上海初三數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第五講銳角三角函數(shù)【問題探索】一般地，如果銳角A的大小確定，我們可以作出無數(shù)個(gè)以A為一個(gè)銳角直角三形（如圖），那么圖中：BCBC11ACAC1BC22成立嗎？AC2BB1B2（1）當(dāng)A變化時(shí)，上面等式仍然成立嗎？（2）上面等式的值隨A的變化而變化嗎？【新課引入】ACC1C2tanAA的對邊由前面的探索可以看出：如果一個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角的大小確定，那么這個(gè)銳角的對邊與這個(gè)角的鄰邊的比值也確定。這個(gè)比值反映了斜邊相對于這角的鄰邊的傾斜程度，它與這個(gè)銳角的大小有著密切的關(guān)系。1、在直角三角形中，我們將A的對邊與它的鄰邊的比稱為A的正切，記作tanA即：aA的鄰邊b同理：當(dāng)直角三

2、角形的一個(gè)銳角的大小已確定時(shí)，它的對邊與斜邊的比值_；它的鄰邊與斜邊的比值_。2、如圖，在eqoac(,Rt)ABC中，C90，我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做A的_，記作_，即：sinA_=_.3、如圖，在eqoac(,Rt)ABC中，C90,我們把銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做A的_，記作=_，即：cosA=_=_。（你能寫出B的正弦、余弦的表達(dá)式嗎？）試試看_.思考：你能分別說出30、45、60角的三角函數(shù)值嗎？并填寫下表：三角函數(shù)值304560三角函數(shù)sincostan（根據(jù)一付三角板的三邊關(guān)系進(jìn)行計(jì)算）【總結(jié)歸納】1、牢記三角函數(shù)的概念，緊緊抓住直角三角形，勤快畫圖，是解答三角函

3、數(shù)題的關(guān)鍵；2、特殊角的三角函數(shù)值，只要記住兩個(gè)三角板的各邊比值（如圖）嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義，即可心算推出。學(xué)習(xí)好資料歡迎下載【精選例題】（一）銳角三角函數(shù)的概念例1、（1）在eqoac(,Rt)ABC中，各邊都擴(kuò)大5倍，則角A的三角函數(shù)值（）A不變B擴(kuò)大5倍C縮小5倍D不能確定（2）eqoac(,Rt)ABC中，C=90，cosA=35，AC=6cm，那么BC等于（）cmC.cmD.cmA8cmB2418655534BCD.（3）菱形ABCD的對角線AC=10cm，BC=6cm，那么tan53A553434A2為（）解析：（1）角A的三角函數(shù)值都是兩條邊的比值，根據(jù)分式的基本性質(zhì)分式的分子

4、、分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0的數(shù)（或整式），分式的值不變，而eqoac(,Rt)ABC各邊都擴(kuò)大5倍倍數(shù)一樣，因此兩邊比值也不變。故選A；可知，可求AB=10，再用勾股定理求得（2）畫直角三角形草圖，根據(jù)cosA=AC63ABAB5BC=8。故選A；（3）畫菱形ABCD，根據(jù)菱形“對角線互相垂直平分”、“每一條對角線平分一組對角”，可A3知兩對角線把菱形分成四個(gè)全等的直角三角形，根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求出tan=。25故選A。前思后想：解答銳角三角函數(shù)題時(shí)，要把握幾點(diǎn)：解題必畫圖，概念記心中，定要找直角，沒有就構(gòu)造。牛刀小試：1.在eqoac(,Rt)ABC中，如果各邊長度都擴(kuò)大3倍,那么

5、銳角A的各個(gè)三角函數(shù)值()A都縮小B都不變13C都擴(kuò)大3倍D無法確定D2如圖，在正方形網(wǎng)格中,直線ABCD相交所成的銳角為，則sin的值是（）CC.D.A.34B.434355AB3直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現(xiàn)將ABC如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則tanCBE的值是（）7B3CA247724D13學(xué)習(xí)好資料歡迎下載CE68BDA4.在eqoac(,Rt)ABC中，ACB=90，sinB=則cosB=.275eqoac(,在)ABC中，AB=AC=5，BC=8，則tanB=答案：1B；2.C；3.C；4.357；5.34（二）特殊角的三角函數(shù)值例2計(jì)算下面各式：3t

6、an303cos2302sin30解析：2cos60tan45cos245tan230tan2303tan30=3cos2302sin303(33331)2222=4352cos60tan45cos245221221()2=tan230tan23033()2()23334前思后想：關(guān)于三角函數(shù)的計(jì)算題，要先代入（代入特殊角的三角函數(shù)值），再求值。記住三角函數(shù)值最關(guān)鍵。例3.已知A是銳角，且sinA=3，那么A等于（）2A30B45C60D75解析：根據(jù)對特殊角的三角函數(shù)值的記憶sin60=32，進(jìn)行反推，可知A=60，故選C。前思后想：對于特殊角的三角函數(shù)值，要相當(dāng)熟練，做到“倒背如流”既能順

