隨機(jī)信號分析：第四章 線性系統(tǒng)

1、4.1、線性系統(tǒng)基本理論什么是線性時不變連續(xù)線性系統(tǒng)？Lx(t)y(t) = Lx(t)（1）若輸入信號 x(t) 時移時間 ，輸出 y(t) 也只引起一個相 同的時移，即 y(t - ) = Lx(t - )（2）對于任意常數(shù) a、b，輸入信號 x1(t)，x2(t)，有 Lax1(t) + bx2(t) = aLx1(t) + bLx2(t)LTI systemUnit Impulse Response & Frequency Response 幅度平方頻響常見線性電路的沖激響應(yīng)及頻響X(t)RCr(t)X(t)RCr(t)X(t)RLr(t)X(t)RLr(t)* 高斯濾波器* 理想帶通

2、濾波器4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）2、輸出的均值 3系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)5、系統(tǒng)輸出的高階矩4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值 3系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階矩h(t)X(t)Y(t)4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值 3系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階矩因果穩(wěn)定系統(tǒng)

3、4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值 3系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階矩4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值 3系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階矩4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值 3系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階矩4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分

4、析 時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值 3系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階矩4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值 3系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階矩4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析summaryh(t)X(t)Y(t)mX(t)RXX(t1,t2)mY(t)RYY(t1,t2)RXY(t1,t2)RYX (t1,t2)h(t)mX(t)mY(t)h(t1)RXX(t1,t2)h(t2)h(t2)h(

5、t1)RYY(t1,t2)RYX(t1,t2)RXY (t1,t2)4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析時域分析法 系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性、遍歷性及其統(tǒng)計特性的計算 1、輸入為平穩(wěn)、遍歷隨機(jī)信號 2、輸入為非平穩(wěn)隨機(jī)信號4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 時域分析法 系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性、遍歷性及其統(tǒng)計特性的計算 1、輸入為寬平穩(wěn)、遍歷隨機(jī)信號 2、輸入為非平穩(wěn)隨機(jī)信號 若輸入寬平穩(wěn)則輸出寬平穩(wěn)若輸入嚴(yán)平穩(wěn)則輸出嚴(yán)平穩(wěn)若輸入寬遍歷則輸出寬遍歷4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 時域分析法 系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性、遍歷性及其統(tǒng)計特性的計算 1、輸入為寬平穩(wěn)、遍歷隨機(jī)信號 2、輸入為非平穩(wěn)隨機(jī)信號 4.

6、2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 時域分析法 系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性、遍歷性及其統(tǒng)計特性的計算 1、輸入為寬平穩(wěn)、遍歷隨機(jī)信號 2、輸入為非平穩(wěn)隨機(jī)信號 對于單位沖擊響應(yīng)為 h(t) 的連續(xù)時不變，穩(wěn)定的，線性的物理可實現(xiàn) 系統(tǒng)，若輸入信號是均值為 mX 和相關(guān)函數(shù)為 RXX() 的寬平穩(wěn)信號，則 連續(xù)時不變線性系統(tǒng)的輸出信號是寬平穩(wěn)的隨機(jī)信號，且輸入信號和 輸出信號是聯(lián)合寬平穩(wěn)的結(jié)論4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析summaryh(t)mXmYh()RXX()h(-)h(-)h()RYY()RXY()RYX ()h(t)X(t)Y(t)mXRXX()mYRYY()RXY()RYX ()WS

7、SWSS4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 時域分析法 系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性、遍歷性及其統(tǒng)計特性的計算 1、輸入為寬平穩(wěn)、遍歷隨機(jī)信號 2、輸入為非平穩(wěn)隨機(jī)信號 4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 時域分析法 系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性、遍歷性及其統(tǒng)計特性的計算 1、輸入為寬平穩(wěn)、遍歷隨機(jī)信號 2、輸入為非平穩(wěn)隨機(jī)信號 若輸入 X(t) 是寬遍歷的，則輸出 Y(t) 也是寬遍歷的4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析t = 0 時域分析法 系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性、遍歷性及其統(tǒng)計特性的計算 1、輸入為寬平穩(wěn)、遍歷隨機(jī)信號 2、輸入為非平穩(wěn)隨機(jī)信號 單側(cè)隨機(jī)信號4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 時域分析

