六年級下冊奧數(shù)試題行程問題 全國通用

1、第12講行程問題（二）在四年級的教材中，我們已經(jīng)對于相遇問題、追及問題、水流問題和車長及橋長等問題，進(jìn)行了較為細(xì)致的研究。在這一講中，我們將進(jìn)一步就環(huán)行路上的行程問題以及多次相遇等問題進(jìn)行研究。行程問題在小學(xué)的應(yīng)用題中是變化最多的類型之一。對于行程問題的研究是小學(xué)綜合運(yùn)用知識解決問題的一個重要的內(nèi)容。因?yàn)樾谐虇栴}的變化可謂是豐富多彩，不僅在小學(xué)，而且在中學(xué)的數(shù)學(xué)和物理的學(xué)習(xí)中，也是極其重要的內(nèi)容。一、環(huán)行路上的行程問題環(huán)行路上的行程問題，有著它獨(dú)特的方面，由于環(huán)行的道路是封閉的，因此，環(huán)行路上的運(yùn)動，計(jì)算行程時，通常與環(huán)行道路的周長有關(guān)。例1在400米的環(huán)行跑道上，A、B兩點(diǎn)相距100米，甲、

2、乙兩人分別從A、B兩點(diǎn)同時出發(fā)，按逆時針方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，他們每人跑100米，都要停10秒鐘。求甲追上乙需要多少秒？分析：這道題初看時，由于他們每人跑100米，都要停10秒鐘。似乎不太好解決。但如果將二人看成不停的跑，就很容易算出甲追上乙的時間，這時再考慮在這期間所停留的時間，問題的解決就比較簡單了。解答：如果甲、乙不停的跑步，甲追上乙共需：100（54）=100（秒），甲在100秒中共跑：5100=500（米），而甲在跑100米、200米、300米、400米時共停留了4次，到了500米處恰好追上乙。不必計(jì)算停留的時間。所以，甲追上乙所需的時間是：100410=140（秒）

3、說明：甲跑到500米處時，正好是乙跑完400米，并且休息完10秒時。當(dāng)甲跑到時，乙恰好要出發(fā)，他們兩個在這一瞬間正好相遇。例2如圖，A、B是圓直徑的兩個端點(diǎn)，小華在點(diǎn)A，小明在點(diǎn)B，他們同時出發(fā)，反向而行。他們在C點(diǎn)第一次相遇，C點(diǎn)離A點(diǎn)100米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)80米。求這個圓的周長。分析：第一次相遇，兩人合起走了半圈，第二次相遇，兩人合起走了一圈，因此，從開始出發(fā)到第二次相遇，兩人合起走了一圈半。也就是說，第二次相遇時兩人合起走的路程是第一次相遇時合起所走路程的3倍，因此，不難看出AD的距離是AC距離的3倍，所以再求圓周的長度就比較簡單了。解答：因?yàn)锳C=100米，AD的長度是

4、AC長度的3倍。AD=AC3=1003=300（米）半個圓的周長：30080=220（米）整個圓的周長：2202=440（米）說明：這道題還可以從另一個角度進(jìn)行考慮。由于C到D兩人共走了一個圓周，由A、B到C兩人共走了半個圓周，所以，CD的長度是AC長度的2倍。因此，同樣可以判斷出AD的距離是AC距離的3倍。例3如圖，沿邊長為90米的正方形，按逆時針的方向，甲從A出發(fā)，每分鐘走65米，乙從B出發(fā)，每分鐘走72米，當(dāng)乙第一次追上甲時是在正方形的哪一條邊上？分析：這是一道環(huán)行追及問題，這類問題可以先看成“直線”的追及問題，求出乙追上甲所用的時間，再回到環(huán)行路上的追及問題，根據(jù)乙這段時間所走的路程，

