計(jì)量理論課課件disizhang

1、第4章 非線性模型的線性化 4.1 變量間的非線性關(guān)系4.2 線性化方法 4.3 不可線性化非線性模型的線性化估計(jì)方法4.1變量間的非線性關(guān)系 4.1.1 線性模型的含義 4.1.2 非線性模型的含義4.1.1 線性模型的含義（1）變量的線性（2）參數(shù)的線性4.1.2 非線性模型的含義（1）變量的非線性（2）參數(shù)的非線性5.1.2 非線性模型的類型第一種：與不存在線性關(guān)系，但與未知參數(shù)存在線性關(guān)系。例如：4.1.2 非線性模型的含義第二種：與解釋變量不存在線性關(guān)系，與 未知參數(shù)也不存在線性關(guān)系。例如：4.1.2 非線性模型的含義第三種：與不存在線性關(guān)系，與未知參數(shù)也不存在線性關(guān)系，而且也不能通

2、過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q將其化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型。4.2 線性化方法4.2.1 對(duì)數(shù)線性模型4.2.2 半對(duì)數(shù)模型 4.2.3 雙曲函數(shù)模型4.2.4 多項(xiàng)式回歸模型 4.2.5 S型曲線模型4.2.1 對(duì)數(shù)線性模型考察：Yi=AXiB2在這個(gè)模型中，變量Xi是非線性的，但可通過(guò)變換表示成另一種形式。兩邊取自然對(duì)數(shù)：Yi=A+B2Xi令A(yù)=B1則：Yi=B1+B2Xi4.2.1 對(duì)數(shù)線性模型為了估計(jì)，可將模型寫(xiě)為：Yi=B1+B2Xi+ui稱為雙對(duì)數(shù)模型（因?yàn)閮勺兞慷家詫?duì)數(shù)形式出現(xiàn)），或?qū)?shù)線性模型現(xiàn)令Y*i=Yi， X*i =Xi 則上式可寫(xiě)為： Y*i =B1+B2 X*i +ui4.2.1 對(duì)數(shù)線

3、性模型如果它滿足古典線性回歸模型的基本假定，則很容易用普通最小二乘法來(lái)估計(jì)它，并且得到的估計(jì)量是最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)量。三變量對(duì)數(shù)模型表示如下：Yi=B1+B2X2i+B3X3i+ui在這個(gè)模型中，偏斜率系數(shù)B1 、 B2又稱為彈性系數(shù)。即：B2是Y對(duì)X2的彈性。（在X3為常量時(shí)，X2每變動(dòng)1%，Y變化的百分比，由于此時(shí)X3為常量，所以我們稱此彈性為偏彈性。類似的，B3是Y對(duì)X3的彈性。）4.2.1 對(duì)數(shù)線性模型雙對(duì)數(shù)模型應(yīng)用非常廣泛，其原因在于，它有一個(gè)特性：斜率B2度量了Y對(duì)X的彈性，即給X一個(gè)很小的變動(dòng)所引起的Y的變動(dòng)的百分比。定義E=Y的變動(dòng)%/X的變動(dòng)%因此，如果代表了商品的需求量，代表

4、了單位價(jià)格，則就是需求的價(jià)格彈性。注： 即是對(duì)的彈性。 4.2.1 對(duì)數(shù)線性模型需求量Y價(jià)格XYX4913.89180.00005523.80670.69314433.78421.09863943.66361.38633853.63761.60943763.61091.79183473.52641.94593383.49652.07943093.40122.197229103.36722.3026OLS回歸結(jié)果如下：lnYi=3.9617-0.2272lnXise=(0.0416)(0.0250)t=(95.233)(-9.0880) R2=0.9116從回歸結(jié)果可知，價(jià)格彈性約為-0.23，

5、表明提高1個(gè)百分點(diǎn)，平均而言，需求量將下降0.23個(gè)百分點(diǎn)。這里3.9617沒(méi)有什么具體的經(jīng)濟(jì)含義：R2=0.9166表示lnX解釋了變量lnY的91%的變動(dòng)。4.2.1 對(duì)數(shù)線性模型觀察復(fù)利計(jì)算公式：Yt=Y0(1+r)tY0本金 Yt第t期的Y值 日利率 t時(shí)期將上式變形，對(duì)等式兩邊取對(duì)數(shù)，得：lnYt=lnY0+tln(1+r)令lnY0=B1，B2=ln(1+r) 則lnYt=B1+B2t若引進(jìn)隨機(jī)誤差項(xiàng)，得到：lnYi=B1+B2 Xi +Ui半對(duì)數(shù)模型或?qū)?shù)線性模型4.2.2 半對(duì)數(shù)模型 4.2.2 半對(duì)數(shù)模型 現(xiàn)考慮下面模型：Yi=B1+B2LnXi+Ui對(duì)數(shù)線性模型例如： 雙曲

