MATLAB語言及應(yīng)用(3)

1、第二部 分MATLAB應(yīng)用篇 1拉氏變換和控制系統(tǒng)描述2控制系統(tǒng)的時域分析3根軌跡分析4. 頻率響應(yīng)分析5. 其它一、拉氏變換和控制系統(tǒng)描述 時域函數(shù)的拉氏變換定義是：拉氏反變換定義為： MATLAB 中，可以采用符運算工具箱進行拉氏變換和拉氏反變換(laplace ilaplace) 拉氏反變換線性微分方程拉氏變換后方程拉氏方程的解微分方程時域解代數(shù)運算積分運算拉氏變換時域拉氏域或復(fù)頻域圖2-1 拉氏變換和拉氏反變換MATLAB的LTI工具箱中，4類數(shù)學模型 傳遞函數(shù)模型(TF, transfer function model) 零極點增益模型和部分分式模型(極點留數(shù)型)(ZPK, zero

2、-pole-gain model) 狀態(tài)空間模型(SS, Status space model) 頻率響應(yīng)模型(FRD, Frequency Response Data model)模型之間都有著內(nèi)在的聯(lián)系，可以相互進行轉(zhuǎn)換. 1.系統(tǒng)的分類 線性連續(xù)系統(tǒng) 線性定常離散系統(tǒng) 非線性系統(tǒng) 通過拉氏變換和反變換，可以得到線性定常系統(tǒng)的解析解，這種方法通常只適用于常系數(shù)的線性微分方程，解析解是精確的，然而通常尋找解析解是困難的。MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的數(shù)值解法函數(shù)，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，也適用于非線性及時變系統(tǒng)。 2.傳遞函數(shù)的描述(1-3) 連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型 n

3、um=b0,b1,bm den=a0,a1,an, 注意：它們都是按s的降冪進行排列的。零極點增益模型k:傳遞函數(shù)的傳遞系數(shù)zi:傳遞函數(shù)的零點 pj:傳遞函數(shù)的極點 2.傳遞函數(shù)的描述(2-3)極點留數(shù)型/部分分式展開函數(shù)r,p,k=residue(b,a)對兩個多項式的比進行部分展開，以及把傳函分解為微分單元的形式。向量b和a是按s的降冪排列的多項式系數(shù)。部分分式展開后，余數(shù)返回到向量r，極點返回到列向量p，常數(shù)項返回到k。 狀態(tài)空間描述 A為系統(tǒng)矩陣（A是一個nn的方陣，n指系統(tǒng)的狀態(tài)）；B為輸入矩陣（B是一個nm矩陣，m指明輸入次數(shù)/是單輸入還是多輸入）；C為輸出矩陣（C是一個kn矩陣

4、，k為y（輸出k1）的行數(shù)）； D為前饋矩陣（D是一個km的矩陣）； 2.傳遞函數(shù)的描述(3-3)頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)模型式中，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)是復(fù)數(shù)，可用response=g1,g2,gk輸入；對應(yīng)的頻率w用freq=w1, w2, ,wk輸入，兩者應(yīng)有相同的列數(shù)。得到的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)模型用G=frd(response, freq)表示。 3模型的轉(zhuǎn)換與連接(1-5) 模型的轉(zhuǎn)換ss2tf： 狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型ss2zp： 狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為零極點增益模型tf2ss： 傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型tf2zp： 傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點增益模型zp2ss： 零極點增益模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模

5、型zp2tf： 零極點增益模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型 2-23模型的轉(zhuǎn)換與連接(2-5)例：已知系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為： A=0 1;-1 -2; B=0;1; C=1 3; D=1; num,den=ss2tf(A,B,C,D) z,p,k=ss2zp(A,B,C,D) 3模型的轉(zhuǎn)換與連接(3-5)控制工具箱中的LTI對象 A)LTI對象的類型和屬性 B)LTI模型的建立 C)對象屬性的獲取和修改 D)模型類型的參數(shù)轉(zhuǎn)換和提取 串聯(lián)與并聯(lián) 例：求狀態(tài)方程 與模型 串聯(lián)。例：求閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： G1u1v2z1y2圖2-3 串聯(lián)連接的結(jié)構(gòu)圖G2u2=y13模型的轉(zhuǎn)換與連接(4-5)控制系統(tǒng)工具箱L