5、推算出應(yīng)在正方形的哪一條邊上。解答：先求追上甲時乙所用的時間：903（7265）=（分）再求這段時間乙所走的路程：72=（米）由于，正方形每邊長90米，因此：=（472）90這樣不難看出，乙走的比7圈零兩條邊還多米，所以，當(dāng)乙第一次追上甲時，甲和乙應(yīng)在正方形的AD邊上。說明：如何將直線上的追及問題，與環(huán)行道路的特點(diǎn)相結(jié)合，是這道題得以解決的關(guān)鍵。二、有趣的多次相遇多次相遇的問題，在行程問題中，是一個比較復(fù)雜的問題，解決這類問題，要求同學(xué)們很熟悉時間、速度和路程這三類數(shù)量間的關(guān)系，很好的掌握它們的變化規(guī)律。例4下午3點(diǎn)15分，通訊員從營地騎自行車出發(fā)，8分鐘后，由于要更改命令，連長騎摩托車去追趕

6、他，在離營地4千米的地方追上了他，然后，連長立即返回營地，回到營地后，由于情況再次發(fā)生了變化，連長立即回頭再次追趕通訊員，再次追上他時，離營地恰好是8千米，問：這時是幾點(diǎn)幾分？分析：從圖中可以看出，連長第一次追上通訊員，立即折返到第二次追上通訊員，共走了48=121（千米），因此，騎摩托車的速度是騎自行車速度的124=3（倍）。由此可知，通訊員每走“”份的路程，連長將走“3”份的路程，這樣確定通訊員的速度，以及確定第二次追上的時間，就比較容易了。解答：由條件可知，騎摩托車的速度是騎自行車速度的124=3（倍）因此，從3點(diǎn)23分到連長追上通訊員，連長走了4千米，通訊員走了4千米。因此，通訊員前8

7、分鐘走了4=（千米）。從而可求出通訊員的速度是8=（千米）。因此，進(jìn)一步可求出通訊員走8千米共用8=24（分）。所以，第二次追上的時間是1524=39（分），即3點(diǎn)39分。說明：這道題目的解法比較多，但不論怎樣變化，在相同時間內(nèi)，速度越快，所走的路程越多，是不變的。這道題目的解答，恰好就是利用了這一變化規(guī)律。同時同學(xué)們不妨嘗試著利用方程的方法解答這道題目，也是比較簡單的。例5甲、乙二人同時從A、B兩地，相向而行，相遇后繼續(xù)行進(jìn)，到達(dá)目的地后，立即折返，就這樣不停的往返于兩地之間，并且不斷的相遇，第8次和第10次相遇的地點(diǎn)相距54米，已知，甲的速度是乙的速度的，那么，A、B兩地的距離是多少米？分

8、析：這道題目初看時，似乎缺少解決問題的條件，但是通過甲的速度是乙的速度的，不難看出，當(dāng)甲走3份路程的時候，乙就走了4份的路程，因此（如圖）不妨將全程看成7份，第一次相遇時，甲走了3份，乙走了4份。在這之后，甲和乙要想再次相遇，必須共同走完兩個全程，需用與第一次相遇時間相同的2倍的相遇時間。在這期間，甲走了3份路程的2倍，即6份的路程。我們不妨將路上的點(diǎn)（包括A、B兩點(diǎn)）從左至右設(shè)定為A、C、D、E、F、G、H、B點(diǎn)，而第一次相遇在E點(diǎn)，第二次相遇在G點(diǎn)，以次類推，就很容易確定出第八次和第十次的相遇點(diǎn)的具體位置，從而使問題得以解決。解答：因?yàn)?，甲的速度是乙的速度的，因此（如圖）不妨將全程看成7份

