四川中考突破復(fù)習(xí)題型專(zhuān)項(xiàng)(十二)二次函數(shù)與幾何圖形

1、專(zhuān)項(xiàng)(十二)二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題類(lèi)型1探究圖形面積的數(shù)量關(guān)系及最值問(wèn)題1(2016安徽)如圖，二次函數(shù)yax2bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，4)與B(6，0)(1)求a，b的值；(2)點(diǎn)C是該二次函數(shù)圖象上A，B兩點(diǎn)之間的一動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)為x(2x6)寫(xiě)出四邊形OACB的面積S關(guān)于點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x的函數(shù)解析式，并求S的最大值解：(1)將A(2，4)與B(6，0)代入yax2bx.得eq blc(avs4alco1(4a2b4，,36a6b0.)解得eq blc(avs4alco1(af(1,2)，,b3.)(2)過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)，垂足為D(2，0)，連接CD，過(guò)點(diǎn)C作CEAD，CFx軸，垂足分別

2、為點(diǎn)E，F(xiàn).SOADeq f(1,2)ODADeq f(1,2)244，SACDeq f(1,2)ADCEeq f(1,2)4(x2)2x4，SBCDeq f(1,2)BDCFeq f(1,2)4(eq f(1,2)x23x)x26x，則SSOADSACDSBCD4(2x4)(x26x)x28x.S關(guān)于x的函數(shù)解析式為Sx28x(2x6)S(x4)216.當(dāng)x4時(shí)，四邊形OACB的面積S取最大值，最大值為16.2(2016雅安中學(xué)一診)如圖，已知拋物線(xiàn)yax2eq f(3,2)xc與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，并與直線(xiàn)yeq f(1,2)x2交于B，C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C是直線(xiàn)yeq f(1,2)x2與y

3、軸的交點(diǎn)，連接AC.(1)求拋物線(xiàn)解析式；(2)求證：ABC為直角三角形；(3)在拋物線(xiàn)CB段上存在點(diǎn)P使得以A，C，P，B為頂點(diǎn)的四邊形面積最大，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)以及此時(shí)以A，C，P，B為頂點(diǎn)的四邊形面積解：(1)直線(xiàn)yeq f(1,2)x2交x軸，y軸于B，C兩點(diǎn)，B(4，0)，C(0，2)yax2eq f(3,2)xc經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，eq blc(avs4alco1(16a6c0，,c2.)解得eq blc(avs4alco1(af(1,2)，,c2.)yeq f(1,2)x2eq f(3,2)x2.(2)令eq f(1,2)x2eq f(3,2)x20，解得x11，x24.OA1，OB4

4、.AB5.AC2OA2OC25，BC2OC2OB220，AB225.AC2BC2AB2.ABC為直角三角形(3)連接CD，BD，過(guò)點(diǎn)P作PEAB，垂足為點(diǎn)E，直線(xiàn)EP交線(xiàn)段BC于點(diǎn)D.設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為ykxb.將B(4，0)，C(0，2)代入，得eq blc(avs4alco1(b2，,4kb0.)解得eq blc(avs4alco1(kf(1,2)，,b2.)直線(xiàn)BC的解析式為yeq f(1,2)x2.設(shè)點(diǎn)D(a，eq f(1,2)a2)，則點(diǎn)P(a，eq f(1,2)a2eq f(3,2)a2)PDPEDEeq f(1,2)a2eq f(3,2)a2(eq f(1,2)a2)eq f(

5、1,2)a22a，當(dāng)a2時(shí)，PD有最大值，PD的最大值為2.S四邊形ACPBSACBSCBPeq f(1,2)ABOCeq f(1,2)OBDPeq f(1,2)52eq f(1,2)4DP52PD.當(dāng)PD最大時(shí)，四邊形ACPB的面積最大當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，3)時(shí)，四邊形ACPB的面積的最大值為5229.3(2015攀枝花)如圖，已知拋物線(xiàn)yx2bxc與x軸交于A(1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P，與直線(xiàn)BC相交于點(diǎn)M，連接PB.(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)在(1)中位于第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)D，使得BCD的面積最大？若存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)及B