7、推，又能倒推。牛刀小試：1計(jì)算：（1）4sin60(2)1(20092008)0（2）tan2604sin30cos452.已知為銳角，當(dāng)2無意義時(shí)，求tan(+15)tan(-15)的值。1tan學(xué)習(xí)好資料歡迎下載3.若3tan21，則=,4eqoac(,在)ABC中，若|tanA1|(32cosB)20，則C的度數(shù)為5.eqoac(,在)ABC中，若sinA+（答案：1232cosB）2=0，則C=_度+1=23；1（1）4sin60(2)1(20092008)0=4311222（2）tan2604sin30cos45=(3)2+41222=3+2221tan無意義，tan=1，=45=3

8、。tan(+15)tan(-15)=tan60tan30=3323333tan21，tan2=3，230，15。3cosB)20，tanA1，cosB4|tanA1|(3322，A=45，B=30，C=105。5sinA+（3cosB）2=0，sinA=，cosB=。1221322A13B.31C.1D.13A=30，B=30，C=120。（三）銳角三角函數(shù)的大小比較1、當(dāng)角度在090間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。┯嘞抑惦S著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）2、當(dāng)角度在090間變化時(shí)，0sincos0.當(dāng)角度在00.例4

9、.（1）化簡(tan301)2（）。333（2）當(dāng)銳角30時(shí)，則cos的值是（）A大于B小于C大于D小于1122解析：（1）(tan301)2tan3013322學(xué)習(xí)好資料歡迎下載就要討論tan301的正負(fù)性tan30=31，tan3010，301(tan32=1)故選A33（2）因?yàn)閏os30=32，且當(dāng)030時(shí)，cos32。故選D前思后想：可以根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，總結(jié)正弦、余弦和正切值隨角度的變化而變化情況，也可以總結(jié)在某個(gè)范圍內(nèi)正弦與余弦的大小情況，以及正切值與1的大小情況。牛刀小試：1.用不等號“”或“”連接：sin50_cos50。2.已知3090，則(coscos)2cos31

10、cos。23.若太陽光線與地面成角，3045，一棵樹的影子長為10米，則樹高h(yuǎn)的范圍是（）（取31.7）A、3h5B、5h10C、10h15D、h154.若0cosB.cossinC.tan1D.tantan-1答案：1因?yàn)閟in45=cos45，角度增加，正弦增大，而余弦減小，所以，填“”號；2因?yàn)椤坝嘞抑惦S著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅鼻?090，所以coscos0，coscos300，21coss(coo2cocs)s3coscos（32cos）+1cos1323h=10tan，且3045，103h10，故選B。34因?yàn)椤罢抑惦S著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。┯嘞抑惦S著

11、角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅保摇皊in45=cos45”，“045”，故選B。學(xué)習(xí)好資料歡迎下載3.若sin(900),則cos(900)=_.（四）互余的兩個(gè)角的三角函數(shù)sin(90-)=cos，cos(90-)=sin，例5.若sin28=cos，則=_解析：因?yàn)椤癱os(90-)=sin”，所以=9028=62.前思后想：sin(90-)=cos，cos(90-)=sin這兩個(gè)公式可記可不記，直接用公式計(jì)算比較方便，也可以根據(jù)概念在直角三角形中求它互余的角的三角函數(shù)。牛刀小試：1sin60=cos_=_；cos60=sin_=_2.已知tan1（090）則cos(900)。1

12、24在eqoac(,Rt)ABC中，C=90，A，B，C的對邊分別為a，b，c，根據(jù)勾股定理有公式a2+b2=c2，根據(jù)三角函數(shù)的概念有sinA=ab，cosA=，ccsin2A+cos2A=a2b2a2b2sinAaba=1，=tanA，其中sin2A+cos2A=1，c2c2c2cosAccbcos2A=1sin2A=1（4cosA=3sinA4=tanA可作為公式來用例如，ABC中，C=90，sinA=，求cosA，tanA的cosA5值解法一：sin2A+cos2A=1；9）2=525sinA434，tanA=5cosA553解法二：C=90，sinA=可設(shè)BC=4k，AB=5k由勾股

