數(shù)理方程與特殊函數(shù)：第3章 分離變量法

1、1 分離變量法是求解各種類型偏微分方程定解問題的典型方法之一。包括各類典型方程的初值、邊值與混合問題。要求熟練掌握。初值問題 (柯西問題)：無邊界條件的定解問題。邊值問題：無初值條件的定解問題?；旌蠁栴}：有初值條件和邊界條件的定解問題。第三章 分離變量法2本章主要內(nèi)容1、一維波動(dòng)與熱傳導(dǎo)定解問題分離變量求解2、高維定解問題分離變量求解3、非齊次定解問題的求解學(xué)時(shí)：8學(xué)時(shí)3一維波動(dòng)與熱傳導(dǎo)定解問題分離變量求解本次課主要內(nèi)容(一)、波動(dòng)方程定解問題的分離變量求解(二)、熱傳導(dǎo)方程定解問題的分離變量求解4齊次弦振動(dòng)方程的混合問題求解(一)、波動(dòng)方程定解問題的分離變量求解分析：(1) 定解問題特點(diǎn)：方

2、程是二階線性齊次方程，所以各特解的和也是方程的解。如果能夠找到足夠多的特解，可考慮用它們的線性組合去求定解問題的解！5因此，自然就會(huì)想到上面齊次方程的特解形式可能為：(2) 物理模型考察：樂器發(fā)出的聲音可以分解為若干不同頻率的單音。每個(gè)單音振動(dòng)又可以表示為：該等式的特征是把待求的多元函數(shù)分解為一元函數(shù)乘積的形式。6設(shè)方程(1)具有可以分離變量的解 :把(4)代入(1)與(2)得：注：如果定解問題是非齊次方程與非齊次邊界條件，能夠得到(5)與(6)嗎？7欲使(5)成立，等式兩端必須為常數(shù)。于是，令：考慮如下方程：下面討論該方程的解8(1) 當(dāng) 時(shí) 從而 9(2). 當(dāng) 時(shí)(3).當(dāng) 時(shí)10注：對(duì)

3、于參數(shù)的某些值，問題(8),(9)的非平凡解存在，稱這種值為固有值(本征值)；同時(shí)稱相應(yīng)的非平凡解X(x)為固有函數(shù)(本征函數(shù))；求解固有值和固有函數(shù)的問題稱為固有值問題(本征值問題)。分離變量的核心問題是固有值問題(本征值問題)！11由(7)還可得：該方程對(duì)應(yīng)于固有值n的通解為：把(10)、(12)代入(4)得：12(13)是滿足方程和邊界條件的特解，但不滿足初始條件。由于方程與邊界條件是線性的，因此，由疊加原理2，下面表達(dá)式仍然滿足方程和邊界條件。欲使(13) 滿足方程和邊界條件和初始條件。只需把(14)代入初始條件，求出Cn,Dn即可！13將 在0,L上按奇式傅里葉展開得：?jiǎn)栴}回顧：1、

4、分離變量法的物理背景是什么？2、分離變量法的使用條件是什么？3、什么是分離變量法的固有值問題？4、小結(jié)分離變量法的步驟。141、分離變量2、求解固有值問題3、求解其它常微分方程對(duì)應(yīng)于固有值的解利用分離變量法求定解的步驟4、寫出疊加解，利用其余條件定出疊加系數(shù)。15例1 求下面定解問題解: 1、分離變量16得：2、求解固有值問題(1) 當(dāng) 時(shí) 17(2). 當(dāng) 時(shí)(3).當(dāng) 時(shí)由條件得：18所以，固有值為：固有函數(shù)為：3、求解如下微分方程194、一般解為：20例2. 兩端固定的弦長為l，用細(xì)棒敲擊弦上x=x0 點(diǎn)處，亦即在點(diǎn) x=x0 施加沖量，設(shè)其沖量為I 。求解弦的振動(dòng)。解:定解問題為：由分

5、離變量得定解問題的一般解為：21由初始條件得：定解問題的解為：22例3. 求解如下定解問題分析：方程不是齊次形式，要作齊次化處理！令：代入原方程得：23欲使關(guān)于V(x,t)的定解問題可分離變量，W(x)要滿足：求解得：原問題變?yōu)椋?4由分離變量得定解問題的一般解為：由初始條件得：所以，定解問題的解為：25(二)、熱傳導(dǎo)方程混合問題分離變量解法例1 設(shè)有長度為L的，均勻的，內(nèi)部無熱源的熱傳導(dǎo)細(xì)桿，側(cè)面絕熱，其左端保持零度，右端絕熱，初始溫度分布為已知。該定解問題應(yīng)為26解：1、分離變量2、求解固有值問題27(1). 當(dāng) 時(shí)，特征值問題無非零(2). 由條件得：28固有函數(shù)為： 29利用疊加原理，得一般解為： 由初始條件得： 30例2 設(shè)有一條長為2L、溫度為零的均勻桿，其兩端與側(cè)面都絕熱?，F(xiàn)在用一個(gè)火焰集中在桿的中點(diǎn)燒它一下，使傳給桿的熱量恰好等于 c(設(shè)c為桿的比熱，為線密度）。求桿上的溫度分布。 解：?jiǎn)栴}歸結(jié)為解定解問題 :31解：1、分離變量2、求解固有值問題32(1) 當(dāng) 時(shí) 從而 33(2). 當(dāng) 時(shí)(3).當(dāng) 時(shí)由條件得：34求出Tn(