第5講角含半角模型(解析版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)中考數(shù)學(xué)幾何模型5：角含半角模型TH名師點(diǎn)睛 撥開(kāi)云霧 開(kāi)門見(jiàn)山角含半角模型，顧名思義即一個(gè)角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問(wèn)題的常見(jiàn)辦法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)目標(biāo)三角形法和翻折目標(biāo)三角形法。類型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如圖，在ABC中，AB=AC，BAC=90，點(diǎn)D，E在BC上，且DAE=45，則：BD2+CE2=DE2. 圖示（1） 作法1：將ABD旋轉(zhuǎn)90 作法2：分別翻折ABD,ACE

2、 （2）如圖，在ABC中，AB=AC，BAC=90，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上，且DAE=45，則：BD2+CE2=DE2. 圖示（2） （3）如圖，將等腰直角三角形變成任意等腰三角形時(shí)，亦可以進(jìn)行兩種方法的操作處理. 任意等腰三角形 類型二：正方形中角含半角模型（1）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，EAF=45，連接EF，過(guò)點(diǎn)A作AG于EF于點(diǎn)G，則：EF=BE+DF，AG=AD. 圖示（1） 作法：將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 （2）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CB，DC的延長(zhǎng)線上，EAF=45，連接EF，則：EF=DF-BE. 圖示（2） 作法

3、：將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90（3）如圖，將正方形變成一組鄰邊相等，對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，在四方形ABCD中，AB=AD，BAD+C=180，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，EAF=BAD，連接EF，則：EF=BE+DF. 圖示（3） 作法：將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)BAD的大小典題探究 啟迪思維 探究重點(diǎn)例題1. 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，若CE5，且ECF45，則CF的長(zhǎng)為4【解答】解：如圖，延長(zhǎng)FD到G，使DGBE；連接CG、EF；四邊形ABCD為正方形，在BCE與DCG中，BCEDCG（SAS），CGCE，DCGBCE，GCF45，在GCF與ECF中，GCFE

4、CF（SAS），GFEF，CE5，CB4，BE3，AE1，設(shè)AFx，則DF4x，GF1+（4x）5x，EF，（5x）21+x2，x，即AF，DF4，CF4，故答案為：4變式練習(xí)1如圖四邊形ABCD中，ADBC，BCD90，ABBC+AD，DAC45，E為CD上一點(diǎn)，且BAE45若CD4，則ABE的面積為（）ABCD【解答】解法一：作AFCB交CB的延長(zhǎng)線于F，在CF的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得FGDEADBC，BCD+ADC180，ADCBCDAFC90，四邊形ADCF是矩形，CAD45，ADCD，四邊形ADCF是正方形，AFAD，AFGADF90，AFGADE，AGAE，F(xiàn)AGDAE，F(xiàn)AG+F

5、ABEAD+FAB45BAE，BAEBAG，BEBGBF+GFBF+DE，設(shè)BCa，則AB4+a，BF4a，在RtABF中，42+（4a）2（4+a）2，解得a1，BC1，BF3，設(shè)BEb，則DEb3，CE4（b3）7b在RtBCE中，12+（7b）2b2，解得b，BGBE，SABESABG4例題2. 在正方形ABCD中，連接BD（1）如圖1，AEBD于E直接寫出BAE的度數(shù)（2）如圖1，在（1）的條件下，將AEB以A旋轉(zhuǎn)中心，沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30后得到ABE，AB與BD交于M，AE的延長(zhǎng)線與BD交于N依題意補(bǔ)全圖1；用等式表示線段BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明（3）如圖2，E、F是邊

6、BC、CD上的點(diǎn)，CEF周長(zhǎng)是正方形ABCD周長(zhǎng)的一半，AE、AF分別與BD交于M、N，寫出判斷線段BM、DN、MN之間數(shù)量關(guān)系的思路（不必寫出完整推理過(guò)程）【解答】解：（1）BD是正方形ABCD的對(duì)角線，ABDADB45，AEBD，ABEBAE45，（2）依題意補(bǔ)全圖形，如圖1所示，BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系是BM2+MD2MN2，將AND繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到AFB，ADBFBA，BAFDAN，DNBF，AFAN，在正方形ABCD中，AEBD，ADBABD45，F(xiàn)BMFBA+ABDADB+ABD90，在RtBFM中，根據(jù)勾股定理得，F(xiàn)B2+BM2FM2，旋轉(zhuǎn)ANE得到AB1E1，E

