中南大學(xué)數(shù)模培訓(xùn)-交通運(yùn)輸問(wèn)題

1、運(yùn)輸問(wèn)題 摘要本文針對(duì)某運(yùn)輸公司送貨路線的問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究設(shè)計(jì)。首先，針對(duì)第一問(wèn)中臨時(shí)為客戶10配送貨物的要求，我們用Dijkstra算法對(duì)其進(jìn)行了求解，得出了最短85公里的運(yùn)輸路徑。但是由于Dijkstra算法遍歷計(jì)算的節(jié)點(diǎn)很多，所以效率低，我們又應(yīng)用更為簡(jiǎn)單有效的Floyd算法進(jìn)行求解，最后得出與之前相同的結(jié)果，并確定路線為v2-v3-v8-v9-v10。其次，第二問(wèn)類似于旅行商問(wèn)題，目前還沒(méi)有求解這樣問(wèn)題的有效算法，所以我們希望建立一個(gè)方法以獲得相當(dāng)好（但不一定最優(yōu)）的解。我們采用了求最短H-圈改良圈的算法。首先求一個(gè)Hamilton圈 ，然后適當(dāng)修改以得到具有較小權(quán)的另一個(gè)Hami

2、lton圈?；谶@種算法，應(yīng)用matlab7.0我們計(jì)算出最短行駛路線距離為230公里，路徑為v1-v7 -v5 -v2 -v3 -v6 -v4- v8 - v9 - v10-v1，并且路線并不唯一，權(quán)為230的路徑有很多條。另外，我們還用近似算法鄰近點(diǎn)法進(jìn)行計(jì)算，最后得出最短距離225公里，同時(shí)也得出了相應(yīng)的路線。最后我們還對(duì)上述算法進(jìn)行了評(píng)價(jià)及推廣。再次，針對(duì)第三問(wèn)中改用兩輛小型貨車的路線設(shè)計(jì)問(wèn)題。我們首先建立分步篩選模型對(duì)10個(gè)客戶進(jìn)行分組，使得每一組的路徑最短。再應(yīng)用第二問(wèn)的模型分別求解為兩組客戶送貨的最優(yōu)路線。我們求得最后的分組情況為第一組 以及第二組 。所走最短路程305公里。再次

3、，我們分析求解了第四個(gè)問(wèn)題。第四個(gè)問(wèn)題中決定方案優(yōu)劣的因素有兩個(gè)，一個(gè)是車輛數(shù)，一個(gè)是行車路程。所以，我們首先建立的優(yōu)先考慮最短路徑的模型對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行求解，求得了用5輛車總費(fèi)用745元的方案。但結(jié)果中第一個(gè)客戶的運(yùn)送費(fèi)用過(guò)高，基于貨物可分的假設(shè)，我們對(duì)求得的結(jié)果進(jìn)行調(diào)整，得到了4輛車總費(fèi)用645元的更優(yōu)方案。但這種方案受到應(yīng)用范圍的限制。優(yōu)先考慮最短路徑模型偏重路徑最短，確定路徑后貨車輛不易調(diào)節(jié)，因此隨后，我們又建立優(yōu)先考慮送貨車輛數(shù)模型對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行求解。由于該問(wèn)題數(shù)據(jù)較少，第二個(gè)模型收到的良好的效果，我們得出了用4輛車總費(fèi)用680的近似最優(yōu)路徑。最后，我們對(duì)模型進(jìn)行了評(píng)價(jià)和推廣。一、問(wèn)題的

