2022年黑龍江省哈爾濱市第十九高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1下邊程序框圖的算法源于我國古代的中國剩余定理.把運(yùn)算“正整數(shù)除以正整數(shù)所得的余數(shù)是”記為“”，例如.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于（ ）A16B17C18D192已知函數(shù)滿足：當(dāng)時，且對

2、任意，都有，則（ ）A0B1C-1D3要排出高三某班一天中，語文、數(shù)學(xué)、英語各節(jié)，自習(xí)課節(jié)的功課表，其中上午節(jié)，下午節(jié)，若要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰（注意：上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法種數(shù)是（ ）ABCD4命題“”的否定為（ ）ABCD5已知全集，集合，則（ ）ABCD6要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）A向右平移個單位B向右平移個單位C向左平移個單位D向左平移個單位7已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足（且），若，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）ABCD8在三棱錐中，且分別是棱，的中點(diǎn)，下面四個結(jié)論：；平面；三棱錐的體積的最大值為；與一定不垂直.其中所有正確命題

3、的序號是（ ）ABCD9復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（ ）ABCD10執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（ ）ABCD11若，則下列關(guān)系式正確的個數(shù)是（ ） A1B2C3D412已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點(diǎn)，則（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13兩光滑的曲線相切，那么它們在公共點(diǎn)處的切線方向相同如圖所示，一列圓 (an0，rn0，n=1，2)逐個外切，且均與曲線y=x2相切，若r1=1，則a1=_，rn=_14如圖，在平行四邊形中，,則的值為_.15某校為了解家長對學(xué)校食堂的滿意情況，分別從高一、高二年級隨機(jī)抽取了20位家長的滿意度評分，其頻數(shù)分布表如下：滿意度評分分組

4、合計(jì)高一1366420高二2655220根據(jù)評分，將家長的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分評分70分70評分90評分90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意假設(shè)兩個年級家長的評價結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.現(xiàn)從高一、高二年級各隨機(jī)抽取1名家長，記事件：“高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級”，則事件發(fā)生的概率為_.16如圖所示，在正三棱柱中，是的中點(diǎn)，, 則異面直線與所成的角為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，為的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn).（1）證明：面面；（2）當(dāng)為中點(diǎn)

5、時，求二面角余弦值.18（12分）在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫(yī)院掛號再到公共繳費(fèi)，日常生活中幾乎全部領(lǐng)域都支持手機(jī)支付.出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加。中國人民大學(xué)和法國調(diào)查公司益普索合作，調(diào)查了騰訊服務(wù)的6000名用戶，從中隨機(jī)抽取了60名，統(tǒng)計(jì)他們出門隨身攜帶現(xiàn)金（單位：元）如莖葉圖如示，規(guī)定：隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下（不含100元）的為“手機(jī)支付族”，其他為“非手機(jī)支付族”. （1）根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān)？（2）用樣本估計(jì)總體，若從騰訊服務(wù)的用戶中隨機(jī)抽取3位女性用戶，這3位用戶中“手機(jī)支付族”的人數(shù)為，求隨機(jī)

6、變量的期望和方差；（3）某商場為了推廣手機(jī)支付，特推出兩種優(yōu)惠方案，方案一：手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可直減100元；方案二：手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可抽獎2次，每次中獎的概率同為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次打8.5折.如果你打算用手機(jī)支付購買某樣價值1200元的商品，請從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算？附： 0.0500.0100.001 3.8416.63510.82819（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20（12分）已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），.（1）若有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值

7、范圍；（2）當(dāng)時，對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21（12分）設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）當(dāng)時，求實(shí)數(shù)的取值范圍22（10分）已知點(diǎn)為圓：上的動點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作直線的垂線（當(dāng)、重合時，直線約定為軸），垂足為，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程；（2）直線的極坐標(biāo)方程為，連接并延長交于，求的最大值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1B【解析】由已知中的程序框圖可知，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量 的值，模擬程序的運(yùn)行過程，代入四個選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】