6、函數(shù)模型這個(gè)模型的一個(gè)顯著特征：X無(wú)限增大，1/X接近于0，Y將逐漸接近B1漸進(jìn)值或極值。4.2.3 雙曲函數(shù)模型4.2.3 雙曲函數(shù)模型YB10XB10B204.2.3 雙曲函數(shù)模型Y0B1XB10B20Yi=B0+ B1Xi+B2X2i+ BnXni+ Ui注意：在這類多項(xiàng)式函數(shù)中，等式右邊只有一個(gè)解釋變量，卻以不同的次冪出現(xiàn)，因而，可把它們看作多元回歸模型。4.2.4 多項(xiàng)式回歸模型 4.25 S型曲線模型移項(xiàng)變換： 令： 原式變?yōu)椋?4.3不可線性化的非線性模型的估計(jì)如果非線性回歸模型無(wú)論采取什么樣的變換都不可能實(shí)現(xiàn)線性化，則稱之為不可線性化的非線性回歸模型常用非線性估計(jì)方法有三種：第

7、一種方法是直接搜索法第二種方法是直接優(yōu)化化第三種方法迭代線性化法第一種方法：直接搜索法基本思路：將模型的每一個(gè)參數(shù)都選擇一組數(shù)值，代入殘差平方和達(dá)到最小的哪一組參數(shù)值組合，即作為未知參數(shù)的估計(jì)值。適用性評(píng)價(jià)：估計(jì)參數(shù)少可行；估計(jì)參數(shù)多不可行。第二種方法：直接優(yōu)化法基本思路：根據(jù)殘差平方和極小的必要條件，得出正規(guī)方程組，解正規(guī)方程組，得到未知參數(shù)的估計(jì)值。適用性評(píng)價(jià)：計(jì)算上難度大，很少采用。第三種方法：迭代線性化法假設(shè)非線性回歸模型的一般形式為： 估計(jì)式： 殘差平方和： 這種方法的基本思想是，首先通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，將模型的非線性函數(shù)在某一組初始參數(shù)估計(jì)值附近線性化，然后對(duì)這一線性化的函數(shù)應(yīng)用普通

8、最小二乘法，得到一組新的參數(shù)估計(jì)值。接著是使非線性函數(shù)在新的參數(shù)的估計(jì)值附近線性化，對(duì)新的線性化模型應(yīng)用普通最小二乘法，又得到一組新的參數(shù)估計(jì)值。不斷重復(fù)上述過(guò)程，直至參數(shù)估計(jì)值收斂為止。即第L+1組參數(shù)估計(jì)值與第L組參數(shù)估計(jì)值沒(méi)有明顯差別為止。 第三種方法：迭代線性化法不可線性化的非線性模型一般形式：Yi=f（Xi，）+u式中，f是非線性函數(shù)， Xi=（x1i，x2i，xki），=（1，2，k） u為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)第三種方法：迭代線性化法相對(duì)應(yīng)的殘差平方和：S（）=第三種方法：迭代線性化法迭代法的基本步驟：第一步，將上式在處 進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，取二階近似得：第三種方法：迭代線性化法第二步：由于最小二乘法的根本是求殘差最小，根據(jù)極值理論，對(duì)上式求關(guān)于 的導(dǎo)數(shù)，并令其為0，得：第三種方法：迭代線性化法移項(xiàng)得：第三種方法：迭代線性化法第三步：將上式得出的 作為第一次迭代估計(jì)值，重復(fù)上述步驟，知道收斂為止。注意一：在應(yīng)用迭代線性化時(shí)，迭代過(guò)程有可能不收斂。這與參數(shù)初始值的選擇有關(guān)，如果出現(xiàn)這種情況，就需要換一組參數(shù)初始值。第三種方法：迭代線性化法注意二：迭代