2019高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學(xué)案 4

1、1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能畫出正切函數(shù)的圖象(重點(diǎn))2.掌握正切函數(shù)的性質(zhì)(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.掌握正切函數(shù)的定義域及正切曲線的漸近線(易錯(cuò)點(diǎn))自主預(yù)習(xí)探新知正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式y(tǒng)tanx圖象定義域xxR，且xk，kZ2對(duì)稱中心k2，0，kZ2k，k，kZ內(nèi)都是增函數(shù)單調(diào)性在開區(qū)間(3)正切函數(shù)圖象有無數(shù)條對(duì)稱軸，其對(duì)稱軸是xk，kZ.()2函數(shù)ytan2x的定義域?yàn)開值域R周期奇偶性奇函數(shù)2基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)正切函數(shù)的定義域和值域都是R.()(2)正切函數(shù)圖象是中心對(duì)稱圖形，有無數(shù)個(gè)對(duì)稱中心()2(4)正切函數(shù)是增函數(shù)()解析由正切函數(shù)圖象可知(1)，(2)，(3

2、)，(4).答案(1)(2)(3)(4)6xxk2，kZ因?yàn)?xk，kZ，623所以xk2，kZk2，kZ.所以函數(shù)ytan2x的定義域?yàn)閤x6333函數(shù)ytan3x的最小正周期是_1函數(shù)ytan3x的最小正周期是.4函數(shù)ytanx的單調(diào)增區(qū)間是_，k7k，kZ令kxk，kZ得kxk，kZ37即函數(shù)ytanx的單調(diào)增區(qū)間是k，k，kZ.(1)函數(shù)yx且x0的值域是()3353101025237101051010合作探究攻重難有關(guān)正切函數(shù)的定義域、值域問題41tanx4A(1,1)C(，1)B(，1)(1，)D(1，)x(2)函數(shù)y3tan的定義域?yàn)開64(3)函數(shù)ytanx1lg(1tanx)

3、的定義域?yàn)開.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352103】思路探究求定義域時(shí)，要注意正切函數(shù)自身的限制條件，另外解不等式時(shí)要充分利用三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線(1)B(2)xx4k，kZ3(3)xkx0，即1tanx1.在，上滿足上述不等式的x的取值范圍是，.(3)要使函數(shù)ytanx1lg(1tanx)有意義，則tanx10，2244又因?yàn)閥tanx的周期為，所以所求x的定義域?yàn)閤kxk，kZ44.正切函數(shù)ytanx有意義即xk，kZ.一個(gè)“整體”令xk，kZ，解得x.規(guī)律方法1.求正切函數(shù)定義域的方法(1)求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)，除了求函數(shù)定義域的一般要求外，還要保證2(2)求正切型函數(shù)yAtan

4、(x)(A0，0)的定義域時(shí)，要將“x”視為22解形如tanxa的不等式的步驟1函數(shù)ylogtanx的定義域是()提醒：求定義域時(shí)，要注意正切函數(shù)自身的限制條件跟蹤訓(xùn)練124A.xxk，kZ4B.xkxk，kZ44C.xxk，kZD.xxk，kZ44B由題意tanx0，43即tanx0，kxk，kxk，kZ，故選B.2求函數(shù)ytan23xtan3x1的定義域和值域4244433k，kZ，得x(kZ)，所以函數(shù)的定義域?yàn)榻庥?xk32318kxx318kZ.設(shè)ttan3x，133則tR，yt2t1t2，34(1)函數(shù)f(x)tan2x的周期為_(2)已知函數(shù)ytanx，則該函數(shù)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)

5、為_y3xtan2x2x4；ycosxtanx.3244所以原函數(shù)的值域是，.正切函數(shù)奇偶性、周期性和圖象的對(duì)稱性33(3)判斷下列函數(shù)的奇偶性：2|思路探究(1)形如yAtan(x)(A0)的周期T，也可以用定義法求2，kZ求出k(1)(2)，0，kZ(1)法一：(定義法)tan2xtan2x，周期k(2)形如yAtan(x)(A0)的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)可由x(3)先求定義域看是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)稱再判斷f(x)與f(x)的關(guān)系322334即tan2xtan2x，f(x)tan2x的周期是.f(x)tan2x的周期T.(2)由xkk(kZ)得x(kZ)，所以圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為k2，0，kZ.