6、CD面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在(1)中的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使得QMB與PMB的面積相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式，得eq blc(avs4alco1(1bc0，,93bc0.)解得eq blc(avs4alco1(b2，,c3.)拋物線(xiàn)解析式為yx22x3.(2)設(shè)D(t，t22t3)，過(guò)點(diǎn)D作DHx軸于點(diǎn)H，連接DC，DB.令x0，則y3，C(0，3)SBCDS梯形DCOHSBDHSBOCeq f(1,2)(t22t33)teq f(1,2)(3t)(t22t3)eq f(1,2)33eq f(3,2)t2e

7、q f(9,2)t.eq f(3,2)0，當(dāng)teq f(f(9,2),2（f(3,2)）)eq f(3,2)時(shí)，即點(diǎn)D坐標(biāo)為(eq f(3,2)，eq f(15,4)時(shí)，SBCD有最大值，且最大面積為eq f(27,8).(3)存在P(1，4)，過(guò)點(diǎn)P且與BC平行的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求Q點(diǎn)之一，直線(xiàn)BC解析式為為yx3，過(guò)點(diǎn)P且與BC平行的直線(xiàn)為yx5.由eq blc(avs4alco1(yx5，,yx22x3，)解得eq blc(avs4alco1(x2，,y3.)Q1(2，3)直線(xiàn)PM的解析式為x1，直線(xiàn)BC的解析式y(tǒng)x3，M(1，2)設(shè)PM與x軸交于點(diǎn)E，PMEM2，過(guò)點(diǎn)E且與BC

8、平行的直線(xiàn)為yx1.從而過(guò)點(diǎn)E且與BC平行的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)也為所求Q點(diǎn)之一聯(lián)立eq blc(avs4alco1(yx1，,yx22x3，)解得eq blc(avs4alco1(x1f(3r(17),2)，,y1f(1r(17),2)，)eq blc(avs4alco1(x2f(3r(17),2)，,y2f(1r(17),2).)Q2(eq f(3r(17),2)，eq f(1r(17),2)，Q3(eq f(3r(17),2)，eq f(1r(17),2)滿(mǎn)足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3)，(eq f(3r(17),2)，eq f(1r(17),2)或(eq f(3r(17),2)，eq f(

9、1r(17),2)類(lèi)型2探究線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系及最值問(wèn)題4(2016成都青羊區(qū)二診改編)已知拋物線(xiàn)yeq f(1,a)x2(eq f(2,a)1)x2(a0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)(1)若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)D(2，2)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)在(1)的條件下，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)E，使AECE最小，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)解：(1)拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)D(2，2)，eq f(1,a)4(eq f(2,a)1)222，解得a4.(2)點(diǎn)A，B是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連接BC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為使AECE最小的點(diǎn)a4，拋物線(xiàn)解析式為yeq f(1,4)x

10、2eq f(1,2)x2.令y0，則eq f(1,4)x2eq f(1,2)x20，解得x12，x24.令x0，則y2.A(2，0)，B(4，0)，C(0，2)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1.直線(xiàn)BC解析式為yeq f(1,2)x2.當(dāng)x1時(shí)，yeq f(3,2)，E(1，eq f(3,2)5(2015南充)已知拋物線(xiàn)yx2bxc與x軸交于點(diǎn)A(m2，0)和B(2m1，0)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，對(duì)稱(chēng)軸為l：x1.(1)求拋物線(xiàn)解析式；(2)直線(xiàn)ykx2(k0)與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1x2)，當(dāng)|x1x2|最小時(shí)，求拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)M和N的坐標(biāo)

11、；(3)首尾順次連接點(diǎn)O，B，P，C構(gòu)成多邊形的周長(zhǎng)為L(zhǎng).若線(xiàn)段OB在x軸上移動(dòng)，求L最小時(shí)點(diǎn)O，B移動(dòng)后的坐標(biāo)及L的最小值解：(1)由題意，得eq f(b,2（1）)1，b2.拋物線(xiàn)yx2bxc與x軸交于點(diǎn)A(m2，0)和B(2m1，0)，x2bxc0的解為m2和2m1.(m2)(2m1)b，(m2)(2m1)c.m1，c3.拋物線(xiàn)解析式為yx22x3.(2)聯(lián)立eq blc(avs4alco1(ykx2，,yx22x3)得x2(k2)x10.x1x2(k2)，x1x21，(x1x2)2(x1x2)24x1x2(k2)24.當(dāng)k2時(shí)，(x1x2)2的最小值為4，即|x1x2|的最小值為2.e