4、重述運(yùn)輸公司配送貨物的行駛路線直接影響到運(yùn)輸費(fèi)用，運(yùn)輸公司往往希望通過(guò)合理的路線設(shè)計(jì)最大限度地提高人員、物資、金錢、時(shí)間等物流資源的效率(降低成本)，取得最大效益(提高服務(wù))。同時(shí)，還可以去除多余的交錯(cuò)運(yùn)輸，并取得緩解交通、保護(hù)環(huán)境等社會(huì)效益。因此，設(shè)計(jì)合理的運(yùn)輸行駛路線具有很大的意義。現(xiàn)某運(yùn)輸公司有10個(gè)客戶的配送任務(wù)，現(xiàn)針對(duì)該公司的配送路線提出如下問(wèn)題：1、為已在第2個(gè)客戶處的配送員設(shè)計(jì)臨時(shí)為第10個(gè)客戶送貨的最短行駛路線；（給客戶10的貨已在車上）2、設(shè)計(jì)用一輛大型卡車一次為10個(gè)客戶送貨并回到提貨點(diǎn)的最優(yōu)行駛路線；（卡車可裝下所有用戶所需的貨物）3、如果因資源緊張只能用兩輛小型貨車（車

5、容量為50個(gè)單位）運(yùn)貨，設(shè)計(jì)兩輛貨車的最短行駛路線；（已知每個(gè)客戶所需貨物量）4、用車容量25個(gè)單位的貨車運(yùn)貨，在出車費(fèi)、運(yùn)費(fèi)、行駛路程的約束條件下設(shè)計(jì)最優(yōu)行駛路線。 二、問(wèn)題的假設(shè)各段路況都是一樣的，車子在各條路上行駛狀況相同。貨車在運(yùn)貨過(guò)程中不會(huì)發(fā)生意外。 三、符號(hào)說(shuō)明 G 將客戶作為頂點(diǎn)的賦權(quán)圖Kn 賦權(quán)完全圖 第i個(gè)客戶 第i個(gè)客戶到第j個(gè)客戶的最短距離D 行車總距離C 車輛數(shù) S 運(yùn)貨總費(fèi)用 四、模型的建立及求解4.1問(wèn)題一4.1.1用Dijkstra算法計(jì)算本題主要是求解最短路徑問(wèn)題，求最短路已有成熟的算法：迪克斯特拉（Dijkstra）算法。Dijkstra算法以起始點(diǎn)為中心向外

6、層層擴(kuò)展，直到擴(kuò)展到終點(diǎn)為止，其基本思想是按距 從近到遠(yuǎn)為順序，依次求得到G 的各頂點(diǎn)的最短路和距離直至（或直至G 的所有頂點(diǎn)），算法結(jié)束。由問(wèn)題中可得配貨員從第二個(gè)客戶處出發(fā)，以為起點(diǎn)，對(duì)原矩陣修改得 用matlab7.0對(duì)上述矩陣應(yīng)用用迪克斯特拉（Dijkstra）算法計(jì)算得配送員從到的最短距離d=85。4.1.2 用Floyd算法計(jì)算Dijkstra算法能得出最短路徑的最優(yōu)解，但由于它遍歷計(jì)算的節(jié)點(diǎn)很多，所以效率低。而Floyd算法簡(jiǎn)單有效，由于三重循環(huán)結(jié)構(gòu)緊湊，對(duì)于稠密圖，效率要高于執(zhí)行Dijkstra算法?？梢运愠鋈我鈨蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最短距離，并且代碼編寫(xiě)簡(jiǎn)單；在matlab7.0中建

7、立如下函數(shù)對(duì)a矩陣進(jìn)行處理即可得出配送員從到的最短距離d=85，路線為2-3-8-9-10。function D,R=floyd(a)n=size(a,1);D=afor i=1:nfor j=1:nR(i,j)=j;endendRfor k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif D(i,k)+D(k,j) v7 - v5 - v2 - v3 - v6 - v4 - v8 - v9 - v10 - v1然后我們又剛才算出來(lái)的Hamilton圈c2=1 7 5 2 3 6 4 8 9 10 1為初使圈用同樣的算法計(jì)算得最短路徑仍為230公里并得出新的路徑。4.2.2近似算法鄰近點(diǎn)法根據(jù)