6、TI對象運算優(yōu)先等級為“狀態(tài)空間零極增益?zhèn)鬟f函數(shù)”，合成系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的對象特性應(yīng)按照環(huán)節(jié)的最高等級來確定。例：已知系統(tǒng)1和系統(tǒng)2的狀態(tài)方程分別為 求按串聯(lián)、并聯(lián)、正反饋、負反饋連接時的系統(tǒng)狀態(tài)方程及系統(tǒng)1按單位負反饋連接時的狀態(tài)方程。 3模型的轉(zhuǎn)換與連接(5-5)例：求當K1=250/K1=1000時如圖所示的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（表示成零極增益型式） 二、控制系統(tǒng)的時域分析 時域分析的一般方法 求取系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)：step()求取系統(tǒng)的沖激響應(yīng)：impulse() Step用法y=step(num,den,t)：其中num和den分別為系統(tǒng)傳遞函數(shù)描述中的分子和分母多項式系數(shù)，t為選定的仿真時

7、間向量，一般可以由t=0:step:end等步長地產(chǎn)生出來。該函數(shù)返回值y為系統(tǒng)在仿真時刻各個輸出所組成的矩陣。y,x,t=step(num,den)：此時時間向量t由系統(tǒng)模型的特性自動生成, 狀態(tài)變量x返回為空矩陣。y,x,t=step(A,B,C,D,iu)：其中A,B,C,D為系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述矩陣，iu用來指明輸入變量的序號。x為系統(tǒng)返回的狀態(tài)軌跡.如果對具體的響應(yīng)值不感興趣，而只想繪制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，可調(diào)用以下的格式，自動輸出響應(yīng)曲線：step(num,den)；step(num,den,t)；step(A,B,C,D,iu,t)；step(A,B,C,D,iu)；線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)

8、值可以通過函數(shù)dcgain()來求取，其調(diào)用格式為：dc=dcgain(num,den)或dc=dcgain(a,b,c,d)時域分析的一般方法(2-4)例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，求系統(tǒng)在單位負反饋下的階躍響應(yīng)曲線。 impulse()函數(shù)的用法求取脈沖激勵響應(yīng)的調(diào)用方法與step()函數(shù)基本一致。y=impulse(num,den,t)；y,x,t=impulse(num,den)；y,x,t=impulse(A,B,C,D,iu,t)impulse(num,den)；impulse(num,den,t)impulse(A,B,C,D,iu)；impulse(A,B,C,D,iu,t)

9、時域分析的一般方法(3-4)例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，求系統(tǒng)在單位負反饋下的沖激響應(yīng)曲線。 例：某系統(tǒng)框圖如下所示，求d和e的值，使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)滿足：(1)超調(diào)量不大于40%，(2)峰值時間為0.8秒。 時域分析的一般方法(4-4)例.二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)標準形式如下，求其單位階躍響應(yīng)，并仿真。 欠阻尼情況臨界阻尼情況過阻尼情況無阻尼情況 2穩(wěn)定性分析 線性自動控控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)閉環(huán)極點(特征根)全部都具有負實部，亦即：全部都位于復(fù)平面的左半面。 例：求該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 三 根軌跡分析(1-4) 所謂根軌跡是指，當開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程

10、的根在s平面上的軌跡。一般來說，這一參數(shù)選作開環(huán)系統(tǒng)的增益K，而在無零極點對消時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。根軌跡分析方法是分析和設(shè)計線性定常控制系統(tǒng)的圖解方法，使用十分簡便。利用它可以對系統(tǒng)進行各種性能分析.根軌跡分析函數(shù)通常來說，繪制系統(tǒng)的根軌跡是很繁瑣的事情，因此在教科書中介紹的是一種按照一定規(guī)則進行繪制的概略根軌跡。在MATLAB中，專門提供了繪制根軌跡的有關(guān)函數(shù)。根軌跡分析(2-4)pzmap：繪制線性系統(tǒng)的零極點圖rlocus：求系統(tǒng)根軌跡。rlocfind：計算給定一組根的根軌跡增益。函數(shù)pzmap()來繪制系統(tǒng)的零極點圖:p,z=pzmap(a,b,c,d)：