12、q blc(avs4alco1(x1x20，,x1x21.)解得x11，x21，則y10，y24.當(dāng)|x1x2|最小時(shí)，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為M(1，0)，N(1，4)(3)由(1)得O(0，0)，B(3，0)，P(1，4)，C(0，3)LOBBPPCCO，又線(xiàn)段OB平移過(guò)程中，OB，PC的長(zhǎng)度不變，要使L最小，只需BPCO最短如圖，平移線(xiàn)段OC到BC，四邊形OBCC是矩形C(3，3)作點(diǎn)P關(guān)于x軸(或OB)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P(1，4)，連接CP與x軸交于點(diǎn)B.設(shè)CP解析式為yaxn.eq blc(avs4alco1(an4，,3an3.)解得eq blc(avs4alco1(af(7,2)，,nf(1

13、5,2).)yeq f(7,2)xeq f(15,2).當(dāng)y0時(shí)，xeq f(15,7)，B(eq f(15,7)，0)又3eq f(15,7)eq f(6,7)，故點(diǎn)B向左平移eq f(6,7)個(gè)單位，平移到B.同時(shí)，點(diǎn)O向左平移eq f(6,7)個(gè)單位，平移到O(eq f(6,7)，0)，即線(xiàn)段OB向左平移eq f(6,7)個(gè)單位時(shí)，周長(zhǎng)L最短此時(shí)，線(xiàn)段BP，CO之和最短為PCeq r(7222)eq r(53)，OBOB3，CPeq r(2).當(dāng)線(xiàn)段OB向左平移eq f(6,7)個(gè)單位，即點(diǎn)O平移到O(eq f(6,7)，0)，點(diǎn)B平移到B(eq f(15,7)，0)時(shí)，周長(zhǎng)L最短為eq

14、 r(53)eq r(2)3.類(lèi)型3探究特殊三角形的存在性問(wèn)題6如圖，已知拋物線(xiàn)E1：yx2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，m)，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)E2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2，2)，點(diǎn)A，B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B.(1)求m的值；(2)求拋物線(xiàn)E2的函數(shù)解析式；(3)在第一象限內(nèi)，拋物線(xiàn)E1上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q，B，B為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)拋物線(xiàn)E1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，m)，m121.(2)拋物線(xiàn)E2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，可設(shè)它對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為yax2(a0)，又點(diǎn)B(2，2)在拋物線(xiàn)E2上，2a22.解得aeq f(1,2).拋物線(xiàn)E2的函數(shù)解析式為yeq

15、 f(1,2)x2.(3)假設(shè)在拋物線(xiàn)E1上存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q，B，B為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作Q1BBB交拋物線(xiàn)E1于點(diǎn)Q1，則點(diǎn)Q1與B的橫坐標(biāo)相等且為2.將x2代入yx2，得y4.點(diǎn)Q1(2，4)；當(dāng)點(diǎn)Q2為直角頂點(diǎn)時(shí)，則有Q2B2Q2B2BB2，過(guò)點(diǎn)Q2作Q2GBB于點(diǎn)G.設(shè)點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為(t，t2)(t0)，則有(t2)2(t22)2(2t)2(t22)242，整理得t43t20.t0，t230，解得t1eq r(3)，t2eq r(3)(舍去)點(diǎn)Q2(eq r(3)，3)綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2，4)與(eq r(3)，3)7(2016雅

16、安中學(xué)二診)如圖，已知拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C(0，4)，與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點(diǎn)，其中x1，x2為方程x22x80的兩個(gè)根(1)求該拋物線(xiàn)的解析式；(2)點(diǎn)Q是線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QEAC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ，設(shè)Q(x，0)，CQE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及CQE的面積的最大值；(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，0)，問(wèn)：在直線(xiàn)AC上，是否存在點(diǎn)F，使得OMF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)解方程x22x80，得x14，x22.A(4，0)，B(2，0)設(shè)拋物線(xiàn)解析式為ya(x4)(x2)將C(0，4)代入，解得aeq f(1,

