數學思維能力。 四、結束語集合語言和集合思想為我們解決高中數學問題開辟了一條嶄新的道路，在學習過程中，注意對集合語言