9、，第一次相遇時，甲走了3份，乙走了4份。將路上的點(diǎn)（包括A、B兩點(diǎn)）從左至右設(shè)定為A、C、D、E、F、G、H、B點(diǎn)，由分析可推出第一次相遇點(diǎn)在E；第二次相遇點(diǎn)在G；第三次相遇點(diǎn)在C；第四次相遇點(diǎn)在B；第五次相遇點(diǎn)在C；第六次相遇點(diǎn)在G；第七次相遇點(diǎn)在E；第八次相遇點(diǎn)在E；第九次相遇點(diǎn)在G；第10次相遇點(diǎn)在C。由于第八次相遇點(diǎn)在E；第十次相遇點(diǎn)在C，E和C相距的是2份的路程，而全程是7份的路程，所以，A、B兩地的距離5427=189（米）說明：這道題目充分的利用了時間一定，速度與路程的關(guān)系，值得注意的是除了第一次相遇二人是共同走完了一個全程，從第二次相遇開始都是共同走完了兩個全程，這一特點(diǎn)是這道

10、題解題的關(guān)鍵。三、合理安排巧解行程例6A、B、C三人要從甲地到乙地，步行速度都是每小時5千米，騎車速度都是每小時20千米?，F(xiàn)在只有一輛自行車，他們想了一個辦法：先讓A騎車走，同時B、C步行；A騎了一段后，再換步行而把車放在途中，留給B接著騎；B騎一段后，再換步行而把車放在途中，留給C接著騎到乙地。這樣，A、B、C三人恰好同時到達(dá)乙地。已知甲地到乙地全長12千米，那么，從甲地到乙地共用了多少小時？分析：這道題人多車少，需要通過合理的安排搭配，才能使問題很好的解決。根據(jù)題目的要求，關(guān)鍵是要解決每人騎車和步行的路程。由于無論是騎車還是步行，三人的速度都相同，并且是同時到達(dá)，因此每人步行的路程一定相等

11、，同樣每人騎車的路程也相等。我們將全程看成1份，由于三人騎車和步行共行了3份的路程，其中三人騎車共行了1份的路程，所以，三人步行共行了2份的路程。那么每人行了全程的，由此，問題的解決就比較簡單了。解答：將全程看成1份，由于三人騎車和步行共行了3份的路程，其中三人騎車共行了1份的路程，所以，三人步行共行了2份的路程。那么每人行了全程的，這樣步行的路程為：12=8（千米）；騎車的路程為：128=4（千米）。所以，所用的時間為：42085=（時）。說明：把握騎車與步行的關(guān)系，是這道題研究的關(guān)鍵。由于合理地安排了騎車與步行的路程，使問題很巧妙的得到了解決。閱讀材料三余三國時期，有人就一段文章該怎樣理解

12、去請教學(xué)者董遇，董遇不肯直接解答，他說“讀書百遍，其意自現(xiàn)”。意思是要認(rèn)真的多讀幾遍，書中的道理自然就明白了。那人說：“我沒有那么多時間啊”。董遇說：“用三余時間好了”。那人又問：“什么是三余時間”。董遇答：“冬天是年之余，夜晚是日之余，陰雨是時之余?！笨梢?，要獲得豐富的知識，就應(yīng)該擠時間刻苦攻讀。練習(xí)題1甲、乙二人相距2000米，兩人同時從兩地相向而行。甲分鐘走60米，乙每分鐘走40米，甲帶著一只狗，同甲一起出發(fā)，狗每分鐘走100米，碰到乙時狗立即調(diào)頭往甲的方向走，碰到甲時又立即調(diào)頭向乙的方向走，如此繼續(xù)往返，當(dāng)甲和乙相遇時，這只狗一共走了多少米？分析：由于甲、乙二人在做相向運(yùn)動的同時，狗在

13、不停的運(yùn)動，因此，甲、乙二人的相遇時間就是狗運(yùn)動的時間，由此，可求出狗所走的路程。解答：甲、乙二人的相遇時間是：2000（4060）=20（分）所以，狗所走的路程是：10020=2000（米）2甲用45秒可繞一環(huán)行跑道跑一圈，乙與甲同時從同地反向跑，每隔15秒，與甲相遇一次，乙跑完一圈用多少秒？分析：由于乙與甲同時從同地反向跑，甲用45秒可繞環(huán)行跑道跑一圈，15秒相遇時，二人共同跑完一圈。乙15秒所跑的路程就相當(dāng)于甲4515=30（秒）所跑的路程，因此，二人的速度關(guān)系就比較容易確定了。解答：由于同一段路程所用時間越少，速度越快，因此，乙的速度是甲的速度的：（4515）15=2（倍），由此，可以