17、2).拋物線(xiàn)解析式為yeq f(1,2)x2x4.(2)由Q(x，0)，可得BQx2，AQ4x，過(guò)點(diǎn)E作EHAB于點(diǎn)H.EHCO.eq f(EH,CO)eq f(BE,BC).又QEAC，eq f(BE,BC)eq f(BQ,BA).eq f(EH,CO)eq f(BQ,BA).eq f(EH,4)eq f(x2,6)，即EHeq f(2,3)(x2)SCQESCBQSEBQeq f(1,2)(x2)4eq f(1,2)(x2)eq f(2,3)(x2)，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為yeq f(1,3)x2eq f(2,3)xeq f(8,3)eq f(1,3)(x1)23(2x4)CQE的面積的最

18、大值為3.(3)存在點(diǎn)F使得OMF是等腰三角形設(shè)AC的解析式為ykxb.直線(xiàn)AC過(guò)點(diǎn)A(4，0)和C(0，4)，eq blc(avs4alco1(4kb0，,b4.)解得eq blc(avs4alco1(k1，,b4.)直線(xiàn)AC的解析式為yx4.點(diǎn)F在AC上，設(shè)F(x，x4)，OFeq r(x2（x4）2)，MFeq r(（x2）2（x4）2)，OM2.若OMF是等腰三角形，則可能有三種情況：如圖1，當(dāng)OFFM時(shí)，F(xiàn)的橫坐標(biāo)應(yīng)為1，F(xiàn)(1，3)；當(dāng)OMOF2時(shí)，eq r(x2（x4）2)2，化簡(jiǎn)得x24x60.80這種情況不存在；如圖2，當(dāng)OMMF時(shí)，eq r(（x2）2（x4）2)4，化簡(jiǎn)得

19、x26x80，解得x12，x24(舍去)F(2，2)綜上所述，當(dāng)OMF是等腰三角形時(shí)，F(xiàn)(1，3)或(2，2)8(2016涼山模擬)如圖，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)且FB1.(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，A，E三點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式；(2)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)OAP的面積為2，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)Q，使AFQ是等腰直角三角形？若存在直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2，0)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是(1，2)設(shè)拋物線(xiàn)的解析式是yax2bxc，根據(jù)題意，得eq blc

20、(avs4alco1(c0，,4a2bc0，,abc2.)解得eq blc(avs4alco1(a2，,b4，,c0.)拋物線(xiàn)的解析式是y2x24x.(2)當(dāng)OAP的面積是2時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是2或2.當(dāng)2x24x2時(shí)，解得x1，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1，2)；當(dāng)2x24x2時(shí)，解得x1eq r(2)，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1eq r(2)，2)或(1eq r(2)，2)綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)，(1eq r(2)，2)或(1eq r(2)，2)(3)AFABBF213，OA2.則點(diǎn)A是直角頂點(diǎn)時(shí)，Q不可能在拋物線(xiàn)上；當(dāng)點(diǎn)F是直角頂點(diǎn)時(shí)，Q不可能在拋物線(xiàn)上；當(dāng)點(diǎn)Q是直角頂點(diǎn)時(shí)，Q到AF的距離是eq f(

21、1,2)AFeq f(3,2)，若點(diǎn)Q存在，則Q的坐標(biāo)是(eq f(1,2)，eq f(3,2)將Q(eq f(1,2)，eq f(3,2)代入拋物線(xiàn)解析式成立拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)Q(eq f(1,2)，eq f(3,2)使AFQ是等腰直角三角形類(lèi)型4探究特殊四邊形的存在性問(wèn)題9(2016雅安中學(xué)三診)如圖，已知二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過(guò)A(2，1)，B(0，7)兩點(diǎn)(1)求該拋物線(xiàn)的解析式及對(duì)稱(chēng)軸；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，y0?(3)在x軸上方作平行于x軸的直線(xiàn)l，與拋物線(xiàn)交于C，D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè))，過(guò)點(diǎn)C，D作x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)F，E.當(dāng)矩形CDEF為正方形時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)解：(