7、1AB145，BAB1+DAN904545，BAFDAN，BAB1+BAF45，F(xiàn)AM45，F(xiàn)AME1AB1，AMAM，AFAN，AFMANM，F(xiàn)MMN，F(xiàn)B2+BM2FM2，DN2+BM2MN2，變式練習(xí)2. （1）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，MAN45，若將DAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到BAG位置，可得MANMAG，若MCN的周長(zhǎng)為6，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3（2）【類比延伸】如圖（2），四邊形ABCD中，ABAD，BAD120，B+D180，點(diǎn)M、N分別在邊BC、CD上的點(diǎn)，MAN60，請(qǐng)判斷線段BM，DN，MN之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由（3）

8、【拓展應(yīng)用】如圖3，四邊形ABCD中，ABAD10，ADC120，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，連接AM，MN，ABM是等邊三角形，AMAD，DN5（1），請(qǐng)直接寫出MN的長(zhǎng)【解答】解：（1）如圖1中，MANMAG，MNGM，DNBG，GMBG+BM，MNBM+DN，CMN的周長(zhǎng)為：MN+CM+CN6，BM+CM+CN+DN6，BC+CD6，BCCD3，故答案為3（2）如圖2中，結(jié)論：MNNM+DN延長(zhǎng)CB至E，使BEDN，連接AE，ABC+D180，ABC+ABE180，DABE，在ABE和ADN中，ABEADN，ANAE，DANBAE，BAD2MAN，DAN+BAMMAN，MANEAM，在

9、MAN和MAE中，MANMAE，MNEMBE+BMBM+DN，即MNBM+DN；（3）解：如圖3，把ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150至ADG，連接AN作NHAD于H，在AH上取一點(diǎn)K，使得NKH30在RtDHN中，NDH60DN5（1），DHDN，HNDH，在RtKNH中，KN2HN155，HKHN，AKAHHK155，AKKN，KANKNA，NKHKAN+KNA，NAK15，MAN75BAD，由（2）得，MNBM+DN10+5（1）5+5例題3. 如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，A=C=90，B=135，K，N分別是AB，BC上的點(diǎn)，若BKN的周長(zhǎng)為AB的2倍，求KDN的度數(shù).變式練習(xí)3.

10、 如圖，正方形被兩條與邊平行的線段EF，GH分割成四個(gè)小矩形，P是EF與GH的交點(diǎn)，若矩形PFCH的面積恰是矩形AGPE面積的2倍，試確定HAF的大小并證明你的結(jié)論. 例題4. 如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，BCCD，ABCADC90，MANBAD（1）如圖1，將MAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、CD于M、N，試判斷這一過(guò)程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不用證明；（2）如圖2，將MAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、CD的延長(zhǎng)線于M、N，試判斷這一過(guò)程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，將MAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它

11、的兩邊分別交邊BC、CD的反向延長(zhǎng)線于M、N，試判斷這一過(guò)程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不用證明【解答】解：（1）證明：延長(zhǎng)MB到G，使BGDN，連接AGABGABCADC90，ABAD，ABGADNAGAN，BGDN，141+24+2MANBADGAMMAN又AMAM，AMGAMNMGMNMGBM+BGMNBM+DN（2）MNBMDN證明：在BM上截取BG，使BGDN，連接AGABCADC90，ADAB，ADNABG，ANAG，NADGAB，MANNAD+BAMDAB，MAGBAD，MANMAG，MANMAG，MNMG，MNBMDN（3）MNDNBM達(dá)標(biāo)檢測(cè) 領(lǐng)