11、返回狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的極點矢量和零點矢量，而不在屏幕上繪制出零極點圖。p,z=pzmap(num,den)：返回傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的極點矢量和零點矢量，而不在屏幕上繪制出零極點圖。pzmap(a,b,c,d)或pzmap(num,den)：不帶輸出參數(shù)項，則直接在s復(fù)平面上繪制出系統(tǒng)對應(yīng)的零極點位置，極點用表示，零點用o表示。pzmap(p,z)：根據(jù)系統(tǒng)已知的零極點列向量或行向量直接在s復(fù)平面上繪制出對應(yīng)的零極點位置，極點用表示，零點用o表示。根軌跡分析(3-4)函數(shù)rlocus()來繪制系統(tǒng)的根軌跡圖:rlocus(a,b,c,d)或者rlocus(num,den)：根據(jù)SISO開環(huán)系統(tǒng)的狀

12、態(tài)空間描述模型和傳遞函數(shù)模型，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。開環(huán)增益的值從零到無窮大變化。rlocus(a,b,c,d,k)或rlocus(num,den,k)： 通過指定開環(huán)增益k的變化范圍來繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。r=rlocus(num,den,k) 或者r,k=rlocus(num,den) ：不在屏幕上直接繪出系統(tǒng)的根軌跡圖，而根據(jù)開環(huán)增益變化矢量k ，返回閉環(huán)系統(tǒng)特征方程1k*num(s)/den(s)=0的根r，它有l(wèi)ength(k)行，length(den)-1列，每行對應(yīng)某個k值時的所有閉環(huán)極點?；蛘咄瑫r返回k與r。對于參數(shù)根軌跡，可以通過傳遞函數(shù)的等效變換而進行繪制。若給出

13、傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的分子項num為負，則利用rlocus函數(shù)繪制的是系統(tǒng)的零度根軌跡（正反饋系統(tǒng)或非最小相位系統(tǒng)） 。根軌跡分析(2-4)rlocfind()函數(shù):MATLAB提供了函數(shù)rlocfind()來找出給定的一組根（閉環(huán)極點）對應(yīng)的根軌跡增益.k,p=rlocfind(a,b,c,d)或者k,p=rlocfind(num,den)它要求在屏幕上先已經(jīng)繪制好有關(guān)的根軌跡圖。然后，此命令將產(chǎn)生一個光標以用來選擇希望的閉環(huán)極點。命令執(zhí)行結(jié)果：k為對應(yīng)選擇點處根軌跡開環(huán)增益；p為對應(yīng)K的系統(tǒng)閉環(huán)特征根。 不帶輸出參數(shù)項k,p時，同樣可以執(zhí)行，只是此時只將k的值返回到缺省變量ans中。例：已知某

14、開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下所示：要求繪制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡，分析其穩(wěn)定性，并繪制出當k=55和k=56時系統(tǒng)的閉環(huán)沖激響應(yīng)。 四 頻率響應(yīng)分析 頻域分析的一般方法頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，從頻率響應(yīng)中可以得出帶寬、增益、轉(zhuǎn)折頻率、閉環(huán)穩(wěn)定性等系統(tǒng)特征。頻率特性是指系統(tǒng)在正弦信號作用下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比對頻率的關(guān)系特性。頻率特性函數(shù)與傳遞函數(shù)有直接的關(guān)系，記為：通常將頻率特性用曲線的形式進行表示，包括對數(shù)頻率特性曲線和幅相頻率特性曲線（簡稱幅相曲線），MATLAB提供了繪制這兩種曲線的函數(shù)。求取系統(tǒng)對數(shù)頻率特性圖（波特圖）：bode()求取系統(tǒng)奈奎斯特圖（幅相曲線圖或極坐標圖）：nyq

15、uist() 1. 對數(shù)頻率特性圖（波特圖） 對數(shù)頻率特性圖包括了對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖。橫坐標為角頻率w，采用對數(shù)分度，單位為rad/sec；縱坐標均勻分度，分別為幅值函數(shù)20lgA(w)，以dB表示；相角，以度表示。MATLAB提供了函數(shù)bode()來繪、對數(shù)頻率特性圖（波特圖）制系統(tǒng)的波特圖，其用法如下：bode(a,b,c,d)：自動繪制出系統(tǒng)的一組Bode圖，它們是針對連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng)a,b,c,d的每個輸入的Bode圖。其中頻率范圍由函數(shù)自動選取，而且在響應(yīng)快速變化的位置會自動采用更多取樣點。bode(a,b,c,d,iu)：可得到從系統(tǒng)第iu個輸入到所有輸出的波特圖。bo