22、1)把A(2，1)，B(0，7)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入yx2bxc，得eq blc(avs4alco1(42bc1，,c7.)解得eq blc(avs4alco1(b2，,c7.)該拋物線(xiàn)的解析式為yx22x7.yx22x7(x1)28，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1.(2)當(dāng)y0時(shí)，x22x70，解得x12eq r(2)，由圖象知12eq r(2)x12eq r(2)時(shí)，y0.(3)設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，n)，矩形CDEF為正方形，nm22m7，即CFm22m7.C，D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，C，D兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x1對(duì)稱(chēng)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為p，則1mp1，p2m，CD(2m)m22m.CDCF，22mm22m7.解得m11，

23、m25.點(diǎn)C在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，m只能取1.當(dāng)m1時(shí)，nm22m7(1)22(1)74.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，4)10(2016德陽(yáng)旌陽(yáng)區(qū)一模)如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA4，OC3，若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在BC邊上，且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)O，A兩點(diǎn)，直線(xiàn)AC交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D.(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)N在x軸上，是否存在以A，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)設(shè)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為E，根據(jù)題意OA4，OC3，得E(2，3)設(shè)拋物線(xiàn)解析式為ya(x2)23.將A(4

24、，0)代入，得04a3，解得aeq f(3,4).拋物線(xiàn)解析式為yeq f(3,4)(x2)23eq f(3,4)x23x.(2)設(shè)直線(xiàn)AC解析式為ykxb(k0)將A(4，0)與C(0，3)代入，得eq blc(avs4alco1(4kb0，,b3.)解得eq blc(avs4alco1(kf(3,4)，,b3.)直線(xiàn)AC解析式為yeq f(3,4)x3.與拋物線(xiàn)解析式聯(lián)立，得eq blc(avs4alco1(yf(3,4)x3，,yf(3,4)x23x.)解得eq blc(avs4alco1(x11，,y1f(9,4)，)eq blc(avs4alco1(x24，,y20.)點(diǎn)D坐標(biāo)為(1

25、，eq f(9,4)(3)假設(shè)存在以A，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分兩種情況考慮：當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，如圖1所示四邊形ADMN為平行四邊形，DMAN，DMAN，由對(duì)稱(chēng)性得到M(3，eq f(9,4)，即DM2，故AN2，N1(2，0)，N2(6，0)；當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，如圖2所示過(guò)點(diǎn)D作DQx軸于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)M作MPx軸于點(diǎn)P，可得ADQNMP，MPDQeq f(9,4)，NPAQ3，將yMeq f(9,4)代入拋物線(xiàn)解析式得eq f(9,4)eq f(3,4)x23x，解得xM2eq r(7)或xM2eq r(7)，xNxM3eq r(7)1或eq r(7)1，N3(eq r(7

26、)1，0)，N4(eq r(7)1，0)假設(shè)成立綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)N有4個(gè)：N1(2，0)，N2(6，0)，N3(eq r(7)1，0)，N4(eq r(7)1，0)11(2016成都)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)ya(x1)23與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C(0，eq f(8,3)，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)H.過(guò)點(diǎn)H的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在y軸右側(cè)(1)求a的值及點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)當(dāng)直線(xiàn)l將四邊形ABCD分為面積比為37的兩部分時(shí)，求直線(xiàn)l的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)點(diǎn)P位于第二象限時(shí)，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，則以DP為對(duì)角線(xiàn)的四

27、邊形DMPN能否成為菱形？若能，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)拋物線(xiàn)ya(x1)23與y軸交于點(diǎn)C(0，eq f(8,3)a3eq f(8,3)，解得aeq f(1,3).yeq f(1,3)(x1)23.當(dāng)y0時(shí)，有eq f(1,3)(x1)230，x12，x24.A(4，0)，B(2，0)(2)A(4，0)，B(2，0)，C(0，eq f(8,3)，D(1，3)，S四邊形ABCDSAHDS梯形OCDHSBOCeq f(1,2)33eq f(1,2)(eq f(8,3)3)1eq f(1,2)2eq f(8,3)10.從面積分析知，直線(xiàn)l只能與邊AD或BC相交，所以有兩種情況：