8、解：由程序框圖可知，輸出的數(shù)應(yīng)為被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整數(shù).若輸出 ，則不符合題意，排除；若輸出，則，符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖.當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采用循環(huán)模擬或代入選項(xiàng)驗(yàn)證的方法進(jìn)行解答.2C【解析】由題意可知，代入函數(shù)表達(dá)式即可得解.【詳解】由可知函數(shù)是周期為4的函數(shù)，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)和函數(shù)周期的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3C【解析】根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：語文和數(shù)學(xué)都安排在上午；語文和數(shù)學(xué)一個安排在上午，一個安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得答案【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：

9、語文和數(shù)學(xué)都安排在上午，要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰，將節(jié)語文課和節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁，然后在剩余節(jié)課中選節(jié)到上午，由于節(jié)英語課不加以區(qū)分，此時，排法種數(shù)為種；語文和數(shù)學(xué)都一個安排在上午，一個安排在下午.語文和數(shù)學(xué)一個安排在上午，一個安排在下午，但節(jié)語文課不加以區(qū)分，節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分，節(jié)英語課也不加以區(qū)分，此時，排法種數(shù)為種.綜上所述，共有種不同的排法.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中等題4C【解析】套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”，所以命題“”的否定為“”.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.5B【解析】直

10、接利用集合的基本運(yùn)算求解即可【詳解】解：全集，集合，則，故選：【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題6D【解析】直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可；【詳解】解：函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題7D【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式，進(jìn)而求出，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)論.【詳解】依題意有， ， 得，又因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì)，要熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法，屬于中檔題.8D【解析】通過證明平面，證得

11、；通過證明，證得平面；求得三棱錐體積的最大值，由此判斷的正確性；利用反證法證得與一定不垂直.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，又，所以平面，所以，故正確；因?yàn)?，所以平面，故正確；當(dāng)平面與平面垂直時，最大，最大值為，故錯誤；若與垂直，又因?yàn)椋云矫?，所以，又，所以平面，所以，因?yàn)椋燥@然與不可能垂直，故正確.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線線垂直、線面平行、幾何體體積有關(guān)命題真假性的判斷，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.9D【解析】直接相乘，得，由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果【詳解】其共軛復(fù)數(shù)為.故選：D【點(diǎn)睛】熟悉復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì).10D【解析】循環(huán)依次為 直至結(jié)束

12、循環(huán)，輸出，選D.點(diǎn)睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項(xiàng).11D【解析】a，b可看成是與和交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合處理.【詳解】令，作出圖象如圖，由，的圖象可知，正確；，有，正確；，有，正確；，有，正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.12C【解析】當(dāng)時，最多一個零點(diǎn)；當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得【詳解】當(dāng)時，得

13、；最多一個零點(diǎn)；當(dāng)時，當(dāng)，即時，在，上遞增，最多一個零點(diǎn)不合題意；當(dāng)，即時，令得，函數(shù)遞增，令得，函數(shù)遞減；函數(shù)最多有2個零點(diǎn)；根據(jù)題意函數(shù)恰有3個零點(diǎn)函數(shù)在上有一個零點(diǎn)，在，上有2個零點(diǎn)，如圖：且，解得，故選【點(diǎn)睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及兩個參數(shù)，故按“一元化”想法，逐步分類討論，這一過程中有可能分類不全面、不徹底.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13 【解析】第一空：將圓與聯(lián)立，利用計(jì)算即可；第二空：找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系，再將與聯(lián)立，得到，與結(jié)合可得為等差數(shù)列，進(jìn)而可得.【詳解】當(dāng)r1=1時，圓，與聯(lián)立消去得，則，解得；由圖可知當(dāng)時，將