8、題意，本題就是給定了賦權(quán)圖G，然后求G 的一個(gè)權(quán)最小的Hamilton 圈的問(wèn)題。首先我們要判斷G是否有Hamilton 圈，在已知G 是Hamilton 圖的情況下，求出一個(gè)權(quán)最小的Hamilton 圈來(lái)。給G 添加權(quán)為 的邊，化為賦權(quán)完全圖Kn。在Kn 中，共有(n-1)!/2個(gè)不同的Hamilton 圈。如果一一計(jì)算各Hamilton 圈的長(zhǎng)度，再逐個(gè)比較出權(quán)最小的一個(gè)，則計(jì)算量很大，當(dāng)n 較大時(shí)無(wú)法實(shí)現(xiàn)。對(duì)這樣的問(wèn)題，一般解決方法是設(shè)計(jì)較好的近似算法，求其近似最優(yōu)解。用鄰近法求解的一般步驟如下：Step1. 任選一點(diǎn)v1 V ，令 P1 = v 1, i=1.Step2. 設(shè)已得到Pi

9、= v1v2 vi, 選取Vi+1V v1,v2, vi 使得權(quán)w(vi,vi+1)最小。Step3. 若i = n ，則停止，C=Pn+VnV1= v1v2 vi v1 是一條近似的最小Hamilton 圈；否則i = i + 1 ，轉(zhuǎn)step2。用鄰近點(diǎn)法當(dāng)n=10時(shí)，從v1出發(fā)，根據(jù)鄰近法，可得兩個(gè)近似解：v1-v5-v7-v6-v3-v4-v8-v9-v10-v2-v1，權(quán)為225；v1-v5-v7-v6-v4-v3-v8-v9-v10-v2-v1,，權(quán)為230。 所以最優(yōu)解是：v1-v5-v7-v6-v3-v4-v8-v9-v10-v2-v1，權(quán)為225。但是對(duì)于鄰近點(diǎn)法求近似解的精

10、度，有如下定理：設(shè)賦權(quán)完全圖Kn 各邊的權(quán)均為正數(shù)，且權(quán)滿足三角不等式：對(duì)于任意的vi，vj，vkV，w (vivj )+w (vjvk ) w( vi kv) ，則c0/c*( log2n+1)2其中c 是Kn 的最小Hamilton 圈的權(quán)，而c0是用鄰近點(diǎn)法求得的Hamilton 圈的權(quán)?？梢?jiàn)，鄰近點(diǎn)法求近似解的精度也不高，且與初始點(diǎn)有關(guān)。4.2.3模型的評(píng)價(jià)求最短送貨路線時(shí)，即是求最優(yōu)圈的問(wèn)題，目前還沒(méi)有求解這樣問(wèn)題的有效算法。所以希望有一個(gè)方法以獲得相當(dāng)好（但不一定最優(yōu)）的解。我們采用了求最短H-圈改良圈的算法。這種算法是不可能求得最優(yōu)解的，但可以我們隨機(jī)選取了不同的初始圈，比較不同

11、圈的權(quán)取其中的最小值已得到最優(yōu)的路徑，雖然該路徑與實(shí)際中的最優(yōu)路徑的近似程度不易衡量，但足可以滿足實(shí)際應(yīng)用的要求了。另外在尋找權(quán)最小Hamilton 圈,模型中給G添加了權(quán)為，就把圖G轉(zhuǎn)化成了賦權(quán)完全圖，這樣就省略了判定G 是否有Hamilton 圈的問(wèn)題，使問(wèn)題得到了簡(jiǎn)化。另外從鄰近點(diǎn)法的精確度來(lái)看，由于N比較小，所以精確度相對(duì)來(lái)說(shuō)還是很高的。從幾種不同算法解出的結(jié)果也可以看出其精確性。4.3 問(wèn)題三如果用兩輛小型貨車送貨，勢(shì)必要找出兩個(gè)Hamilton 圈，我們考慮將10個(gè)客戶分成兩組，每輛貨車負(fù)責(zé)一組客戶的貨物。將分好組的兩組分別求出其最小權(quán)Hamilton 圈，將兩個(gè)權(quán)相加即為最短路徑