6、23332法二：(公式法)3232233k(3)定義域?yàn)閤x，kZ24，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(x)3(x)tan2(x)2(x)43xtan2x2x4f(x)，所以它是偶函數(shù)定義域?yàn)閤xk，kZ2，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，ycosxtanxsinxtanx，(2)公式法：對(duì)于函數(shù)f(x)Atan(x)的最小正周期T.2又f(x)sin(x)tan(x)sinxtanxf(x)，所以它是奇函數(shù)規(guī)律方法1.函數(shù)f(x)Atan(x)周期的求解方法：(1)定義法|(3)觀察法(或圖象法)：觀察函數(shù)的圖象，看自變量間隔多少，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)2判定與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)奇偶性的方法：先求函數(shù)的定義域，看其定義域是否關(guān)于

7、原點(diǎn)對(duì)稱，若其不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看f(x)與f(x)的關(guān)系k，kZ的對(duì)稱中心坐標(biāo)為，0，kZ.提醒：ytanx，xk22(1)f(x)；(2)f(x)tanxtanx.跟蹤訓(xùn)練3判斷下列函數(shù)的奇偶性：tan2xtanxtanx144【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352104】5xk，kZ，解(1)由xxk且xk，kZxxk且xk，kZ又f(x)tanxtanxtanxtanx提示：不是正切函數(shù)的圖象被直線xk(kZ)隔開，所以它的單調(diào)區(qū)間只在k，k(kZ)內(nèi)，而不能說它在定義域內(nèi)是增函數(shù)假設(shè)x1，x2，41132如果讓你比較tan與tan的大小，你應(yīng)該怎樣做？(2)求

8、函數(shù)y3tan2x的單調(diào)區(qū)間2tanx1，得f(x)的定義域?yàn)?4，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)(2)函數(shù)定義域?yàn)?4，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，4444f(x)，所以函數(shù)是奇函數(shù)正切函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用探究問題1正切函數(shù)ytanx在其定義域內(nèi)是否為增函數(shù)？252244x1x2，但tanx1tanx2.5提示：先根據(jù)正切函數(shù)的周期性把兩角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再由正切函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較(1)tan1，tan2，tan3，tan4從小到大的排列順序?yàn)開4思路探究(1)利用ytanx在1)2，3上為增函數(shù)比較大小，注意tan1tan(26(2)先將原函數(shù)化為y3tan2x，再由k2x

9、k，kZ，4242求出單調(diào)減區(qū)間(1)tan2tan3tan4tan1(1)ytanx在區(qū)間2，3上是單調(diào)增函數(shù)，2又2341，2x3tan2x，(2)y3tan由k2xk，kZ得，x，kZ，k3k所以y3tan2x的減區(qū)間為，kZ.1母題探究：1.將本例(2)中的函數(shù)改為“y3tanx”，結(jié)果又如何？解由kxk(kZ)，得2kx2k(kZ)，13函數(shù)y3tanx的單調(diào)遞增區(qū)間是2k，2k(kZ)即k，k，kZ.思想，令kxk，kZ，解得x的范圍即可且tan1tan(1)，322所以tan2tan3tan4tan1.44242k3k828248282241224232242222將本例(2)中

10、的函數(shù)改為“ylgtanx”結(jié)果又如何？解因?yàn)楹瘮?shù)ylgx在(0，)上為增函數(shù)所以函數(shù)ylgtanx的單調(diào)遞增區(qū)間就是函數(shù)ytanx(tanx0)的遞增區(qū)間，2規(guī)律方法1.求函數(shù)yAtan(x)(A0，0，且A，都是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的方法(1)若0，由于ytanx在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù)，故可用“整體代換”的22(2)若0，可利用誘導(dǎo)公式先把yAtan(x)轉(zhuǎn)化為yAtan(x)Atan(x)，即把x的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得x的范7A2kx2k(kZ)Ckxk(kZ)Dkxk(kZ)D因?yàn)閠anx1tan.所以kxk，kZ.2在下列函數(shù)中同時(shí)滿足：在0，上遞增；以2為

11、周期；是奇函數(shù)的是圍即可2運(yùn)用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小的步驟(1)運(yùn)用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)(2)運(yùn)用單調(diào)性比較大小關(guān)系提醒：yAtan(x)(A0，0)只有增區(qū)間；yAtan(x)(A0，0)只有減區(qū)間當(dāng)堂達(dá)標(biāo)固雙基1若tanx1，則()4Bx(2k1)(kZ)4424422()CytanAytanxx2BycosxDytanxCA，D的周期為，B中函數(shù)在0，上遞減，故選C.45213173比較大?。簍an_tan.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352105】4455452ytanx在0，內(nèi)單調(diào)遞增，454513因?yàn)閠antan，1722tantan，又0，221317所以tantan，即tantan.84求函數(shù)ytan(x)，x，的值域?yàn)開在，上為減函數(shù)，x5求函數(shù)ytan的定義域、最小正周期、單調(diào)區(qū)間及其圖象的對(duì)稱中心.解由k，kZ，得x2