14、與聯(lián)立消去得，則，整理得，代入得，整理得，則.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題，關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系，建立遞推式，由遞推式求通項(xiàng)公式，綜合性較強(qiáng)，是一道難度較大的題目.14【解析】根據(jù)ABCD是平行四邊形可得出，然后代入AB2，AD1即可求出的值【詳解】AB2，AD1， 141故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則，相等向量和相反向量的定義，向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題150.42【解析】高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級有三種情況，分別求出三種情況的概率，再利用加法公式即可.【詳解】由已知，高一家長滿意等級為不滿意的概

15、率為，滿意的概率為，非常滿意的概率為，高二家長滿意等級為不滿意的概率為，滿意的概率為，非常滿意的概率為，高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級有三種情況：1.高一家長滿意，高二家長不滿意，其概率為；2.高一家長非常滿意，高二家長不滿意，其概率為；3.高一家長非常滿意，高二家長滿意，其概率為.由加法公式，知事件發(fā)生的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中檔題.16【解析】要求兩條異面直線所成的角，需要通過見中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法，找出邊的中點(diǎn)，連接出中位線，得到平行，從而得到兩條異面直線所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角【詳解】取的中點(diǎn)E,連AE,

16、 ,易證，為異面直線與所成角，設(shè)等邊三角形邊長為，易算得在故答案為【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，本題是一個典型的異面直線所成的角的問題，解答時也是應(yīng)用典型的見中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法，注意求角的三個環(huán)節(jié)，一畫，二證，三求三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）要證明面面，只需證明面即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為，軸建系，分別計(jì)算出面法向量，面的法向量，再利用公式計(jì)算即可.【詳解】證明：（1）因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以又因?yàn)?，滿足，所以又，面，面，所以面.又因?yàn)槊?，所以，面?（2）由（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為，軸

17、建系如圖所示，則，,，則，.所以，設(shè)面法向量為，則由得，令得，即；同理，設(shè)面的法向量為，則由得，令得，即，所以，設(shè)二面角的大小為，則所以二面角余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求二面角，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，此類問題關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，是一道中檔題.18（1）列聯(lián)表見解析，99%；（2），；（3）第二種優(yōu)惠方案更劃算.【解析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表，再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)得出結(jié)論；（2）有數(shù)據(jù)可知，女性中“手機(jī)支付族”的概率為，知服從二項(xiàng)分布，即，可求得其期望和方差；（3）若選方案一，則需付款元，若選方案二，設(shè)實(shí)際付款元，則的取值為1200，1080，1020，求出實(shí)

18、際付款的期望，再比較兩個方案中的付款的金額的大小，可得出選擇的方案.【詳解】（1）由已知得出聯(lián)列表：，所以， 有99%的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān)；（2）有數(shù)據(jù)可知，女性中“手機(jī)支付族”的概率為， ，；（3）若選方案一，則需付款元 若選方案二，設(shè)實(shí)際付款元，則的取值為1200，1080，1020， 選擇第二種優(yōu)惠方案更劃算【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，二項(xiàng)分布的期望和方差，以及由期望值確定決策方案，屬于中檔題.19（）;（）【解析】試題分析：（1）先由公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；進(jìn)而列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)與公差，得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，再利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.試題解

19、析：（1）由題意知當(dāng)時，當(dāng)時，所以設(shè)數(shù)列的公差為，由，即，可解得，所以（2）由（1）知，又，得，兩式作差，得所以考點(diǎn) 1、待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.【易錯點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于難題. “錯位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：掌握運(yùn)用“錯位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積）；相減時注意最后一項(xiàng) 的符號；求和時注意項(xiàng)數(shù)別出錯；最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時除以.20（1）；（2）【解析】（1）將有兩個零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有兩個相異實(shí)根，令求導(dǎo)，利用其單調(diào)性和極值求解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為對一切恒成立，令，求導(dǎo)，研究單調(diào)性，求出其最值即可得結(jié)果.【詳解】（1）有兩個零點(diǎn)關(guān)于的方程有兩個相異實(shí)根由，知有兩個零點(diǎn)有兩個