8、法 系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性、遍歷性及其統(tǒng)計特性的計算 1、輸入為寬平穩(wěn)、遍歷隨機(jī)信號 2、輸入為非平穩(wěn)隨機(jī)信號 與時間 t 有關(guān)！例題講解例題講解4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析時域分析法 系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性及其統(tǒng)計特性的計算頻域分析法 輸出均值輸出功率譜密度輸入輸出互譜密度輸出平均功率4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析時域分析法 系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性及其統(tǒng)計特性的計算頻域分析法 輸出均值輸出功率譜密度輸入輸出互譜密度輸出平均功率因為于是有所以，直接可以通過系統(tǒng)傳函和輸入均值得到輸出的均值，無需進(jìn)行復(fù)雜的卷積計算所以4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析時域分析法 系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性及其統(tǒng)計特性的

9、計算頻域分析法 輸出均值輸出功率譜密度輸入輸出互譜密度輸出平均功率由于摒棄了相位信息，由輸入和輸出隨機(jī)信號的功率譜，并不能唯一確定系統(tǒng)的傳函，這和確定信號和系統(tǒng)情形是不同的4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析時域分析法 系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性及其統(tǒng)計特性的計算頻域分析法 輸出均值輸出功率譜密度輸入輸出互譜密度輸出平均功率當(dāng)系統(tǒng)性能未知時，若能設(shè)法得到輸入輸出互譜密度，則可以完成系統(tǒng)辨識，即確定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)或傳遞函數(shù)白噪聲激勵4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析時域分析法 系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性及其統(tǒng)計特性的計算頻域分析法 輸出均值輸出功率譜密度輸入輸出互譜密度輸出平均功率這一點在研究信號通過線性系統(tǒng)

10、之后的信噪比變化中具有重要意義！4.2、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析summaryH()SXX()H(-)H(-)H()SYY()SXY()SYX ()h()h(-) rh() = h()h(-) |H()|2mXmYH(0)4.3、隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析什么是線性時不變離散線性系統(tǒng)？Lx(n)y(n) = Lx(n)（1）若輸入信號 x(n) 時移時間m，輸出 y(n) 也只引起 一個相同的時移，即 y(n-m) = Lx(n-m)（2）對于任意常數(shù)a、b，輸入信號 x1(n)，x2(n)，有 Lax1(n)+bx2(n) = aLx1(n) + bLx2(n)LTI system

11、Unit Impulse Response & Frequency Response 幅度平方頻響4.3、隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析時域分析法 頻域分析法 時間序列信號模型輸出表達(dá)式輸出均值輸入輸出互相關(guān)函數(shù)輸出自相關(guān)函數(shù)4.3、隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析時域分析法 頻域分析法 時間序列信號模型輸出表達(dá)式輸出均值輸入輸出互相關(guān)函數(shù)輸出自相關(guān)函數(shù)4.3、隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析時域分析法 頻域分析法 時間序列信號模型輸出表達(dá)式輸出均值輸入輸出互相關(guān)函數(shù)輸出自相關(guān)函數(shù)4.3、隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析時域分析法 頻域分析法 時間序列信號模型輸出表達(dá)式輸出均值輸入輸出互相關(guān)函數(shù)輸出