16、de(num,den):可繪制出以連續(xù)時間多項式傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)的波特圖。bode(a,b,c,d,iu,w)或bode(num,den,w)：可利用指定的角頻率矢量繪制出系統(tǒng)的波特圖。由于橫坐標按對數(shù)分度，因此w必須由logsapce生成。當帶輸出變量mag,pha,w或mag,pha引用函數(shù)時，可得到系統(tǒng)波特圖相應(yīng)的幅值mag、相角pha及角頻率點w矢量或只是返回幅值與相角。相角以度為單位，幅值可轉(zhuǎn)換為分貝單位：magdb=20log10(mag)2.奈奎斯特圖(幅相頻率特性圖) 對于頻率特性函數(shù)G(jw)，給出w從負無窮到正無窮的一系列數(shù)值，分別求出Im(G(jw)和Re(G(jw)。

17、以Re(G(jw) 為橫坐標， Im(G(jw) 為縱坐標繪制成為極坐標頻率特性圖，即奈奎斯特圖。MATLAB提供了函數(shù)nyquist()來繪制系統(tǒng)的極坐標圖，其用法如下：nyquist(a,b,c,d)：繪制出系統(tǒng)的一組Nyquist曲線，每條曲線相應(yīng)于連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng)a,b,c,d的輸入/輸出組合對。其中頻率范圍由函數(shù)自動選取，而且在響應(yīng)快速變化的位置會自動采用更多取樣點。nyquist(a,b,c,d,iu)：可得到從系統(tǒng)第iu個輸入到所有輸出的極坐標圖。nyquist(num,den):可繪制出以連續(xù)時間多項式傳遞函數(shù)表示的極坐標圖。nyquist(a,b,c,d,iu,w)或nyqu

18、ist(num,den,w)：可利用指定的角頻率矢量繪制出系統(tǒng)的極坐標圖。當不帶返回參數(shù)時，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的極坐標圖（圖上用箭頭表示w的變化方向，負無窮到正無窮） 。當帶輸出變量re,im,w引用函數(shù)時，可得到系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的實部re和虛部im及角頻率點w矢量（為正的部分）?？梢杂胮lot(re,im)繪制出對應(yīng)w從負無窮到零變化的部分。奈奎斯特圖(幅相頻率特性圖)(2-2)例：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：求當K分別取1300和5200時，系統(tǒng)的極坐標頻率特性圖。 3.常用頻域分析函數(shù)(1-3) MATLAB除了提供前面介紹的基本頻域分析函數(shù)外，還提供了大量在工程實際中廣泛應(yīng)用的庫函數(shù)，由

19、這些函數(shù)可以求得系統(tǒng)的各種頻率響應(yīng)曲線和 特征值。如： margin：求幅值裕度和相角裕度及對應(yīng)的轉(zhuǎn)折頻率freqs：模擬濾波器特性nichols：求連續(xù)系統(tǒng)的尼科爾斯頻率響應(yīng)曲線（即對數(shù)幅相曲線） margin()函數(shù)： margin函數(shù)可以從頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)中計算出幅值裕度、相角裕度以及對應(yīng)的頻率。幅值裕度和相角裕度是針對開環(huán)SISO系統(tǒng)而言，它指示出系統(tǒng)閉環(huán)時的相對穩(wěn)定性。當不帶輸出變量引用時，margin(sys)可在當前圖形窗口中繪制出帶有裕量及相應(yīng)頻率顯示的Bode圖，其中幅值裕度以分貝為單位。sys為系統(tǒng)模型描述 常用頻域分析函數(shù)(2-3)幅值裕度是在相角為-180度處使開環(huán)增益為1

20、的增益量，如在-180度相頻處的開環(huán)增益為g，則幅值裕度為1/g；若用分貝值表示幅值裕度，則等于：-20*log10(g)。類似地，相角裕度是當開環(huán)增益為1.0時，相應(yīng)的相角與180度角的和。margin(mag,phase,w)：由bode指令得到的幅值mag（不是以dB為單位） 、相角phase及角頻率w矢量繪制出帶有裕量及相應(yīng)頻率顯示的bode圖。margin(num,den) ：可計算出連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)表示的幅值裕度和相角裕度并繪制相應(yīng)波特圖。類似，margin(a,b,c,d)可以計算出連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng)表示的幅值裕度和相角裕度并繪制相應(yīng)波特圖。gm,pm,wcg,wcp=margin(mag,phase,w)：由幅值mag（不是以dB為單位） 、相角phase及角頻率w矢量計算出系統(tǒng)幅值裕度和相角裕度及相應(yīng)的相角交界頻率wcg、截止頻率wcp，