13、定理，得AC=3k45根據(jù)三角函數(shù)概念，得cosA=運(yùn)用上述方法解答下列問題：354，tanA=3學(xué)習(xí)好資料歡迎下載（1）eqoac(,Rt)ABC中，C=90，sinA=35，求cosA，tanA的值；（2）eqoac(,Rt)ABC中，C=90，cosA=255，求sinA，tanA的值；（3）eqoac(,Rt)ABC中，C=90，tanA=12，求sinA，cosA的值；（4）A是銳角，已知cosA=答案：1517，求sin（90A）的值；sin30，；1cos30，32122tan1（090），45，cos(900)=22。9030cos(900)cos302，3sin(900)13

14、24（1）C=90，sinA=根據(jù)三角函數(shù)概念，得cosA=，tanA=35可設(shè)BC=3k，AB=5k由勾股定理，得AC=4k4354（2）C=90，cosA=25可設(shè)AC=25k，AB=5k5，tanA=（3）C=90，tanA=可設(shè)BC=k，AC=2k由勾股定理，得BC=5k根據(jù)三角函數(shù)概念，得sinA=125512，cosA=由勾股定理，得AB=5k根據(jù)三角函數(shù)概念，得sinA=52555（4）sin（90A）=cosA=15.17（五）三角函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用例6.如圖，角的頂點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，一邊在x軸上，另一邊經(jīng)過點(diǎn)P（2，23），求角的三個(gè)三角函數(shù)值解析：，cos=，

15、tan=3。P（2，23），OP=4，sin=前思后想：3212學(xué)習(xí)好資料歡迎下載在平面直角坐標(biāo)系中，求直線與x軸夾角的三角函數(shù)值，過直線上的點(diǎn)作x軸的垂線段，與x軸和直線一起構(gòu)成直角三角形，根據(jù)該點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)可以求出該三角形的三邊長度，從而求出三角函數(shù)值。牛刀小試：1.點(diǎn)Msin60,cos60關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P22.已知銳角的終邊經(jīng)過點(diǎn)（x，），點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離r13,則sin=，cos.3.（此題為補(bǔ)充題，用到一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系）如圖，點(diǎn)A（tan，0），B（tan，0）在x軸的正半軸上，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，、是以線段AB為斜邊、頂點(diǎn)C在x軸上方的eqoac(,R

16、t)ABC的兩個(gè)銳角；（1）若二次函數(shù)y=x252kx+(2+2kk2)的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，求它的解析式。（2）點(diǎn)C在（1）中求出的二次函數(shù)的圖象上嗎?請說明理由。答案：，），它關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；1M（12331222，cos；2根據(jù)畫圖，由勾股定理可求x=3，所以sin=21313313133（1）在直角三角形ABC中，由于+=90，因此tanan=1，而A、B是拋物線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)韋達(dá)定理可得出tantan=-（2+2k-k2）=1，據(jù)此可求出k的值，然后根據(jù)tan+tan0，將不合題意的k值舍去，即可求出拋物線的解析式（2）本題的關(guān)鍵是求出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)（1）可求出t

17、an、tan的值，以及A、B的坐標(biāo)，過C作CDAB，可在直角三角形ACD中，用tan和CD表示出AD，同理可表示出BD的長，根據(jù)A、B的坐標(biāo)可得出AB的長，根據(jù)AD+BD=AB即可求出CD的長，進(jìn)而可求出AD和OD的長，即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中進(jìn)行判斷即可【課后作業(yè)】1F1如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E、在對角線BD上，BE=DF=BD，4BEAFD若四邊形AECF為正方形，則tanABE=_2計(jì)算2sin30+2cos60+3tan45=_C學(xué)習(xí)好資料歡迎下載3在eqoac(,Rt)ABC中，C=90，下列式子不一定成立的是（）AsinA=sinBBcosA=sinBCsinA=c

18、osBDA+B=904已知ABC中，C=90，AB=13，AC=5，則tanA=_5已知等腰ABC中，AB=AC=13，BC=10，求底角B的三種三角函數(shù)值6如果是等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角，那么cos的值等于（）CD1A12B23228eqoac(,在)ABC中，若sinA-1+（-cosB）=0，則C=_度7.如圖，已知O的半徑為1，AB與O相切于點(diǎn)A，OB與O交于點(diǎn)C，CDOA，垂足為D，則cosAOB的值等于（）A.ODB.OAC.CDD.AB32BCODA，tanB=，則C=_9eqoac(,)ABC中，若sinA=2323（2）+tan60+（cosB）2=0eqoac(,，則)ABC是（）10計(jì)算下列各題（1）sin230+cos245+2sin60tan45；cos230cos260tan60tan13011eqoac(,在)ABC中，若A，B滿足sinA3212A等腰非等邊三角形B等邊三角形C直角三角形D鈍角三角形12求下列各式的值：（1）2sin303cos60+tan45；（2）cos270+cos45sin45+sin27