12、自相關(guān)函數(shù)4.3、隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析時域分析法 頻域分析法 時間序列信號模型輸出表達(dá)式輸出均值輸入輸出互相關(guān)函數(shù)輸出自相關(guān)函數(shù)、功率輸入平穩(wěn)4.3、隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析時域分析法 頻域分析法 時間序列信號模型輸出表達(dá)式輸出均值輸入輸出互相關(guān)函數(shù)輸出自相關(guān)函數(shù)、功率輸入平穩(wěn)若系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)的輸出也是寬平穩(wěn)的4.3、隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析時域分析法 頻域分析法 時間序列信號模型功率譜密度表達(dá)式輸出平均功率的計算輸出均值4.3、隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析時域分析法 頻域分析法 時間序列信號模型功率譜密度表達(dá)式輸出平均功率的計算輸出均值理論和實際應(yīng)

13、用上具有重要意義的兩個問題：（1）如何設(shè)計一個線性系統(tǒng)，使其輸入為白噪聲時，輸出為具有所希望的功率譜密度的色噪聲（2）如何設(shè)計一個線性系統(tǒng)將其輸入的色噪聲變成白噪聲：白化濾波器4.4、色噪聲的產(chǎn)生與白化濾波器h(t)h(t)一個線性系統(tǒng)在具有單位功率譜密度的白噪聲激勵下，其輸出功率譜密度為白噪聲激勵下的線性系統(tǒng)，其輸出為色噪聲4.4、色噪聲的產(chǎn)生與白化濾波器4.4.1、色噪聲的產(chǎn)生連續(xù)：離散：4.4、色噪聲的產(chǎn)生與白化濾波器4.4.2、白化濾波器一個線性系統(tǒng)在具有功率譜密度 SX() 的色噪聲激勵下，其輸出功率譜密度均勻分布的白噪聲：連續(xù)：離散：4.5、白噪聲通過線性系統(tǒng)的分析LTIN(t)Y

14、(t)實際中很大一部分平穩(wěn)隨機(jī)信號都能看作是受白噪聲激勵的線性系統(tǒng)的輸出，因此，對白噪聲通過線性系統(tǒng)的研究就等價于對這些平穩(wěn)隨機(jī)信號的研究white noiseband-pass noise4.5.1、白噪聲通過線性系統(tǒng)SXX()-WWN0/2B4.5.2、系統(tǒng)（矩形）等效噪聲帶寬系統(tǒng)頻率響應(yīng)實際輸入信號功率譜等效限帶白噪聲信號等效帶寬等效噪聲/信號帶寬噪聲/信號功率計算4.5.2、系統(tǒng)（矩形）等效噪聲帶寬信號矩形等效帶寬（Hz）信號矩形等效帶寬與其相關(guān)時間成反比（零均值、低通信號）SX(f)maxSXX(f)f0Beq（Hz）4.5.2、系統(tǒng)（矩形）等效噪聲帶寬白噪聲激勵 消耗在1電阻上的系

15、統(tǒng)輸出端總平均功率為 理想線性系統(tǒng)對同一白噪聲輸入的輸出總平均功率為 H(0)|H()|max|H()|0K|HI()|04.5.2、系統(tǒng)（矩形）等效噪聲帶寬4.5.2、系統(tǒng)（矩形）等效噪聲帶寬例題：分析RC積分電路的等效噪聲帶寬4.6、線性系統(tǒng)輸出端信號的概率分布在很多應(yīng)用場合特別是信號檢測中，若系統(tǒng)輸出端信號和噪聲的低階統(tǒng)計特性相仿，為了避免虛警和漏檢現(xiàn)象，需要獲得各自輸出過程完整的概率分布律。然而：（1）除非是計算出所有階次的矩（必須存在），否則連輸出的一維分布的確定都無一般性的方法（2）利用（1）中窮盡求矩的方法非常繁瑣，在實際中并不可行（3）對于有些分布的隨機(jī)過程而言，其矩并不存在，