28、當(dāng)直線(xiàn)l與邊AD相交于點(diǎn)M1時(shí)，則SAHM1eq f(3,10)103，eq f(1,2)3(yM1)3.yM12，點(diǎn)M1(2，2)，過(guò)點(diǎn)H(1，0)和M1(2，2)的直線(xiàn)l的解析式為y2x2；當(dāng)直線(xiàn)l與邊BC相交于點(diǎn)M2時(shí)，同理可得點(diǎn)M2(eq f(1,2)，2)，過(guò)點(diǎn)H(1，0)和M2(eq f(1,2)，2)的直線(xiàn)l的解析式為yeq f(4,3)xeq f(4,3).綜上：直線(xiàn)l的函數(shù)解析式為y2x2或yeq f(4,3)xeq f(4,3).(3)假設(shè)以DP為對(duì)角線(xiàn)的四邊形DMPN能成為菱形設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)且過(guò)點(diǎn)H(1，0)的直線(xiàn)PQ的解析式為ykxb.kb0，yk

29、xk.聯(lián)立eq blc(avs4alco1(ykxk，,yf(1,3)x2f(2,3)xf(8,3)，)得eq f(1,3)x2(eq f(2,3)k)xeq f(8,3)k0.x1x223k，y1y2kx1kkx2k3k2.點(diǎn)M是線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)M(eq f(3,2)k1，eq f(3,2)k2)假設(shè)存在這樣的N點(diǎn)如圖所示，直線(xiàn)DNPQ.設(shè)直線(xiàn)DN的解析式為ykxk3.聯(lián)立eq blc(avs4alco1(ykxk3，,yf(1,3)x2f(2,3)xf(8,3).)解得x11，x23k1.N(3k1，3k23)四邊形DMPN是菱形，DNDM.(3k)2(3k2)2(eq

30、f(3k,2)2(eq f(3,2)k23)2.整理得3k4k240，(k21)(3k24)0.k210，3k240.解得keq f(2r(3),3).k0，keq f(2r(3),3).P(3eq r(3)1，6)，M(eq r(3)1，2)，N(2eq r(3)1，1)PMDN2eq r(7).PMDN，四邊形DMPN為菱形假設(shè)成立，即以DP為對(duì)角線(xiàn)的四邊形DMPN能成為菱形，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2eq r(3)1，1)類(lèi)型5探究三角形相似問(wèn)題12已知直線(xiàn)yeq f(1,2)x1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，使點(diǎn)A落在點(diǎn)C，點(diǎn)B落在點(diǎn)D，拋物線(xiàn)yax2bxc過(guò)

31、點(diǎn)A，D，C，其對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)P，(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)求POC的正切值；(3)若點(diǎn)M在x軸上，且ABM與APD相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)解：(1)當(dāng)y0時(shí)，eq f(1,2)x10，解得x2.當(dāng)x0時(shí)，y1，A(2，0)，B(0，1)AOB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到COD，C(0，2)，D(1，0)拋物線(xiàn)yax2bxc過(guò)點(diǎn)A，D，C，eq blc(avs4alco1(4a2bc0，,abc0，,c2.)解得eq blc(avs4alco1(a1，,b1，,c2.)拋物線(xiàn)解析式為yx2x2.(2)根據(jù)(1)，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為xeq f(b,2a)eq f(1,2（1）)eq f(1,2)，eq

32、f(1,2)(eq f(1,2)1eq f(3,4)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(eq f(1,2)，eq f(3,4)過(guò)點(diǎn)P作PQx軸于點(diǎn)Q，則PQy軸，POCOPQ.tanOPQeq f(f(1,2),f(3,4)eq f(2,3)，tanPOCeq f(2,3).(3)點(diǎn)M在x軸上，且ABM與APD相似，點(diǎn)M必在點(diǎn)A的右側(cè)，APeq r(2（f(1,2)）2（0f(3,4)）)2eq f(3r(5),4)，ABeq r(2212)eq r(5)，AD1(2)123.AA，AP和AB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，eq f(AP,AB)eq f(AD,AM)，即eq f(f(3r(5),4),r(5)eq f(3,AM)，