12、悟提升 強(qiáng)化落實(shí)1. 請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：正方形ABCD中，M，N分別是直線CB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，MAN45，當(dāng)MAN交邊CB、DC于點(diǎn)M、N（如圖）時(shí)，線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)CB至E使BEDN，并連接AE，構(gòu)造全等三角形經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得到解決請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：（1）直接寫出上面問(wèn)題中，線段BM，DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)MAN分別交邊CB，DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M/N時(shí)（如圖），線段BM，DN和MN之間的又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明；（3）在圖中，若正方形的邊長(zhǎng)為16cm，DN4cm，請(qǐng)利用（1）中的結(jié)論

13、，試求MN的長(zhǎng)【解答】解：（1）BM+DNMN；（2）DNBMMN理由如下：如圖，在DC上截取DFBM，連接AFABAD，ABMADF90，ABMADF （SAS）AMAF，MABFADMAB+BAFFAD+BAF90，即MAFBAD90又MAN45，NAFMAN45ANAN，MANFANMNFN，即 MNDNDFDNBM；（3）正方形的邊長(zhǎng)為16，DN4，CN12根據(jù)（1）可知，BM+DNMN，設(shè) MNx，則 BMx4，CM16（x4）20 x在RtCMN中，MN2CM2+CN2，x2（20 x）2+122解得 x13.6MN13.6cm2. （1）如圖1，在四邊形ABCD中，ABAD，BD

14、90，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且EAFBAD試探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系（1）小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)EB到點(diǎn)G，使BGDF，連結(jié)AG，先證明ABGADF，再證明AEGAEF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EFBE+FD（2）如圖2，在四邊形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且EAFBAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由（3）如圖3，在四邊形ABCD中，ABAD，B+ADC180，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且EAFBAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明【解答】解：（

15、1）由ABGADF，AEGAEF可知，BGDF，EFEGBG+EFDF+EF，故答案為EFBE+FD.（2）（1）中的結(jié)論EFBE+FD仍然成立理由：延長(zhǎng)EB到點(diǎn)G，使BGDF，連結(jié)AGABD+D180，ABD+ABG180，ABGD，ABAD，BGDF，ABGADF，BAGDAF，AGAF，EAFBAD，BAE+DAFBADBAE+BAG，EAGEAF，AEAE，AGAF，EAGEAF，EGEF，EGBG+BEDF+BE，EFBE+DF3. 小曼和他的同學(xué)組成了“愛(ài)琢磨”學(xué)習(xí)小組，有一次，他們碰到這樣一道題：“已知正方形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EGFH，

16、則EGFH”為了解決這個(gè)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)思考，大家給出了以下兩個(gè)方案：方案一：過(guò)點(diǎn)A作AMHF交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BNEG交CD于點(diǎn)N；方案二：過(guò)點(diǎn)A作AMHF交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作ANEG交CD于點(diǎn)N（1）對(duì)小曼遇到的問(wèn)題，請(qǐng)?jiān)诩?、乙兩個(gè)方案中任選一個(gè)加以證明（如圖（1）（2）如果把條件中的“正方形”改為“長(zhǎng)方形”，并設(shè)AB2，BC3（如圖（2），是探究EG、FH之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論（3）如果把條件中的“EGFH”改為“EG與FH的夾角為45”，并假設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，F(xiàn)H的長(zhǎng)為（如圖（3），試求EG的長(zhǎng)度【解答】解：（1）證明：過(guò)點(diǎn)A作AMHF交BC于點(diǎn)M，作ANEG交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，AMHF，ANBC，在正方形ABCD中，ABAD，ABMBADADN90EGFH，NAM90，BAMDAN，在ABM和ADN中，BAMDAN，ABAD，ABMADNABMADNAMAN，即EGFH（2）結(jié)論：EG：FH3：2證明：過(guò)點(diǎn)A作AMHF交BC于點(diǎn)M，作ANEC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，AMHF，ANEC，在長(zhǎng)方形ABCD中，BCAD，ABMBADADN90，EGFH，NAM90，BAMDANABMADN，AB2，BCAD3，（3）解：過(guò)點(diǎn)A作AMH