（精校版）上海市理數(shù)卷文檔版（有答案）普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試上海 數(shù)學(xué)試卷（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）一、填空題（本大題共有14題，滿(mǎn)分56分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)4分，否則一律得零分1設(shè)全集若集合，則 2若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中為虛數(shù)單位，則 3若線性方程組的增廣矩陣為、解為，則 4若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，且其體積為，則 5拋物線（）上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，則 6若圓錐的側(cè)面積與過(guò)軸的截面面積之比為，則其母線與軸的夾角的大小為 的解為 名男教師和名女教師中，選取人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)值表示）和的橫坐標(biāo)相同，的縱坐標(biāo)是的縱坐標(biāo)的倍，和的軌跡分

2、別為雙曲線和若的漸近線方程為，則的漸近線方程為 為，的反函數(shù)，則的最大值為 的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)值表示）12.賭博有陷阱某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標(biāo)記有，的卡片中隨機(jī)摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，再隨機(jī)摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對(duì)值的倍作為其獎(jiǎng)金（單位：元）若隨機(jī)變量和分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎(jiǎng)金，則 （元）若存在，滿(mǎn)足，且（，），則的最小值為 中，為邊上的點(diǎn)，與的面積分別為和過(guò)作于，于，則 二、選擇題（本大題共有4題，滿(mǎn)分20分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則

3、一律得零分15設(shè)，則“、中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)”是“是虛數(shù)”的（ ）A充分非必要條件 B必要非充分條件C充要條件 D既非充分又非必要條件16已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）A B C D17記方程 = 1 * GB3 ：，方程 = 2 * GB3 ：，方程 = 3 * GB3 ：，其中，是正實(shí)數(shù)當(dāng)，成等比數(shù)列時(shí)，下列選項(xiàng)中，能推出方程 = 3 * GB3 無(wú)實(shí)根的是（ ）A方程 = 1 * GB3 有實(shí)根，且 = 2 * GB3 有實(shí)根 B方程 = 1 * GB3 有實(shí)根，且 = 2 * GB3 無(wú)實(shí)根C方程 = 1 * GB3 無(wú)實(shí)根，且 = 2 * GB3 有實(shí)

4、根 D方程 = 1 * GB3 無(wú)實(shí)根，且 = 2 * GB3 無(wú)實(shí)根18設(shè)是直線（）與圓在第一象限的交點(diǎn)，則極限（ ）A B C D三、解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分74分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟19.（本題滿(mǎn)分12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，、分別是、的中點(diǎn)證明、四點(diǎn)共面，并求直線與平面所成的角的大小.20.（本題滿(mǎn)分14分）本題共有2小題，第小題滿(mǎn)分6分，第小題滿(mǎn)分8分如圖，三地有直道相通，千米，千米，千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過(guò)小時(shí)，他們之間的距離為（單位：千米）.甲的路線是，速度為千米/小時(shí)，乙的路線是，速度為時(shí)乙到達(dá)地.（1）求與的值

5、；（2）已知警員的對(duì)講機(jī)的有效通話(huà)距離是時(shí)，求的表達(dá)式，并判斷在上得最大值是否超過(guò)？說(shuō)明理由.21.（本題滿(mǎn)分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題6分，第2小題8分.已知橢圓，過(guò)原點(diǎn)的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，記得到的平行四邊形的面積為.（1）設(shè)，用、的坐標(biāo)表示點(diǎn)到直線的距離，并證明；（2）設(shè)與的斜率之積為，求面積的值.22.（本題滿(mǎn)分16分）本題共有3個(gè)小題.第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分6分. 已知數(shù)列與滿(mǎn)足，.（1）若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的第項(xiàng)是最大項(xiàng)，即（），求證：數(shù)列的第項(xiàng)是最大項(xiàng)；（3）設(shè)，（），求的取值范圍，使得有最大值與最小值，且.23.（本題

6、滿(mǎn)分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分8分.對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若存在正常數(shù)，使得是以為周期的函數(shù)，則稱(chēng)為余弦周期函數(shù)，且稱(chēng)是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域?yàn)?設(shè)單調(diào)遞增，.（1）驗(yàn)證是以為周期的余弦周期函數(shù)；（2）設(shè)證明對(duì)任意，存在，使得；（3）證明：“為方程在上得解”的充要條件是“為方程在上有解”，并證明對(duì)任意都有.上海數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）參考答案一、（第1題至第14題）1. 2. 3.16 4.4 5.2 6. 7.2 8.120 9. 10.4 11.45 12.0.2 13.8 14. 二、（第15至18題）題號(hào)15161718代號(hào)BDBA三

7、、（第19至23題）19. 解：如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A1(2，0，1)、C1(0，2，1)、E(2，1，0)、F（1，2,0）、C（0、2、0）、D（0,0,1）.因?yàn)?，所以?因此直線與共面，即，、四點(diǎn)共面.設(shè)平面的法向量為，則，又，=,故取u=1，則平面 的一個(gè)法向量=.又,故因此直線與平面所成的角的大小.20. 解：（1），設(shè)乙到C時(shí)甲所在地為D，則AD=千米。在ACD中，,所以（千米）。（2）甲到達(dá)B用時(shí)1小時(shí)；乙到達(dá)C用時(shí)小時(shí)，從A到B總用時(shí)小時(shí)。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，=5-5t.所以因?yàn)樵谏系淖畲笾凳牵谏系淖畲笾凳?，所以在上的最大值是，不超過(guò)3.21.證

8、：（1）直線，點(diǎn)C到的距離、，所以.（2）設(shè)，則，設(shè).由同理由（1）， =整理得.22.解（1）由于，得，所以是首項(xiàng)為1，公差為6的等差數(shù)列，故的通項(xiàng)公式為，.證（2），得.所以為常數(shù)列，即因?yàn)椋?故是第項(xiàng)是最大項(xiàng)。解：（3）因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)， = =.當(dāng)n=1時(shí)，符合上式.所以.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，不存在最大、最小值；當(dāng)時(shí)，的最大值為3，最小值為-1，而時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，的最大值，最小值，由.綜上，的取值范圍是.23證明（1）易見(jiàn)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意，所以，即是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)。（2）由于的值域?yàn)镽，所以對(duì)任意，c都是一個(gè)函數(shù)值，即有，使得。 若，則由單調(diào)遞增得到，與矛盾，所以.，同理可證.故存在使得. （3）若為在上的解，則,即為方程在上的解.同理，若為方程在上的解.則為該方程在