33、解得AM4.設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(x，0)，則x(2)4，解得x2.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，0)；AP和AM是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，eq f(AP,AM)eq f(AD,AB)，即eq f(f(3r(5),4),AM)eq f(3,r(5)，解得AMeq f(5,4).設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(x，0)，則x(2)eq f(5,4)，解得xeq f(3,4).點(diǎn)M的坐標(biāo)為(eq f(3,4)，0)綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M(2，0)或(eq f(3,4)，0)時(shí)，ABM與APD相似13(2016大邑縣一診改編)如圖，二次函數(shù)yax24axeq f(3,4)的圖象c交x軸于A，B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)ykx3k(keq f(1,4

34、)交c于另一點(diǎn)C(x1，y1)，交y軸于點(diǎn)M.(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求二次函數(shù)的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)B作BDAC交AC于點(diǎn)D，若M(0，3eq r(3)且Q點(diǎn)是直線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)求出當(dāng)DBQ與AOM相似時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)解：(1)設(shè)y0，即kx3k0，解得x3.A(3，0)A(3，0)在yax24axeq f(3,4)的圖象上，09a12aeq f(3,4)，解得aeq f(1,4).該二次函數(shù)的解析式為yeq f(1,4)x2xeq f(3,4).(2)在RtAOM中，OA3，OM3eq r(3)tanOAMeq f(OM,AO)eq r(3)，OAM60.如圖1中，當(dāng)Q在DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，BQD

35、30，BQDAOM，在RtABD中，BDBAsin60eq r(3).在RtBQD中，BDBQsin30eq r(3)，解得BQ2eq r(3).過(guò)點(diǎn)Q作QQx軸于點(diǎn)Q.BAD60BQAQBA，BQD30，QBQ30.在RtBQQ中，QBQ30，BQ2eq r(3)，QQeq r(3)，BQ3.Q(4，eq r(3)；當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，BQD60，DQBOAM，此時(shí)點(diǎn)Q(3，0)；如圖2中，當(dāng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段DC上時(shí)，BQD60，DQBOAM，在AQB中，BAQAQB60，得BQAB2.Q(2，eq r(3)；如圖3中，當(dāng)BQD30時(shí)，DQBOMA，此時(shí)BQOM.設(shè)Q(1，y)在直線(xiàn)yeq r(3

36、)x3eq r(3)上，解得y2eq r(3).Q(1，2eq r(3)綜上所述，Q(4，eq r(3)或Q(3，0)或Q(2，eq r(3)或Q(1，2eq r(3)14(2016攀枝花)如圖，拋物線(xiàn)yx2bxc與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)的三角形相似？若存在，求出直線(xiàn)m的解析式，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)把B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式，得eq blc(avs4alco1(93bc0，,c3.)解得eq blc(avs4alco1(b2，,c3.)拋物線(xiàn)解析式為yx22x3.(2)連接BC，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)，交BC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)H.在yx

37、22x3中，令y0，則0 x22x3，解得x1或x3.A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)AB3(1)4，且OC3.SABCeq f(1,2)ABOCeq f(1,2)436.B(3，0)，C(0，3)，直線(xiàn)BC解析式為yx3.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，x22x3)，則M點(diǎn)坐標(biāo)為(x，x3)P點(diǎn)在第四象限，PMx3(x22x3)x23x.SPBCeq f(1,2)PMOHeq f(1,2)PMHBeq f(1,2)PM(OHHB)eq f(1,2)PMOBeq f(3,2)PM.當(dāng)PM有最大值時(shí)，PBC的面積最大，則四邊形ABPC的面積最大PMx23x(xeq f(3,2)2eq f(9,4)，當(dāng)xeq f(3,2)