12、。但是，由于有一些客戶間不能直達(dá)，以及車容量的限制（每輛車所載貨物量50個(gè)單位），客戶的分組并不能是完全嚴(yán)格的，一組中的點(diǎn)可以通過(guò)另一組中的點(diǎn)過(guò)度，達(dá)到最佳效果。也就是說(shuō)，廣義上我們將10個(gè)客戶分為2組，但他們也可相交。4.3.1 分步篩選法求解進(jìn)行近似計(jì)算我們可以以單程路程最短為衡量指標(biāo)，貨車從每一點(diǎn)出發(fā)都駛向離它最近的，那么最后總路程也應(yīng)最短。因?yàn)閱?wèn)題中客戶數(shù)僅為10個(gè)，所以以這種方法分組方便簡(jiǎn)單。具體做法如下：1、以為起點(diǎn)，那么離其最近的兩點(diǎn)和則作為第二站分別分在兩組中。2、分別以和為起點(diǎn)尋找到他們最近的下兩個(gè)點(diǎn)。其中離最近的是和，已經(jīng)分好組了，所以與分為一組。同理，將和分在一組。3、依

13、此類推，分組情況為：第一組 第二組 。按照我們的算法，應(yīng)分在第二組，但是這樣會(huì)導(dǎo)致第二輛貨車超載，所以必須考慮將分給一組，但到不能直達(dá)，用Floyd算法計(jì)算得到最短路程30公里，經(jīng)過(guò)。比將分到第而組多出10公里，權(quán)衡下為最佳選擇。所以最后的分組情況為第一組 以及第二組 。分好組以后對(duì)每一組中的點(diǎn)利用前兩個(gè)問(wèn)題的算法求其最小權(quán)Hamilton 圈得到最短路徑。將分組后的各點(diǎn)用matlab7.0處理得到兩輛車的最短路徑分別為c1=1 5 2 3 8 910 1 和 c2=1 7 6 4 9 1。計(jì)算得d1=160公里，d2=145公里。最后兩輛車所走過(guò)的總距離為D=d1+d2=305公里。通過(guò)以上

14、算法我們得出的最后結(jié)果是：兩輛車分別給客戶1 5 2 8 10和客戶 7 6 4 9 送貨，所走的最短路程為305公里。4.4問(wèn)題四這一問(wèn)中約束條件更多，分析10個(gè)客戶的需貨量，車容量減少為25個(gè)單位使得每輛車最多不可能給超過(guò)4個(gè)的客戶送貨，另外每增加一輛車就會(huì)增加k（100元/輛）元的出車費(fèi)，1元/公里的運(yùn)費(fèi)同時(shí)也給設(shè)計(jì)路線增加了約束條件?；诘诙?wèn)的求解，我們還是希望先對(duì)10個(gè)客戶進(jìn)行分組。顯然，運(yùn)貨總費(fèi)用S=kC+D。4.4.1優(yōu)先考慮最短路徑模型所有貨車在裝好貨物以后均要從v1出發(fā)，要得到最短路徑，我們不妨先算出v1到各點(diǎn)的最短距離及路徑。采用Dijkstra算法應(yīng)用matlab7.0