14、判斷出乙跑一圈所用的時間是甲的一半。所以，乙跑完一圈用：452=22.5（秒）。說明：合理的轉(zhuǎn)化問題，抓住甲、乙運(yùn)動中的關(guān)系，是這道題目的“突破口”。3甲村、乙村相距6千米，小華和小明分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后馬上返回）。在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇，小明到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇。小華和小明的速度各是多少？分析：因?yàn)?，兩人第一次相遇時，共同走了1個全程，到第二次相遇時共同走了3個全程，由于第一次相遇用40分鐘，因此不難求出兩人第二次相遇所需的時間，從而進(jìn)一步可以求出小華所走的路程，再解決兩人的速度就不困難了。解答：因?yàn)榈谝淮蜗嘤鲇?0

15、分鐘，因此，從出發(fā)到第二次相遇所需的時間是：40360=2（小時），又因?yàn)樵陔x甲村2千米的地方兩人第二次相遇，這時小華共走了：622=10（千米），小明共走了62=8（千米），因此，小華的速度是：102=5（千米/時）；小明的速度是；82=4（千米/時）。說明：從第一次相遇到第二次相遇二人共走了2個全程，用了2個相遇時間是這道題解題的關(guān)鍵。14一個圓的周長為1.44米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時出發(fā)，沿圓周相向爬行。分鐘后它們都調(diào)頭而行，再過3分鐘，它們又調(diào)頭爬行，依次按照1、3、5、7、（連續(xù)奇數(shù)）分鐘數(shù)調(diào)頭爬行。這兩只螞蟻每分鐘分別爬5.5厘米和3.5厘米，那么經(jīng)過多長的時間它們初次相遇

16、？分析：因?yàn)閳A的半周長是：1.442=0.72（米）=72（厘米）。如果不考慮往返的情況，兩只螞蟻所需的相遇時間是：72（5.53.5）=8（分）。然后再考慮往返的情況，如下表：經(jīng)過時間1357911131516（分）向上半圓爬行的時間向下半圓爬行122212222的時間從表中不難看出，第15分鐘后，兩只螞蟻向下半圓爬行剛好都需要8分鐘。由此，即可求出初次相遇所需的時間。解答：因?yàn)閳A的半周長是：1.442=0.72（米）=72（厘米），如果不考慮往返的情況，兩只螞蟻所需的相遇時間是：72（5.53.5）=8（分）。根據(jù)表格分析，它們初次相遇的時間是：1+3+5+7+9+11+13+15=64（

17、分）。說明：利用列表法進(jìn)行分析，也是解決行程問題常用的手段。5繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時出發(fā)反向而行。小王以每小時4千米的速度每走1小時后休息5分鐘，小張以每小時6千米的速度每走50分鐘后休息10分鐘。兩人出發(fā)后經(jīng)過多長時間第一次相遇？分析：根據(jù)題意，可以發(fā)現(xiàn)，每1小時5分，小王走4千米，休息5分鐘，每1小時小張走6=5（千米），休息10分鐘，而湖一周的長度是24千米，很容易估算出兩人相遇的時間應(yīng)該在2個多小時。這樣在兩輪休息后不用休息兩人就可以相遇。因此只要求出兩輪休息后到相遇所用的時間，就可以使問題得以解決。解答：到第二輪休息時，也就是2小時10分，小王共走了42=8