16、如具有沖激分布的隨機(jī)過程（此時只存在“分?jǐn)?shù)階矩”）（4）實際中常借助于實驗方法（如直方圖法）（5）有兩種例外情況可以很容易地確定系統(tǒng)輸出的概率分布問題的提出特征函數(shù)不可微4.6、線性系統(tǒng)輸出端信號的概率分布（1）LTI系統(tǒng)輸入為高斯信號，輸出仍為高斯信號（2）LTI系統(tǒng)輸入為非高斯信號，但信號帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)帶寬，則輸出 近似為高斯分布，譬如白噪聲激勵一窄帶系統(tǒng)的輸出h(t-)X()kk+K 寬帶信號相關(guān)性隨時間衰落很快，若相關(guān)時間tc遠(yuǎn)小 于k，這樣相隔k的兩個狀態(tài)幾乎不相關(guān)乃至獨立 窄帶系統(tǒng)單位沖擊響應(yīng)持續(xù)時間Td較長 若信號帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)帶寬，則 tc k Td 此時系統(tǒng)輸出狀態(tài)為大量獨立

17、隨機(jī)變量的和，根據(jù) 中心極限定理，近似為高斯分布補(bǔ)充（Ch6）：非線性系統(tǒng)無惰性（無記憶）非線性系統(tǒng)：系統(tǒng)輸出 Y(t) 只取決于同時刻的輸入 X(t)，而與其過去及未來值無關(guān)；特點：（1）疊加原理不再適用；（2）輸出端可產(chǎn)生輸入信號不含有的新頻率分量；（3）分析方法繁雜實例：（1）硬限制：g(x) = sgn(x);（2）線性半波檢波：x 0, g(x) = 0; x 0, g(x) = 0;（3）線性全波檢波：g(x) = | x |;（4）平方器：g(x) = x2;（5）二次失真：g(x) = x + kx2;g(x)X(t)Y(t)補(bǔ)充（Ch6）：非線性系統(tǒng)6.1、傳輸特性 g(x)

18、 可逆時非線性系統(tǒng)輸出概率密度的計算根據(jù)輸入信號幅度的可能取值范圍，確定輸出信號幅度的可能取值范圍（很重要?。?；寫出輸入隨機(jī)信號的一維概率密度函數(shù) fX(x;t) 或二維概率密度函數(shù) fX(x1,x2;t1,t2)；寫出非線性系統(tǒng)的傳輸特性 y = g(x) 及其反函數(shù) x = h(y)；根據(jù)反函數(shù)的單值性或多值性求雅可比因子（具體方法見第二章第2.1.3節(jié)的討論）確定可能取值范圍內(nèi)輸出的一維概率密度或二維概率密度： fY(y) = fXx = h(y) |dh(y)/dy| fY1Y2(y1,y2) = | J | fX1X2x1 = h1(y1,y2), x2 = h2(y1,y2)補(bǔ)充（

19、Ch6）：非線性系統(tǒng)高斯信號通過線性系統(tǒng)后仍是高斯的，但通過非線性系統(tǒng)后卻不一定是高斯的！補(bǔ)充（Ch6）：非線性系統(tǒng)6.2、非線性系統(tǒng)輸出矩的四種計算方法一、直接法（假定輸入寬平穩(wěn)）寫出傳輸特性 g(x) 和輸入信號的一維概率密度 fX(x) 和二維概率密度函數(shù) fX(x1,x2;t1,t2)；輸出均值：輸出自相關(guān)：輸出平均功率：輸出功率譜密度：自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換* 直觀，但需要 g(x) 和輸入信號概率分布比較簡單，否則積分難于計算補(bǔ)充（Ch6）：非線性系統(tǒng) 若輸入信號為嚴(yán)平穩(wěn)，則其一維概率密度與時間無關(guān)，二 維概率密度只和時間差有關(guān)，所以輸出信號為寬平穩(wěn) 若輸入信號僅為寬平穩(wěn)，其一維概率密度可能與時間是有 關(guān)的，所以輸出信號未必是寬平穩(wěn)的，這和線性系統(tǒng)情形 是不一樣的例：隨機(jī)信號 X(t) = Acos0t + Bsin0t，其中 A 和 B 是兩個 零均值，方差相同但概