15、進(jìn)行求解得到如下結(jié)果：其中第一行為客戶序號(hào)，第二行為各個(gè)客戶的需貨量，第三行為最短距離，第四行為得到最短距離的路徑。每輛車所裝貨物不能超過(guò)車容量，分析客戶需求量可得到每輛車最多能夠送貨的客戶數(shù)M。設(shè)每條路徑的路徑度為完成路徑所經(jīng)歷的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，路徑距離為完成路徑所走過(guò)的路程。取Max（）最接近M的路徑為第一主路徑，檢索其他路徑，將重復(fù)點(diǎn)多的路徑淘汰。留下路徑單點(diǎn)，尋找含第一路徑以外節(jié)點(diǎn)的高路徑度路徑以相同的方法處理，單點(diǎn)以路徑最短為原則插入到已選的路徑中去，依此類推，最后得到了以v1為頂點(diǎn)，遍游所有節(jié)點(diǎn)的路徑束，且路徑總路程最短。由于不考慮空車返回的費(fèi)用，路徑不必形成圈。最后以車容量為標(biāo)準(zhǔn)調(diào)整各

16、個(gè)路徑?；谝陨纤惴ń鉀Q題目中的問(wèn)題如下：分析客戶需求量得到此題中M=4。v1到各點(diǎn)的最短路徑前面我們已經(jīng)用Dijkstra算法求得。第一步選出與M相近的路徑有：1-5-2、1-4-3、1-7-6、1-9-10，留下的單點(diǎn)為v8。用Floyd算法計(jì)算v8到各個(gè)路徑末點(diǎn)的最短距離分別為：55、25、50、35 。顯然單點(diǎn)v8應(yīng)放在第三條路徑中。最后得到的四條路徑分別為：1-5-2、 1-4-3-8、 1-7-6 和 1-9-10 。車輛數(shù)C=4 。v1存在與每一條路徑中，但無(wú)論將v1的貨物放在哪一輛車上都會(huì)使該車超載。以算法中優(yōu)先考慮最短路徑為原則，應(yīng)再派一輛車，以最短的路徑0公里為v1送貨。這

17、樣求得的送貨方案為：車輛號(hào)路徑送貨點(diǎn)費(fèi)用11-5-25、2100+40=140元21-4-3-84、3、8100+80=180元31-7-67、6100+55=155元41-9-109、10100+70=170元511100元費(fèi)用合計(jì)：S=745元。 C=5此方案中v1最近但是送貨費(fèi)用卻最高。結(jié)果不盡如人意。在貨物可分的情況下，我們考慮可以將v1的貨物分裝在1、2號(hào)車中，這樣便節(jié)省了一輛車的出車費(fèi)100元，大大的優(yōu)化了方案。這樣處理后的送貨方案為：車輛號(hào)路徑送貨點(diǎn)費(fèi)用11-5-21、5、2100+40=140元21-4-3-81、4、3、8100+80=180元31-7-67、6100+55=

18、155元41-9-109、10100+70=170元費(fèi)用合計(jì)：S=645元。 C=4 以上模型優(yōu)先考慮最短路徑，對(duì)車輛數(shù)相對(duì)較難控制，分組方法相對(duì)粗糙。但是最短距離則比較控制，一個(gè)點(diǎn)的位置都可能在整體上很大程度的優(yōu)化結(jié)果，而這個(gè)題目中數(shù)據(jù)很少，我們很容易得出最少車輛數(shù)為4輛，因此我們又建立的新的優(yōu)先考慮車輛數(shù)的模型。 4.4.2優(yōu)先考慮車輛數(shù)模型由題意可知,，貨物總量為94，而每輛車的最大裝載量為25，故可以很容易的得到至少需要4輛車完成送貨。所以我們優(yōu)先考慮用四輛車的情況。即將共計(jì)10個(gè)客戶分成四組，再在組內(nèi)求其最小路徑。更方便的是題目要求不考慮空車返回的費(fèi)用，我們只需求解單程路徑最短。由于