18、（千米），而小張走了52+6=11（千米）。這時兩人還相距24（811）=5（千米）。由于從此時到相遇已經(jīng)不需要休息，因此，共同走完這5千米兩人共需的時間是：5（46）=0.5（時）=30（分）。所以，他們第一次相遇共需2小時10分30分=2小時40分。說明：限定所用時間在2個多小時是這道題研究的“突破口”。并且，在解題過程中要注意小張1小時中只走了50分鐘，因此1小時中他只走了5千米，而不是6千米。6一個圓周長70厘米，甲、乙兩只爬蟲從同一地點(diǎn)，同時出發(fā)同向爬行，甲以每秒4厘米的速度不停的爬行，乙爬行了15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在離出發(fā)點(diǎn)30厘米處與甲相遇，問爬蟲乙原的速度

19、是多少？分析：根據(jù)題意，甲共行了7030=40（厘米），所需的時間是404=10（秒）。在10秒內(nèi)乙按原速爬了15厘米，按2倍的速度爬行了15+30=45（厘米），因此，不難求出乙原有的速度。解答：因?yàn)椋坠残辛?030=40（厘米），所需的時間是404=10（秒）。10秒內(nèi)乙爬行：15+30=45（厘米），假設(shè)10秒乙全是按原速爬行，可爬行：15+452=37.5（厘米），所以，乙原有的速度是：37.510=3.75（厘米/秒）。7甲、乙兩人從相距200米的兩個地方同時相向而行，不停留的往返于兩地之間，如果甲每分鐘行65米，乙每分鐘行70米，當(dāng)兩人第一次回到各自的出發(fā)地點(diǎn)時，甲行了多少米？分

20、析：根據(jù)甲每分鐘行65米，乙每分鐘行70米，可以判斷出兩人速度間的關(guān)系，同時因?yàn)閮扇诉\(yùn)動所用的時間相同，因此兩人所行路程的關(guān)系與速度的關(guān)系完全相同。由此即可推出甲所行的路程。解答：因?yàn)椋?570=，可以看出當(dāng)甲行了13份的路程時，乙就行了14份的路程，因此當(dāng)甲走了13個全程時，乙就走了14個全程。當(dāng)甲走了132=26（個）全程時，乙同時走了142=28（個）全程。兩人才各自回到出發(fā)的地點(diǎn)，所以，甲走了20026=5200（米）。說明：值得注意的是，當(dāng)甲走了13個全程，乙走了14個全程時，甲并沒有回到出發(fā)的地點(diǎn)，要想回到出發(fā)地，全程的個數(shù)必須是偶數(shù)個。8甲、乙兩車分別從A、B兩地同時相向而行，6

21、小時后相遇在C點(diǎn)，如果甲車的速度不變，乙車每小時多行5千米，且兩車還是從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)D距點(diǎn)C12千米，如果乙車的速度不變，甲車每小時多行5千米，則相遇地點(diǎn)E距點(diǎn)C16千米。甲車原每小時行多少千米？分析：題中“如果甲車的速度不變，乙車每小時多行5千米”與“如果乙車的速度不變，甲車每小時多行5千米”，說明兩次改速后兩車的速度和相同，因此，改變速度后，從出發(fā)到相遇所需要的時間相同。解答：如圖，兩次改變速度后，相遇地點(diǎn)相距1612=28（千米），所以從出發(fā)到兩車相遇的時間為：285=5.6（時）根據(jù)甲車的速度不變，6小時行到C點(diǎn)，而5.6小時只能行到點(diǎn)D，相差12千米，所以甲車原速為：12（65.6）=30（千米）。說明：在改速后“速度和”相同，抓住這一特點(diǎn)，就能迅速簡便的達(dá)到解題的目的，這就是我們在分析問題中常提到的“變中抓不變”的思想。9甲、乙兩個班的學(xué)生同時從學(xué)校出發(fā)去距學(xué)校24千米的某公園。學(xué)生的步行速度是每小時5千米。學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時35千米，這輛汽車恰好能坐一個班的學(xué)生。問：兩個班的學(xué)生在最短的時間內(nèi)同時到達(dá)公園用多少時間？（上下車的時間忽略不計(jì)）分析：要想使兩個班的同學(xué)在最短時間同時