38、時(shí)，PMmaxeq f(9,4)，則SPBCeq f(3,2)eq f(9,4)eq f(27,8).此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(eq f(3,2)，eq f(15,4)，S四邊形ABPCSABCSPBC6eq f(27,8)eq f(75,8).即當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(eq f(3,2)，eq f(15,4)時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，最大面積為eq f(75,8).(3)設(shè)直線(xiàn)m交y軸于點(diǎn)N，交直線(xiàn)l于點(diǎn)G，則AGPGNCGCN.當(dāng)AGB和NGC相似時(shí)，必有AGBCGB.又AGBCGB180，AGBCGB90.ACOOBN.在AOC和NOB中，eq blc(avs4alco1(AOCNOB，,OCOB，,A

39、CONBO，)AOCNOB(ASA)ONOA1.N點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)設(shè)直線(xiàn)m解析式為ykxd.把B，N兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得eq blc(avs4alco1(3kd0，,d1.)解得eq blc(avs4alco1(kf(1,3)，,d1.)直線(xiàn)m解析式為yeq f(1,3)x1.故存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)m，其解析式為yeq f(1,3)x1.拓展類(lèi)型其他問(wèn)題1(2016巴中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)ymx24mx5m(m0)與x軸交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)yeq f(r(3),3)x相交于點(diǎn)E，與x軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)P在直線(xiàn)yeq f(r(3),3)x上(不與原點(diǎn)重

40、合)，連接PD，過(guò)點(diǎn)P作PFPD交y軸于點(diǎn)F，連接DF.(1)如圖所示，若拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6eq r(3)，求拋物線(xiàn)的解析式；(2)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖所示，小紅在探究點(diǎn)P的位置時(shí)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，PDF的大小為定值，進(jìn)而猜想：對(duì)于直線(xiàn)yeq f(r(3),3)x上任意一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)重合)，PDF的大小為定值請(qǐng)你判斷該猜想是否正確，并說(shuō)明理由解：(1)ymx24mx5m，ym(x24x5)m(x5)(x1)令y0，則m(x5)(x1)0.m0，x5或x1.A(5，0)，B(1，0)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x2.拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，6eq r(3)，9m6eq r(3)，即m

41、eq f(2r(3),3).拋物線(xiàn)的解析式為yeq f(2r(3),3)x2eq f(8r(3),3)xeq f(10r(3),3).(2)由(1)可知：A(5，0)，B(1，0)(3)如圖所示，OP的解析式為yeq f(r(3),3)x，AOP30.PBF60.PDPF，F(xiàn)OOD，DPFFOD90.DPFFOD180.點(diǎn)O，D，P，F(xiàn)共圓PDFPBF.PDF60.2如圖，拋物線(xiàn)yax2bxc的頂點(diǎn)為D，與y軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)CD的解析式為yeq r(3)x2eq r(3).(1)求b，c的值；(2)過(guò)點(diǎn)C作CEx軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E，直線(xiàn)DE交x軸于點(diǎn)F，且F(4，0)，求拋物線(xiàn)的解析式；(3)在

42、(2)條件下，拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)M，使得CDMCEA？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)直線(xiàn)CD的解析式為yeq r(3)x2eq r(3)，C(0，2eq r(3)c2eq r(3).設(shè)直線(xiàn)CD交x軸于點(diǎn)A，A(2，0)eq f(OA,OC)eq f(2,2r(3)eq f(r(3),3).OCA30，過(guò)點(diǎn)D作DMy軸于點(diǎn)M，DCM30，CMeq r(3)DM，設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為h，則CMeq r(3)h，D(h，2eq r(3)eq r(3)h)ya(xh)22eq r(3)eq r(3)h.C(0，2eq r(3)，2eq r(3)ah22eq r(3)eq r(

43、3)h.解得h10(舍)，h2eq f(r(3),a).ya(xeq f(r(3),a)22eq r(3)eq r(3)hax22eq r(3)xeq f(3,a)2eq r(3)eq r(3)h.b2eq r(3).(2)作拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)B(如圖)，DCM30，CDB30，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可得DCE為等邊三角形CEx軸，DAF為等邊三角形點(diǎn)B為AF中點(diǎn)A(2，0)，F(xiàn)(4，0)，B(1，0)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1，eq f(b,2a)1.eq f(2r(3),2a)1.aeq r(3).D(1，3eq r(3)yeq r(3)(x1)23eq r(3)eq r(3)x22eq r(3)x2eq r(3).(3)存在過(guò)點(diǎn)C作CM