19、本題的規(guī)模不是很大(包括提貨點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)),所以我們?nèi)钥捎绵徑c(diǎn)法解決這個(gè)問(wèn)題。算法思路是找出距離提貨點(diǎn)v1最近的四個(gè)點(diǎn)，將它們分別分在四組中，再分別找離這四個(gè)點(diǎn)最近的點(diǎn)，依此類推，知道所有點(diǎn)都被分組?；谝陨纤惴ǎ覀儜?yīng)用Dijkstra算法求出各點(diǎn)到v1 的距離，找到v4, v5, v7, v9(v2)離v1最近。再分別找出距離v4, v5, v7, v9(v2)距離最近的點(diǎn),依此類推,直到把點(diǎn)全部找完為止. 由于v9和v2到v1的距離相等，所以我們分成兩種情況討論：第一種情況（第一次分組選v9）經(jīng)過(guò)兩次分組后計(jì)算結(jié)果如下v1-v4-v3 v1-v5-v8 v1-v7-v6 v1-v2-v

20、9現(xiàn)在還有v10沒(méi)有考慮進(jìn)去，而1-2-9和1-7-6已經(jīng)滿載，所以只有可能將v10添加到路線1-4-3和1-5-8中,前面已經(jīng)算出v3和v8到v10的最短路徑分別為60公里和30公里，而且它們都能滿足容量的要求。路徑距離越短越好，自然將v10分給v8 。于是，第一條合理的路徑為:v1-v4-v3, v1-v5-v8-v9-v10, v1-v7-v6, v1-v2-v9.這四輛車分別給1 4 3, 5 8 10, 7 6, 2 9客戶送貨。最小費(fèi)用為295+400=695。得到最終結(jié)果如下:車輛號(hào)路徑送貨點(diǎn)費(fèi)用11-4-31、4、3100+55=155元21-5-8-9-105、8、10100

21、+80=185元31-7-67、6100+55=155元41-2-92、9100+100=200元費(fèi)用合計(jì)：S=695元 C=4第二種情況可以得到 ：v1-v4-v3 v1-v5-v2 v1-v7-v6 v1-v9-v10,最后剩下v8再討論。在上面找出的任一條路線中,都無(wú)法直接去v8，因?yàn)檫@樣總會(huì)有車超載.，類似于深探法的思想，將v8分別換到v4或v5，v7，v9的后面,再分別討論。 又1-7-6恰好滿載，而且是最短路線，因此先不考慮。 如果將v8排v10后，雖然v8到v10的最短距離只有30公里，但是只要v9和v10到一起，就不能再給其它客戶送貨，如果放到v3后面，v3到v8的最短距離只有

22、25，但是會(huì)使小貨車超載，因?yàn)槿绻催@條路線，第四輛車就只能給v1 v5 v2 送貨，不滿足容量的要求。所以只能將v8排在v2后面。得出結(jié)果如下：車輛號(hào)路徑送貨點(diǎn)費(fèi)用11-4-31、4、3100+55=155元21-5-2-85、2、8100+100=200元31-7-67、6100+55=155元41-9-109、10100+70=170元費(fèi)用合計(jì)：S=680元 C=4另外還可以考慮用如下算法求解：此題數(shù)據(jù)較少，由于貨物總量為94，而每輛車的最大裝載量為25，故可以很容易的得到至少需要4輛車完成送貨。要使送貨所需費(fèi)用最小，則盡可能的使每輛車都走最短的路線。首先，仍然是應(yīng)用Dijkstra算法

23、算出v1到各個(gè)節(jié)點(diǎn)的最短距離及路徑： 40 55 40 25 55 30 55 50 70各個(gè)點(diǎn)所需貨物數(shù)量如下8 13 6 9 7 15 10 5 12 9我們發(fā)現(xiàn)路線剛好使一輛車滿載，而且所走的距離也最短，故我們先確定了這一條路線。剩下的三輛車總有一輛要去離最遠(yuǎn)的點(diǎn)，從上面所求的數(shù)據(jù)我們不難看出，從到最短的路線為，而我們又發(fā)現(xiàn)距離最近的點(diǎn)為，距離才為10，所以選擇路線。由到點(diǎn)的距離也為10，所以可以選擇路線，剩下的可通過(guò)路線連起來(lái)，最后通過(guò)計(jì)算，第一條路線裝載和的貨物，第二條路線裝載點(diǎn)、和的貨物，第三條路線裝載點(diǎn)、和的貨物，最后一條路線裝載和的貨物，每一輛車都沒(méi)超載且運(yùn)載量也大致相當(dāng)，也盡

24、可能的沿著最短的路線走，因而所走的距離也很短，所需費(fèi)用就很接近最優(yōu)解。最后得到的結(jié)果為：車輛號(hào)路徑送貨點(diǎn)費(fèi)用11-7-67、6100+55=155元21-9-10-31、10、3100+80=180元31-5-8-95、8、9100+65=165元41-4-3-24、3、2100+85=185元費(fèi)用合計(jì)：S=680元 C=4綜合以上算法的計(jì)算結(jié)果，多個(gè)小型貨車送貨問(wèn)題的最優(yōu)解為S=680，C=4路徑為1 7 6、1-9-10-3、1-5-8-9、1-4-3-2和1-4-3、1-5-2-8、1-7-6、1-9-10。若假設(shè)第一個(gè)客戶的貨物可分則得到最優(yōu)解S=645，C=4路徑為1-5-2、1-4

25、-3-8、1-7-6、1-9-10。 五、模型的推廣我們建立的模型解決了一系列運(yùn)送貨物最小路徑的問(wèn)題。如果我們把距離該做兩點(diǎn)之間的直達(dá)時(shí)間則可運(yùn)用我們建立的模型求解最短時(shí)間完成任務(wù)的最優(yōu)路徑等外圍類似問(wèn)題。而在現(xiàn)實(shí)生活中類似于運(yùn)輸路徑的問(wèn)題有很多，比如說(shuō)保安在住宅區(qū)用最短的時(shí)間巡邏、郵遞員走最短的距離送信、環(huán)形旅游花費(fèi)最少等等。針對(duì)這些問(wèn)題都可以通過(guò)我們的模型進(jìn)行求解。本題所建立的模型,都是根據(jù)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)資料設(shè)置變量,各變量之間關(guān)系明確,且各個(gè)參數(shù)可比較方便地得到. 參考文獻(xiàn)1 戴一奇等 編著，圖論與代數(shù)結(jié)構(gòu)，北京，清華大學(xué)出版社，1995年2 徐金明 主編， MATLAB實(shí)用教程，北京 ，清

26、華大學(xué)出版社*北京交通大學(xué)出版社，2005年7月3 姜啟源等 編，大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，北京，清華大學(xué)出版社，2005年2月4 殷劍宏，吳開(kāi)亞，圖論及其算法，中國(guó)科技大學(xué)出版社，20035 徐俊明，圖論及其應(yīng)用，中國(guó)科技大學(xué)出版社，19986 王樹(shù)禾，圖論及其算法，中國(guó)科技大學(xué)出版社，1994。 附錄clear; %求一點(diǎn)到其他各點(diǎn)的距離及路徑clc;M=10000;a=0 50 M 40 25 M 30 M 50 M;50 0 30 M 35 50 M 60 M M;M 30 0 15 M 30 50 25 M 60;40 M 15 0 45 30 55 20 40 65;25 15 M 45 0

27、60 10 30 M 55;M 50 30 30 60 0 25 55 35 M;30 M 50 M 10 25 0 30 45 60;M 60 25 20 30 55 30 0 10 M;20 M M 40 M 15 25 45 0 20;35 20 10 45 20 M 60 M 30 0;pb(1:length(a)=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a);d(1:length(a)=M;d(1)=0;temp=1;while sum(pb)=2 index=index(1); end index2(temp)=index;endd, index1, index2function d,path=floyd(a,sp,ep) %求任意亮點(diǎn)間的距離和路徑n=size(a,1);D=a;path=zeros(n,n);for i=1:n for j=1